1. Đơn thức và đơn thức thu gọn

Hoạt động 1 (trang 6)

Đề bài: Biểu thức $x^2 – 2x$ có phải là đơn thức một biến không? Vì sao? Hãy cho một vài ví dụ về đơn thức một biến.

Lời giải:

Biểu thức $x^2 – 2x$ không phải là đơn thức một biến, vì biểu thức này có chứa phép trừ giữa hai hạng tử $x^2$ và $2x$ (đơn thức một biến chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích của các số và luỹ thừa của một biến — không chứa phép cộng hay phép trừ).

Một vài ví dụ về đơn thức một biến: $3x$; $-5x^2$; $7y^3$; $\dfrac{1}{2}z^4$; $-x$.

Hoạt động 2 (trang 6)

Đề bài: Xét các biểu thức đại số:

$$-5x^2y; \quad x^3 – \dfrac{1}{2}x; \quad 17z^4; \quad -\dfrac{1}{5}y^2 \cdot 5; \quad -2x + 7y; \quad xy \cdot 4x^2; \quad x + 2y – z.$$

Hãy sắp xếp các biểu thức đó thành hai nhóm:

• Nhóm 1: Những biểu thức có chứa phép cộng hoặc phép trừ.
• Nhóm 2: Các biểu thức còn lại.

Nếu hiểu đơn thức (nhiều biến) tương tự đơn thức một biến thì theo em, nhóm nào trong hai nhóm trên bao gồm những đơn thức?

Lời giải:

Ta xét từng biểu thức xem có chứa phép cộng hoặc phép trừ giữa các hạng tử hay không:

• $-5x^2y$: chỉ là tích của một số với các biến → không chứa phép cộng/trừ.
• $x^3 – \dfrac{1}{2}x$: có chứa phép trừ giữa $x^3$ và $\dfrac{1}{2}x$ → có chứa phép trừ.
• $17z^4$: tích của một số với luỹ thừa của biến → không chứa phép cộng/trừ.
• $-\dfrac{1}{5}y^2 \cdot 5$: tích của các số với biến → không chứa phép cộng/trừ.
• $-2x + 7y$: có chứa phép cộng → có chứa phép cộng.
• $xy \cdot 4x^2$: tích của các số với các biến → không chứa phép cộng/trừ.
• $x + 2y – z$: có chứa cả phép cộng và phép trừ → có chứa phép cộng/trừ.

Sắp xếp lại:

• Nhóm 1 (có chứa phép cộng hoặc phép trừ): $x^3 – \dfrac{1}{2}x$; $-2x + 7y$; $x + 2y – z$.
• Nhóm 2 (các biểu thức còn lại): $-5x^2y$; $17z^4$; $-\dfrac{1}{5}y^2 \cdot 5$; $xy \cdot 4x^2$.

Nếu hiểu đơn thức nhiều biến tương tự đơn thức một biến (tức là chỉ gồm một số, hoặc tích của những số và biến, không chứa phép cộng/trừ) thì Nhóm 2 chính là nhóm gồm những đơn thức.

Luyện tập 1 (trang 7)

Đề bài: Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đơn thức?

$$3x^3y; \quad -4; \quad (3 – x)x^2y^2; \quad 12x^5; \quad -\dfrac{5}{9}xyz; \quad \dfrac{x^2y}{2}; \quad \dfrac{3}{x} + y^2.$$

Lời giải:

Ta kiểm tra từng biểu thức theo định nghĩa đơn thức (chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích của những số và biến — không chứa phép cộng/trừ giữa các hạng tử và không chứa biến ở mẫu hay dưới căn):

• $3x^3y$: tích của số $3$ với các biến $x^3$ và $y$ → là đơn thức.
• $-4$: chỉ là một số → là đơn thức.
• $(3 – x)x^2y^2$: có chứa phép trừ $(3 – x)$ với $x$ là biến → không là đơn thức.
• $12x^5$: tích của số $12$ với luỹ thừa $x^5$ → là đơn thức.
• $-\dfrac{5}{9}xyz$: tích của số $-\dfrac{5}{9}$ với các biến $x$, $y$, $z$ → là đơn thức.
• $\dfrac{x^2y}{2} = \dfrac{1}{2}x^2y$: tích của số $\dfrac{1}{2}$ với các biến → là đơn thức.
• $\dfrac{3}{x} + y^2$: có phép cộng, và có $\dfrac{3}{x}$ chứa biến ở mẫu → không là đơn thức.

Vậy các biểu thức là đơn thức gồm: $3x^3y$; $-4$; $12x^5$; $-\dfrac{5}{9}xyz$; $\dfrac{x^2y}{2}$.

Tranh luận (trang 7)

Đề bài: Biểu thức $(1 + \sqrt{2})x^2y$ có phải là đơn thức không?

Lời giải:

Biểu thức $(1 + \sqrt{2})x^2y$ là một đơn thức.

Giải thích: Phần $(1 + \sqrt{2})$ tuy có dấu cộng nhưng đây là phép cộng giữa hai số $1$ và $\sqrt{2}$ (không chứa biến), nên $(1 + \sqrt{2})$ chỉ là một số cụ thể. Do đó $(1 + \sqrt{2})x^2y$ có dạng tích của một số với các biến $x^2$ và $y$, đúng theo định nghĩa đơn thức.

Như vậy ý kiến “không phải đơn thức vì có phép cộng” là sai — phép cộng ở đây nằm bên trong một con số, không phải phép cộng giữa các hạng tử có biến.

Câu hỏi (trang 7)

Đề bài: Cho biết hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức sau:

$$2{,}5x; \quad -\dfrac{1}{4}y^2z^3; \quad 0{,}35xy^2z^4.$$

Lời giải:

Ba đơn thức đã cho đều là đơn thức thu gọn. Ta tách phần số (hệ số) và phần biến, rồi cộng tổng số mũ của các biến để được bậc:

• $2{,}5x$: hệ số là $2{,}5$; phần biến là $x$; bậc là $1$.
• $-\dfrac{1}{4}y^2z^3$: hệ số là $-\dfrac{1}{4}$; phần biến là $y^2z^3$; bậc là $2 + 3 = 5$.
• $0{,}35xy^2z^4$: hệ số là $0{,}35$; phần biến là $xy^2z^4$; bậc là $1 + 2 + 4 = 7$.

Luyện tập 2 (trang 8)

Đề bài: Thu gọn và xác định bậc của đơn thức $4{,}5x^2y(-2)xyz$.

Lời giải:

Đơn thức $4{,}5x^2y(-2)xyz$ chưa thu gọn vì: có hai số $4{,}5$ và $-2$; biến $x$ xuất hiện hai lần (ở $x^2$ và $x$); biến $y$ cũng xuất hiện hai lần.

Ta áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân để gom các số lại với nhau và các luỹ thừa cùng cơ số lại với nhau:

$$4{,}5 \cdot x^2 \cdot y \cdot (-2) \cdot x \cdot y \cdot z = [4{,}5 \cdot (-2)] \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot z.$$

Tính từng phần:

• $4{,}5 \cdot (-2) = -9$.
• $x^2 \cdot x = x^3$.
• $y \cdot y = y^2$.

Vậy đơn thức thu gọn là:

$$4{,}5x^2y(-2)xyz = -9x^3y^2z.$$

Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến: $3 + 2 + 1 = 6$.

2. Đơn thức đồng dạng

Hoạt động 3 (trang 8)

Đề bài: Cho đơn thức một biến $M = 3x^2$. Hãy viết ba đơn thức biến $x$, cùng bậc với $M$ rồi so sánh phần biến của các đơn thức đó.

Lời giải:

Đơn thức $M = 3x^2$ có bậc là $2$. Ba đơn thức biến $x$ có cùng bậc $2$ với $M$ (hệ số tuỳ ý nhưng khác $0$), chẳng hạn:

$$5x^2; \quad -7x^2; \quad \dfrac{1}{2}x^2.$$

So sánh phần biến: cả ba đơn thức trên cùng với $M$ đều có phần biến là $x^2$, tức là phần biến của chúng giống hệt nhau.

Nhận xét: với đơn thức một biến, hai đơn thức có cùng bậc thì sẽ có cùng phần biến.

Hoạt động 4 (trang 8)

Đề bài: Xét ba đơn thức $A = 2x^2y^3$, $B = -\dfrac{1}{2}x^2y^3$ và $C = x^3y^2$.

So sánh:

a) Bậc của ba đơn thức $A$, $B$ và $C$;

b) Phần biến của ba đơn thức $A$, $B$ và $C$.

Lời giải:

a) Bậc của ba đơn thức:

• $A = 2x^2y^3$: bậc là $2 + 3 = 5$.
• $B = -\dfrac{1}{2}x^2y^3$: bậc là $2 + 3 = 5$.
• $C = x^3y^2$: bậc là $3 + 2 = 5$.

Vậy ba đơn thức $A$, $B$, $C$ đều có bậc bằng $5$.

b) Phần biến của ba đơn thức:

• $A$ có phần biến là $x^2y^3$.
• $B$ có phần biến là $x^2y^3$.
• $C$ có phần biến là $x^3y^2$.

Vậy $A$ và $B$ có phần biến giống nhau (đều là $x^2y^3$), còn phần biến của $C$ là $x^3y^2$ khác với phần biến của $A$ và $B$.

(Hai đơn thức $A$ và $B$ có hệ số khác $0$ và phần biến giống nhau nên $A$ và $B$ là hai đơn thức đồng dạng.)

Luyện tập 3 (trang 8)

Đề bài: Cho các đơn thức:

$$\dfrac{5}{3}x^2y; \quad -xy^2; \quad 0{,}5x^4; \quad -2xy^2; \quad 2{,}75x^4; \quad -\dfrac{1}{4}x^2y; \quad 3xy^2.$$

Hãy sắp xếp các đơn thức đã cho thành từng nhóm, sao cho tất cả các đơn thức đồng dạng thì thuộc cùng một nhóm.

Lời giải:

Hai đơn thức đồng dạng khi có cùng phần biến (và hệ số khác $0$). Ta liệt kê phần biến của từng đơn thức:

• $\dfrac{5}{3}x^2y$ có phần biến $x^2y$.
• $-xy^2$ có phần biến $xy^2$.
• $0{,}5x^4$ có phần biến $x^4$.
• $-2xy^2$ có phần biến $xy^2$.
• $2{,}75x^4$ có phần biến $x^4$.
• $-\dfrac{1}{4}x^2y$ có phần biến $x^2y$.
• $3xy^2$ có phần biến $xy^2$.

Gom các đơn thức có cùng phần biến vào một nhóm, ta được:

• Nhóm 1 (phần biến $x^2y$): $\dfrac{5}{3}x^2y$ và $-\dfrac{1}{4}x^2y$.
• Nhóm 2 (phần biến $xy^2$): $-xy^2$; $-2xy^2$ và $3xy^2$.
• Nhóm 3 (phần biến $x^4$): $0{,}5x^4$ và $2{,}75x^4$.

Tranh luận (trang 8)

Đề bài: Ta đã biết nếu hai đơn thức một biến có cùng biến và có cùng bậc thì đồng dạng với nhau. Hỏi điều đó có còn đúng không đối với hai đơn thức hai biến (nhiều hơn một biến)?

Lời giải:

Đối với đơn thức nhiều biến (từ hai biến trở lên), điều đó không còn đúng nữa.

Phản ví dụ: lấy lại $A = 2x^2y^3$ và $C = x^3y^2$ trong HĐ4. Hai đơn thức này:

• Đều có hai biến là $x$ và $y$ (cùng biến).
• Đều có bậc bằng $5$ (cùng bậc).

Nhưng phần biến của $A$ là $x^2y^3$, còn phần biến của $C$ là $x^3y^2$ — khác nhau. Do đó $A$ và $C$ không đồng dạng.

Kết luận: với đơn thức nhiều biến, “cùng biến và cùng bậc” chưa đủ để đồng dạng; bắt buộc phải giống nhau cả phần biến (tức từng biến phải có cùng số mũ).

Hoạt động 5 (trang 8)

Đề bài: Quan sát ví dụ sau:

$$2{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3 + 8{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = (2{,}5 + 8{,}5) \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 11 \cdot 3^2 \cdot 5^3.$$

Trong ví dụ này, ta đã vận dụng tính chất gì của phép nhân để thu gọn tổng ban đầu?

Lời giải:

Trong ví dụ này, ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$$a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c.$$

Cụ thể, hai hạng tử $2{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ và $8{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ có chung “thừa số” $3^2 \cdot 5^3$, nên ta đặt thừa số chung ra ngoài và cộng hai hệ số $2{,}5$ và $8{,}5$ lại với nhau, được $(2{,}5 + 8{,}5) \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 11 \cdot 3^2 \cdot 5^3$.

Hoạt động 6 (trang 8)

Đề bài: Cho hai đơn thức đồng dạng $M = 2{,}5x^2y^3$ và $P = 8{,}5x^2y^3$. Tương tự HĐ5, hãy:

a) Thu gọn tổng $M + P$;

b) Thu gọn hiệu $M – P$.

Lời giải:

Hai đơn thức $M$ và $P$ có chung phần biến là $x^2y^3$, nên ta cũng đặt phần biến này làm thừa số chung (giống cách làm ở HĐ5):

a) Thu gọn $M + P$:

$$M + P = 2{,}5x^2y^3 + 8{,}5x^2y^3 = (2{,}5 + 8{,}5)x^2y^3 = 11x^2y^3.$$

b) Thu gọn $M – P$:

$$M – P = 2{,}5x^2y^3 – 8{,}5x^2y^3 = (2{,}5 – 8{,}5)x^2y^3 = -6x^2y^3.$$

Nhận xét: để cộng (hay trừ) hai đơn thức đồng dạng, ta chỉ cần cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Luyện tập 4 (trang 9)

Đề bài: Cho các đơn thức $-x^3y$; $4x^3y$ và $-2x^3y$.

a) Tính tổng $S$ của ba đơn thức đó.

b) Tính giá trị của tổng $S$ tại $x = 2$; $y = -3$.

Lời giải:

a) Ba đơn thức $-x^3y$; $4x^3y$; $-2x^3y$ đều có cùng phần biến $x^3y$ (và hệ số khác $0$) nên chúng là các đơn thức đồng dạng. Ta cộng các hệ số $-1$, $4$, $-2$ với nhau và giữ nguyên phần biến:

$$S = -x^3y + 4x^3y + (-2x^3y) = (-1 + 4 – 2)x^3y = 1 \cdot x^3y = x^3y.$$

b) Thay $x = 2$ và $y = -3$ vào $S = x^3y$:

$$S = 2^3 \cdot (-3) = 8 \cdot (-3) = -24.$$

Vậy tại $x = 2$; $y = -3$, giá trị của tổng $S$ là $-24$.

Vận dụng (trang 9)

Đề bài: Trở lại các lập luận của Tròn và Vuông trong tình huống mở đầu. Hãy trả lời và giải thích rõ tại sao.

Nhắc lại: Một nhóm thiện nguyện chuẩn bị $y$ phần quà, mỗi phần gồm $x$ kg gạo và $x$ gói mì ăn liền. Biết gạo $12$ nghìn đồng/kg; mì $4{,}5$ nghìn đồng/gói.

• Tròn: Biểu thức cần tìm là $12xy + 4{,}5xy$.
• Vuông: Biểu thức cần tìm là $16{,}5xy$.

Lời giải:

Cả hai bạn Tròn và Vuông đều giải đúng.

Giải thích:

• Lập luận của Tròn: tổng số gạo trong $y$ phần quà là $xy$ (kg), trị giá $12 \cdot xy = 12xy$ (nghìn đồng); tổng số gói mì là $xy$ (gói), trị giá $4{,}5 \cdot xy = 4{,}5xy$ (nghìn đồng). Cộng lại, toàn bộ số quà trị giá $12xy + 4{,}5xy$ (nghìn đồng).
• Lập luận của Vuông: mỗi phần quà trị giá $12x + 4{,}5x = 16{,}5x$ (nghìn đồng); $y$ phần quà trị giá $16{,}5x \cdot y = 16{,}5xy$ (nghìn đồng).

Hai biểu thức $12xy + 4{,}5xy$ và $16{,}5xy$ thực ra bằng nhau, vì $12xy$ và $4{,}5xy$ là hai đơn thức đồng dạng (cùng phần biến $xy$), nên ta cộng hệ số:

$$12xy + 4{,}5xy = (12 + 4{,}5)xy = 16{,}5xy.$$

Như vậy hai biểu thức biểu thị cùng một giá trị; chỉ khác là biểu thức $16{,}5xy$ của Vuông đã được thu gọn (là một đơn thức), còn biểu thức của Tròn là tổng của hai đơn thức đồng dạng — nếu thu gọn lại sẽ cho cùng kết quả $16{,}5xy$.

Bài tập (trang 9 – 10)

Bài 1.1 (trang 9)

Đề bài: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

$$-x; \quad (1 + x)y^2; \quad (3 + \sqrt{3})xy; \quad 0; \quad \dfrac{1}{y}x^2; \quad 2\sqrt{xy}.$$

Lời giải:

Ta kiểm tra từng biểu thức theo định nghĩa đơn thức:

• $-x$: là tích của số $-1$ với biến $x$ → là đơn thức.
• $(1 + x)y^2$: bên trong có phép cộng $(1 + x)$ với $x$ là biến → không là đơn thức.
• $(3 + \sqrt{3})xy$: $(3 + \sqrt{3})$ là một số cụ thể (phép cộng giữa hai số $3$ và $\sqrt{3}$, không có biến), nên đây là tích của một số với các biến → là đơn thức.
• $0$: là một số → là đơn thức (số $0$ cũng được coi là một đơn thức).
• $\dfrac{1}{y}x^2$: có biến $y$ ở mẫu, không có dạng tích của số với luỹ thừa nguyên dương của các biến → không là đơn thức.
• $2\sqrt{xy}$: có biến $xy$ nằm dưới căn bậc hai → không là đơn thức.

Vậy các biểu thức là đơn thức gồm: $-x$; $(3 + \sqrt{3})xy$; $0$.

Bài 1.2 (trang 9)

Đề bài: Cho các đơn thức:

$$A = 4x(-2)x^2y; \quad B = 12{,}75xyz; \quad C = (1 + 2 \cdot 4{,}5)x^2y\dfrac{1}{5}y^3; \quad D = (2 – \sqrt{5})x.$$

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Với mỗi đơn thức nhận được, hãy cho biết hệ số, phần biến và bậc của nó.

Lời giải:

a) Phân loại và thu gọn.

Nhắc lại: đơn thức thu gọn chỉ gồm một số (hệ số) nhân với các biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

• $A = 4x(-2)x^2y$: có hai số $4$ và $-2$, và biến $x$ xuất hiện $2$ lần → chưa thu gọn. Thu gọn:

$$A = 4 \cdot (-2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = -8x^3y.$$

• $B = 12{,}75xyz$: chỉ gồm một số $12{,}75$ và mỗi biến $x$, $y$, $z$ xuất hiện đúng một lần → đã là đơn thức thu gọn.
• $C = (1 + 2 \cdot 4{,}5)x^2y \cdot \dfrac{1}{5}y^3$: hệ số chưa rút gọn (có $(1 + 2 \cdot 4{,}5)$ và $\dfrac{1}{5}$) và biến $y$ xuất hiện $2$ lần → chưa thu gọn. Thu gọn:

Trước hết tính $1 + 2 \cdot 4{,}5 = 1 + 9 = 10$. Sau đó:

$$C = 10 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^2 \cdot (y \cdot y^3) = 2x^2y^4.$$

• $D = (2 – \sqrt{5})x$: $(2 – \sqrt{5})$ là một số cụ thể, và biến $x$ chỉ xuất hiện một lần → đã là đơn thức thu gọn.

Vậy: $B$ và $D$ đã là đơn thức thu gọn; $A$ và $C$ sau khi thu gọn lần lượt là $-8x^3y$ và $2x^2y^4$.

b) Hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức:

• $A = -8x^3y$: hệ số $-8$; phần biến $x^3y$; bậc $3 + 1 = 4$.
• $B = 12{,}75xyz$: hệ số $12{,}75$; phần biến $xyz$; bậc $1 + 1 + 1 = 3$.
• $C = 2x^2y^4$: hệ số $2$; phần biến $x^2y^4$; bậc $2 + 4 = 6$.
• $D = (2 – \sqrt{5})x$: hệ số $(2 – \sqrt{5})$; phần biến $x$; bậc $1$.

Bài 1.3 (trang 10)

Đề bài: Thu gọn rồi tính giá trị của mỗi đơn thức sau:

a) $A = (-2)x^2y \cdot \dfrac{1}{2}xy$ khi $x = -2$; $y = \dfrac{1}{2}$.

b) $B = xyz(-0{,}5)y^2z$ khi $x = 4$; $y = 0{,}5$; $z = 2$.

Lời giải:

a) Thu gọn $A$: nhóm các số lại và nhóm các luỹ thừa cùng cơ số lại:

$$A = (-2) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -1 \cdot x^3 \cdot y^2 = -x^3y^2.$$

Thay $x = -2$ và $y = \dfrac{1}{2}$ vào $A = -x^3y^2$:

$$A = -(-2)^3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = -(-8) \cdot \dfrac{1}{4} = 8 \cdot \dfrac{1}{4} = 2.$$

Vậy tại $x = -2$; $y = \dfrac{1}{2}$, giá trị của $A$ là $2$.

b) Thu gọn $B$: nhóm các số và các luỹ thừa cùng cơ số:

$$B = (-0{,}5) \cdot x \cdot (y \cdot y^2) \cdot (z \cdot z) = -0{,}5xy^3z^2.$$

Thay $x = 4$; $y = 0{,}5$; $z = 2$ vào $B = -0{,}5xy^3z^2$:

$$B = -0{,}5 \cdot 4 \cdot (0{,}5)^3 \cdot 2^2.$$

Tính từng bước cho gọn:

• $-0{,}5 \cdot 4 = -2$.
• $(0{,}5)^3 = 0{,}125$ nên $-2 \cdot 0{,}125 = -0{,}25$.
• $2^2 = 4$ nên $-0{,}25 \cdot 4 = -1$.

Vậy tại $x = 4$; $y = 0{,}5$; $z = 2$, giá trị của $B$ là $-1$.

Bài 1.4 (trang 10)

Đề bài: Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm, mỗi nhóm chứa tất cả các đơn thức đồng dạng với nhau:

$$3x^3y^2; \quad -0{,}2x^2y^3; \quad 7x^3y^2; \quad -4y; \quad \dfrac{3}{4}x^2y^3; \quad y\sqrt{2}.$$

Lời giải:

Hai đơn thức đồng dạng khi có hệ số khác $0$ và phần biến giống nhau. Ta liệt kê phần biến của từng đơn thức:

• $3x^3y^2$ có phần biến $x^3y^2$.
• $-0{,}2x^2y^3$ có phần biến $x^2y^3$.
• $7x^3y^2$ có phần biến $x^3y^2$.
• $-4y$ có phần biến $y$.
• $\dfrac{3}{4}x^2y^3$ có phần biến $x^2y^3$.
• $y\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot y$ có phần biến $y$ (hệ số là $\sqrt{2}$).

Gom các đơn thức có cùng phần biến vào cùng một nhóm, ta được:

• Nhóm 1 (phần biến $x^3y^2$): $3x^3y^2$ và $7x^3y^2$.
• Nhóm 2 (phần biến $x^2y^3$): $-0{,}2x^2y^3$ và $\dfrac{3}{4}x^2y^3$.
• Nhóm 3 (phần biến $y$): $-4y$ và $y\sqrt{2}$.

Bài 1.5 (trang 10)

Đề bài: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

$$S = \dfrac{1}{2}x^2y^5 – \dfrac{5}{2}x^2y^5 \text{ khi } x = -2; ; y = 1.$$

Lời giải:

Hai đơn thức $\dfrac{1}{2}x^2y^5$ và $\dfrac{5}{2}x^2y^5$ có cùng phần biến $x^2y^5$ nên là hai đơn thức đồng dạng. Ta trừ hệ số và giữ nguyên phần biến:

$$S = \dfrac{1}{2}x^2y^5 – \dfrac{5}{2}x^2y^5 = \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}\right)x^2y^5 = -\dfrac{4}{2}x^2y^5 = -2x^2y^5.$$

Thay $x = -2$ và $y = 1$ vào $S = -2x^2y^5$:

$$S = -2 \cdot (-2)^2 \cdot 1^5 = -2 \cdot 4 \cdot 1 = -8.$$

Vậy tại $x = -2$; $y = 1$, giá trị của $S$ là $-8$.

Bài 1.6 (trang 10)

Đề bài: Tính tổng của bốn đơn thức:

$$2x^2y^3; \quad -\dfrac{3}{5}x^2y^3; \quad -14x^2y^3; \quad \dfrac{8}{5}x^2y^3.$$

Lời giải:

Cả bốn đơn thức đều có cùng phần biến $x^2y^3$ nên chúng là các đơn thức đồng dạng. Ta cộng các hệ số và giữ nguyên phần biến:

$$\text{Tổng} = 2x^2y^3 + \left(-\dfrac{3}{5}x^2y^3\right) + (-14x^2y^3) + \dfrac{8}{5}x^2y^3 = \left(2 – \dfrac{3}{5} – 14 + \dfrac{8}{5}\right)x^2y^3.$$

Tính hệ số bằng cách nhóm các số nguyên với nhau và các phân số với nhau:

$$2 – \dfrac{3}{5} – 14 + \dfrac{8}{5} = (2 – 14) + \left(-\dfrac{3}{5} + \dfrac{8}{5}\right) = -12 + \dfrac{5}{5} = -12 + 1 = -11.$$

Vậy tổng của bốn đơn thức là:

$$\text{Tổng} = -11x^2y^3.$$

Bài 1.7 (trang 10)

Đề bài: Một mảnh đất có dạng như phần được tô màu xanh trong hình bên (hình chữ “L”) cùng với các kích thước (tính bằng mét) được ghi trên đó: cạnh $AD = 2x$, cạnh $FG = 3x$, cạnh $DC = 2y$, cạnh $CG = y$. Hãy tìm đơn thức (thu gọn) với hai biến $x$ và $y$ biểu thị diện tích của mảnh đất đã cho bằng hai cách:

• Cách 1: Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật $ABCD$ và $EFGC$.
• Cách 2: Lấy diện tích của hình chữ nhật $HFGD$ trừ đi diện tích của hình chữ nhật $HEBA$.

Lời giải:

Cách 1: Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật $ABCD$ và $EFGC$.

• Hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng $DC = 2y$ và chiều cao $AD = 2x$. Diện tích:

$$S_{ABCD} = 2y \cdot 2x = 4xy ; (\text{m}^2).$$

• Hình chữ nhật $EFGC$ có chiều rộng $CG = y$ và chiều cao $FG = 3x$. Diện tích:

$$S_{EFGC} = y \cdot 3x = 3xy ; (\text{m}^2).$$

Diện tích mảnh đất bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật trên:

$$S = S_{ABCD} + S_{EFGC} = 4xy + 3xy = (4 + 3)xy = 7xy ; (\text{m}^2).$$

Cách 2: Lấy diện tích hình chữ nhật lớn $HFGD$ trừ đi diện tích hình chữ nhật nhỏ $HEBA$.

• Hình chữ nhật $HFGD$ có:
  • Cạnh đáy $DG = DC + CG = 2y + y = 3y$.
  • Cạnh bên $HD = FG = 3x$ (vì $HFGD$ là hình chữ nhật, hai cạnh đối diện $HD$ và $FG$ bằng nhau).

  Diện tích:

$$S_{HFGD} = 3y \cdot 3x = 9xy ; (\text{m}^2).$$

• Hình chữ nhật $HEBA$ có:
  • Cạnh $AB = DC = 2y$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB$ và $DC$ là hai cạnh đối diện).
  • Cạnh $HA = HD – AD = 3x – 2x = x$.

  Diện tích:

$$S_{HEBA} = 2y \cdot x = 2xy ; (\text{m}^2).$$

Diện tích mảnh đất bằng:

$$S = S_{HFGD} – S_{HEBA} = 9xy – 2xy = (9 – 2)xy = 7xy ; (\text{m}^2).$$

Kết luận: Cả hai cách đều cho cùng kết quả — diện tích mảnh đất là $7xy$ (m$^2$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du