Cộng và trừ hai đa thức

Cho hai đa thức $A = 5x^2y + 5x – 3$ và $B = xy – 4x^2y + 5x – 1$.

Hoạt động 1 (trang 15)

Đề bài: Thực hiện phép cộng hai đa thức $A$ và $B$ bằng cách tiến hành các bước sau:

• Lập tổng $A + B = (5x^2y + 5x – 3) + (xy – 4x^2y + 5x – 1)$.
• Bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

Lời giải:

Bước 1: Lập tổng $A + B$.

$$A + B = (5x^2y + 5x – 3) + (xy – 4x^2y + 5x – 1).$$

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc. Vì trước cả hai dấu ngoặc đều là dấu “+”, ta giữ nguyên các hạng tử bên trong:

$$A + B = 5x^2y + 5x – 3 + xy – 4x^2y + 5x – 1.$$

Bước 3: Thu gọn. Tìm các hạng tử đồng dạng (có cùng phần biến) và nhóm lại:

• $5x^2y$ và $-4x^2y$: cùng phần biến $x^2y$.
• $5x$ và $5x$: cùng phần biến $x$.
• Hạng tử $xy$ không có đồng dạng nào khác.
• $-3$ và $-1$: cùng là các số (phần biến bằng nhau, hệ số khác $0$ nên ta coi như đồng dạng để cộng các số hạng tự do).

Nhóm và cộng các hệ số trong mỗi nhóm:

$$A + B = (5x^2y – 4x^2y) + (5x + 5x) + xy + (-3 – 1) = x^2y + 10x + xy – 4.$$

Vậy $A + B = x^2y + xy + 10x – 4$.

Hoạt động 2 (trang 15)

Đề bài: Thực hiện phép trừ hai đa thức $A$ và $B$ bằng cách lập hiệu

$$A – B = (5x^2y + 5x – 3) – (xy – 4x^2y + 5x – 1),$$

bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức nhận được.

Lời giải:

Bước 1: Lập hiệu (đã có ở đề bài).

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc. Trước dấu ngoặc thứ nhất là dấu “+” → giữ nguyên các hạng tử. Trước dấu ngoặc thứ hai là dấu “−” → đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong:

$$A – B = 5x^2y + 5x – 3 – xy + 4x^2y – 5x + 1.$$

(Lưu ý: $-(xy) = -xy$; $-(-4x^2y) = +4x^2y$; $-(5x) = -5x$; $-(-1) = +1$.)

Bước 3: Thu gọn. Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $5x^2y$ và $4x^2y$: cùng phần biến $x^2y$.
• $5x$ và $-5x$: cùng phần biến $x$.
• Hạng tử $-xy$ đứng riêng.
• $-3$ và $1$: số hạng tự do.

Cộng các hệ số:

$$A – B = (5x^2y + 4x^2y) + (5x – 5x) – xy + (-3 + 1) = 9x^2y + 0 – xy – 2.$$

Vậy $A – B = 9x^2y – xy – 2$.

Luyện tập 1 (trang 16)

Đề bài: Cho hai đa thức $G = x^2y – 3xy – 3$ và $H = 3x^2y + xy – 0{,}5x + 5$. Hãy tính $G + H$ và $G – H$.

Lời giải:

Tính $G + H$:

$$G + H = (x^2y – 3xy – 3) + (3x^2y + xy – 0{,}5x + 5).$$

Bỏ dấu ngoặc (trước cả hai dấu ngoặc đều là dấu “+”, giữ nguyên các hạng tử):

$$G + H = x^2y – 3xy – 3 + 3x^2y + xy – 0{,}5x + 5.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^2y$ và $3x^2y$: $1 + 3 = 4$ → $4x^2y$.
• $-3xy$ và $xy$: $-3 + 1 = -2$ → $-2xy$.
• $-0{,}5x$: không có đồng dạng.
• $-3$ và $5$: $-3 + 5 = 2$.

Vậy:

$$G + H = 4x^2y – 2xy – 0{,}5x + 2.$$

Tính $G – H$:

$$G – H = (x^2y – 3xy – 3) – (3x^2y + xy – 0{,}5x + 5).$$

Bỏ dấu ngoặc (trước dấu ngoặc thứ hai là dấu “−” nên đổi dấu các hạng tử bên trong):

$$G – H = x^2y – 3xy – 3 – 3x^2y – xy + 0{,}5x – 5.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^2y$ và $-3x^2y$: $1 – 3 = -2$ → $-2x^2y$.
• $-3xy$ và $-xy$: $-3 – 1 = -4$ → $-4xy$.
• $0{,}5x$: không có đồng dạng.
• $-3$ và $-5$: $-3 – 5 = -8$.

Vậy:

$$G – H = -2x^2y – 4xy + 0{,}5x – 8.$$

Luyện tập 2 (trang 16)

Đề bài: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại $x = 2$ và $y = -1$:

$$K = (x^2y + 2xy^3) – (7{,}5x^3y^2 – x^3) + (3xy^3 – x^2y + 7{,}5x^3y^2).$$

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn $K$.

Lần lượt bỏ ba dấu ngoặc (chú ý dấu trừ trước ngoặc thứ hai phải đổi dấu các hạng tử bên trong):

$$K = x^2y + 2xy^3 – 7{,}5x^3y^2 + x^3 + 3xy^3 – x^2y + 7{,}5x^3y^2.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^2y$ và $-x^2y$: $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $2xy^3$ và $3xy^3$: $2 + 3 = 5$ → $5xy^3$.
• $-7{,}5x^3y^2$ và $7{,}5x^3y^2$: $-7{,}5 + 7{,}5 = 0$ → triệt tiêu.
• $x^3$: không có đồng dạng.

Vậy:

$$K = x^3 + 5xy^3.$$

Bước 2: Tính giá trị của $K$ tại $x = 2$ và $y = -1$.

Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào $K = x^3 + 5xy^3$:

$$K = 2^3 + 5 \cdot 2 \cdot (-1)^3 = 8 + 5 \cdot 2 \cdot (-1) = 8 + (-10) = -2.$$

Vậy tại $x = 2$ và $y = -1$, giá trị của biểu thức $K$ là $-2$.

Vận dụng (trang 16)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, hãy trình bày ý kiến của em. (Gợi ý: hãy chú ý đến đa thức $P + Q$.)

Nhắc lại tình huống: Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học, hai bạn tính giá trị của hai đa thức

$$P = 2x^2y – xy^2 + 22 \quad \text{và} \quad Q = xy^2 – 2x^2y + 23$$

tại những giá trị cho trước của $x$ và $y$. Kết quả được ghi lại như bảng sau (Bảng 1.1):

Ban giám khảo cho biết một cột chắc chắn có kết quả sai. Hãy phát hiện cột đó.

Lời giải:

Ý tưởng: Theo gợi ý, ta tính tổng $P + Q$ trước. Nếu $P + Q$ là một số không đổi (không phụ thuộc $x$, $y$) thì với mọi giá trị của $x$, $y$, ta luôn có $P + Q$ bằng số đó — chỉ cần cộng giá trị $P$ và $Q$ ở từng cột rồi so sánh với số đó là phát hiện được cột sai.

Bước 1: Tính $P + Q$.

$$P + Q = (2x^2y – xy^2 + 22) + (xy^2 – 2x^2y + 23).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$P + Q = 2x^2y – xy^2 + 22 + xy^2 – 2x^2y + 23 = (2x^2y – 2x^2y) + (-xy^2 + xy^2) + (22 + 23).$$

$$P + Q = 0 + 0 + 45 = 45.$$

Như vậy, với mọi giá trị của $x$ và $y$, ta luôn có $P + Q = 45$.

Bước 2: Đối chiếu từng cột trong Bảng 1.1.

Cộng giá trị $P$ và $Q$ ở từng cột:

• Cột 1: $P + Q = 19 + 26 = 45$ → đúng.
• Cột 2: $P + Q = 25 + 20 = 45$ → đúng.
• Cột 3: $P + Q = 38 + 17 = 55 \neq 45$ → sai.
• Cột 4: $P + Q = 22 + 23 = 45$ → đúng.

Kết luận: Cột thứ ba (ứng với $x = 2$, $y = 1$) chắc chắn có kết quả sai. Cách phát hiện nhanh nhất: tính $P + Q = 45$ rồi cộng giá trị $P$ và $Q$ ở mỗi cột, cột nào tổng khác $45$ thì cột đó sai.

Bài tập (trang 16)

Bài 1.14 (trang 16)

Đề bài: Tính tổng và hiệu của hai đa thức $P = x^2y + x^3 – xy^2 + 3$ và $Q = x^3 + xy^2 – xy – 6$.

Lời giải:

Tính $P + Q$:

$$P + Q = (x^2y + x^3 – xy^2 + 3) + (x^3 + xy^2 – xy – 6).$$

Bỏ dấu ngoặc (trước cả hai ngoặc đều là dấu “+”, giữ nguyên các hạng tử):

$$P + Q = x^2y + x^3 – xy^2 + 3 + x^3 + xy^2 – xy – 6.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^3$ và $x^3$: $1 + 1 = 2$ → $2x^3$.
• $x^2y$: không có đồng dạng.
• $-xy^2$ và $xy^2$: $-1 + 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $-xy$: không có đồng dạng.
• $3$ và $-6$: $3 – 6 = -3$.

Vậy:

$$P + Q = 2x^3 + x^2y – xy – 3.$$

Tính $P – Q$:

$$P – Q = (x^2y + x^3 – xy^2 + 3) – (x^3 + xy^2 – xy – 6).$$

Bỏ dấu ngoặc (trước ngoặc thứ hai là dấu “−” nên đổi dấu các hạng tử bên trong):

$$P – Q = x^2y + x^3 – xy^2 + 3 – x^3 – xy^2 + xy + 6.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^3$ và $-x^3$: $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $x^2y$: không có đồng dạng.
• $-xy^2$ và $-xy^2$: $-1 – 1 = -2$ → $-2xy^2$.
• $xy$: không có đồng dạng.
• $3$ và $6$: $3 + 6 = 9$.

Vậy:

$$P – Q = x^2y – 2xy^2 + xy + 9.$$

Bài 1.15 (trang 16)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x – y) + (y – z) + (z – x)$;

b) $(2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x)$.

Lời giải:

a) Bỏ dấu ngoặc (trước cả ba dấu ngoặc đều là dấu “+”, giữ nguyên các hạng tử):

$$(x – y) + (y – z) + (z – x) = x – y + y – z + z – x.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x$ và $-x$: $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $-y$ và $y$: $-1 + 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $-z$ và $z$: $-1 + 1 = 0$ → triệt tiêu.

Vậy:

$$(x – y) + (y – z) + (z – x) = 0.$$

b) Bỏ dấu ngoặc tương tự:

$$(2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x) = 2x – 3y + 2y – 3z + 2z – 3x.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x$ và $-3x$: $2 – 3 = -1$ → $-x$.
• $-3y$ và $2y$: $-3 + 2 = -1$ → $-y$.
• $-3z$ và $2z$: $-3 + 2 = -1$ → $-z$.

Vậy:

$$(2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x) = -x – y – z.$$

Bài 1.16 (trang 16)

Đề bài: Tìm đa thức $M$ biết $M – 5x^2 + xyz = xy + 2x^2 – 3xyz + 5$.

Lời giải:

Ta dùng tính chất: nếu $A – B = C$ thì $A = B + C$. Ở đây ta xem $A$ là $M$ và $B$ là $5x^2 – xyz$, $C$ là $xy + 2x^2 – 3xyz + 5$.

Từ $M – 5x^2 + xyz = xy + 2x^2 – 3xyz + 5$, ta chuyển các hạng tử $-5x^2$ và $xyz$ sang vế phải (đổi dấu):

$$M = (xy + 2x^2 – 3xyz + 5) + (5x^2 – xyz).$$

Bỏ dấu ngoặc và thu gọn:

$$M = xy + 2x^2 – 3xyz + 5 + 5x^2 – xyz.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x^2$ và $5x^2$: $2 + 5 = 7$ → $7x^2$.
• $-3xyz$ và $-xyz$: $-3 – 1 = -4$ → $-4xyz$.
• $xy$: không có đồng dạng.
• $5$: số hạng tự do.

Vậy:

$$M = 7x^2 + xy – 4xyz + 5.$$

Kiểm tra: thay $M$ vừa tìm được vào vế trái:

$$M – 5x^2 + xyz = (7x^2 + xy – 4xyz + 5) – 5x^2 + xyz = (7x^2 – 5x^2) + xy + (-4xyz + xyz) + 5 = 2x^2 + xy – 3xyz + 5,$$

đúng bằng vế phải. Vậy $M = 7x^2 + xy – 4xyz + 5$.

Bài 1.17 (trang 16)

Đề bài: Cho hai đa thức $A = 2x^2y + 3xyz – 2x + 5$ và $B = 3xyz – 2x^2y + x – 4$.

a) Tìm các đa thức $A + B$ và $A – B$;

b) Tính giá trị của các đa thức $A$ và $A + B$ tại $x = 0{,}5$; $y = -2$ và $z = 1$.

Lời giải:

a) Tìm $A + B$ và $A – B$.

Tính $A + B$:

$$A + B = (2x^2y + 3xyz – 2x + 5) + (3xyz – 2x^2y + x – 4).$$

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên các hạng tử vì trước cả hai dấu ngoặc đều là dấu “+”):

$$A + B = 2x^2y + 3xyz – 2x + 5 + 3xyz – 2x^2y + x – 4.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x^2y$ và $-2x^2y$: $2 – 2 = 0$ → triệt tiêu.
• $3xyz$ và $3xyz$: $3 + 3 = 6$ → $6xyz$.
• $-2x$ và $x$: $-2 + 1 = -1$ → $-x$.
• $5$ và $-4$: $5 – 4 = 1$.

Vậy:

$$A + B = 6xyz – x + 1.$$

Tính $A – B$:

$$A – B = (2x^2y + 3xyz – 2x + 5) – (3xyz – 2x^2y + x – 4).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$A – B = 2x^2y + 3xyz – 2x + 5 – 3xyz + 2x^2y – x + 4.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x^2y$ và $2x^2y$: $2 + 2 = 4$ → $4x^2y$.
• $3xyz$ và $-3xyz$: $3 – 3 = 0$ → triệt tiêu.
• $-2x$ và $-x$: $-2 – 1 = -3$ → $-3x$.
• $5$ và $4$: $5 + 4 = 9$.

Vậy:

$$A – B = 4x^2y – 3x + 9.$$

b) Tính giá trị tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$.

Tính giá trị của $A = 2x^2y + 3xyz – 2x + 5$. Thay các giá trị vào:

$$A = 2 \cdot (0{,}5)^2 \cdot (-2) + 3 \cdot 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 1 – 2 \cdot 0{,}5 + 5.$$

Tính từng hạng tử cho gọn:

• $2 \cdot (0{,}5)^2 \cdot (-2) = 2 \cdot 0{,}25 \cdot (-2) = 0{,}5 \cdot (-2) = -1$.
• $3 \cdot 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 1 = 1{,}5 \cdot (-2) = -3$.
• $2 \cdot 0{,}5 = 1$, nên $-2 \cdot 0{,}5 = -1$.

Cộng lại:

$$A = -1 + (-3) + (-1) + 5 = -5 + 5 = 0.$$

Vậy tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$, giá trị của đa thức $A$ là $0$.

Tính giá trị của $A + B = 6xyz – x + 1$. Thay các giá trị vào:

$$A + B = 6 \cdot 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 1 – 0{,}5 + 1.$$

Tính từng hạng tử:

• $6 \cdot 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 1 = 3 \cdot (-2) = -6$.

Cộng lại:

$$A + B = -6 – 0{,}5 + 1 = -6 + 0{,}5 = -5{,}5.$$

Vậy tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$, giá trị của đa thức $A + B$ là $-5{,}5$ (hay $-\dfrac{11}{2}$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du