Bài tập (trang 108–109)

Bài 9.32 (trang 108)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$. Biết rằng $BH = 16$ cm, $CH = 9$ cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AH$.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB$ và $AC$.

Lời giải:

a) Tính $AH$.

Áp dụng hệ thức $h^2 = b’ c’$ (với $h = AH$, $b’ = CH$, $c’ = BH$):

$$AH^2 = BH \cdot CH = 16 \cdot 9 = 144 ;\Rightarrow; AH = 12 \text{ (cm)}.$$

b) Tính $AB$ và $AC$.

Trước tiên tính $BC = BH + CH = 16 + 9 = 25$ cm.

Áp dụng hệ thức $c^2 = a c’$ (với $c = AB$, $a = BC$, $c’ = BH$):

$$AB^2 = BC \cdot BH = 25 \cdot 16 = 400 ;\Rightarrow; AB = 20 \text{ (cm)}.$$

Áp dụng hệ thức $b^2 = a b’$ (với $b = AC$, $a = BC$, $b’ = CH$):

$$AC^2 = BC \cdot CH = 25 \cdot 9 = 225 ;\Rightarrow; AC = 15 \text{ (cm)}.$$

Kết luận: $AH = 12$ cm; $AB = 20$ cm; $AC = 15$ cm.

Bài 9.33 (trang 108)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm. Cho điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 4$ cm. Vẽ đường thẳng $MN$ vuông góc với $AC$ tại $N$ và đường thẳng $MP$ vuông góc với $AB$ tại $P$.

a) Chứng minh rằng $\triangle BMP \backsim \triangle MCN$.

b) Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.

Lời giải:

Bước 0: Chứng minh $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Kiểm tra theo định lí Pythagore đảo:

$$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = BC^2.$$

Vậy $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

a) Chứng minh $\triangle BMP \backsim \triangle MCN$.

Hai tam giác vuông $\triangle BMP$ (vuông tại $P$ do $MP \perp AB$) và $\triangle MCN$ (vuông tại $N$ do $MN \perp AC$). Ta tìm một cặp góc nhọn bằng nhau.

Vì $MN \perp AC$ và $AB \perp AC$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$) nên $MN \parallel AB$. Khi đó $BC$ là cát tuyến cắt hai đường thẳng song song $AB$ và $MN$:

$$\widehat{NMC} = \widehat{ABC} \quad (\text{hai góc đồng vị}).$$

Hai tam giác vuông $\triangle BMP$ và $\triangle MCN$ có:

• $\widehat{BPM} = \widehat{MNC} = 90^\circ$.
• $\widehat{PBM} = \widehat{NMC}$ (do $\widehat{PBM} = \widehat{ABC}$ và $\widehat{NMC} = \widehat{ABC}$).

Theo Định lí 1 (trường hợp đồng dạng góc nhọn của tam giác vuông): $\triangle BMP \backsim \triangle MCN$.

b) Tính $AM$.

Bước 1: Tính $BP$, $MP$, $CN$, $MN$ bằng đồng dạng.

Vì $MP \parallel AC$ (cùng vuông góc với $AB$), trong $\triangle ABC$ ta có $\triangle BMP \backsim \triangle BCA$ (cùng góc $B$, cùng vuông). Tỉ số:

$$\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{BP}{BA} = \dfrac{MP}{CA} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.$$

Suy ra:

$$BP = \dfrac{2}{5} \cdot AB = \dfrac{2}{5} \cdot 6 = \dfrac{12}{5} \text{ (cm)}; \quad MP = \dfrac{2}{5} \cdot AC = \dfrac{2}{5} \cdot 8 = \dfrac{16}{5} \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính $AP$ và xét tứ giác $APMN$.

$$AP = AB – BP = 6 – \dfrac{12}{5} = \dfrac{30 – 12}{5} = \dfrac{18}{5} \text{ (cm)}.$$

Tứ giác $APMN$ có ba góc vuông:

• $\widehat{PAN} = 90^\circ$ ($\triangle ABC$ vuông tại $A$);
• $\widehat{APM} = 90^\circ$ ($MP \perp AB$);
• $\widehat{ANM} = 90^\circ$ ($MN \perp AC$).

Do đó $APMN$ là hình chữ nhật, và $AM$ là đường chéo.

Bước 3: Tính $AM$ bằng định lí Pythagore trong $\triangle APM$ vuông tại $P$:

$$AM^2 = AP^2 + PM^2 = \left(\dfrac{18}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 = \dfrac{324}{25} + \dfrac{256}{25} = \dfrac{580}{25}.$$

$$AM = \sqrt{\dfrac{580}{25}} = \dfrac{\sqrt{580}}{5} = \dfrac{2\sqrt{145}}{5} \text{ (cm)} \approx 4{,}82 \text{ cm}.$$

Kết luận: $AM = \dfrac{2\sqrt{145}}{5}$ cm (xấp xỉ $4{,}82$ cm).

Bài 9.34 (trang 108)

Đề bài: Trong Hình 9.72, cho $AH$, $HE$, $HF$ lần lượt là các đường cao của các tam giác $ABC$, $AHB$, $AHC$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle AEH \backsim \triangle AHB$;

b) $\triangle AFH \backsim \triangle AHC$;

c) $\triangle AFE \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

a) Chứng minh $\triangle AEH \backsim \triangle AHB$.

Xét hai tam giác:

• $\triangle AEH$ vuông tại $E$ ($HE \perp AB$).
• $\triangle AHB$ vuông tại $H$ ($AH \perp BC$, mà $HB$ nằm trên $BC$, nên $AH \perp HB$).

Hai tam giác có chung góc nhọn $\widehat{HAB}$ (đây cũng là $\widehat{EAH}$ vì $E$ trên $AB$).

Theo Định lí 1: $\triangle AEH \backsim \triangle AHB$. (đpcm)

b) Chứng minh $\triangle AFH \backsim \triangle AHC$.

Xét hai tam giác:

• $\triangle AFH$ vuông tại $F$ ($HF \perp AC$).
• $\triangle AHC$ vuông tại $H$ ($AH \perp BC$, mà $HC$ nằm trên $BC$).

Hai tam giác có chung góc nhọn $\widehat{HAC}$ (đây cũng là $\widehat{FAH}$ vì $F$ trên $AC$).

Theo Định lí 1: $\triangle AFH \backsim \triangle AHC$. (đpcm)

c) Chứng minh $\triangle AFE \backsim \triangle ABC$.

Bước 1: Suy ra các tỉ số từ a) và b).

Từ $\triangle AEH \backsim \triangle AHB$: $\dfrac{AE}{AH} = \dfrac{AH}{AB}$, suy ra $AE \cdot AB = AH^2$. $\quad (1)$

Từ $\triangle AFH \backsim \triangle AHC$: $\dfrac{AF}{AH} = \dfrac{AH}{AC}$, suy ra $AF \cdot AC = AH^2$. $\quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$: $AE \cdot AB = AF \cdot AC$, hay:

$$\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{AE}{AC}. \quad (\star)$$

Bước 2: Áp dụng trường hợp c.g.c.

Hai tam giác $\triangle AFE$ và $\triangle ABC$ có:

• $\widehat{FAE} = \widehat{BAC}$ (góc chung tại $A$).
• $\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ (theo $(\star)$ — hai cặp cạnh xen quanh góc $A$ tỉ lệ).

Theo trường hợp đồng dạng c.g.c: $\triangle AFE \backsim \triangle ABC$. (đpcm)

Bài 9.35 (trang 109)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Cho $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Chứng minh $\triangle HBM \backsim \triangle HAN$.

Lời giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Vì $AH$ là đường cao xuống $BC$ nên $\triangle ABH$ vuông tại $H$ và $\triangle ACH$ vuông tại $H$.

Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ (vì $M$ là trung điểm $AB$). Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

$$HM = \dfrac{AB}{2} = BM.$$

Tương tự, trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$, $HN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$:

$$HN = \dfrac{AC}{2} = AN.$$

Bước 2: Tìm cặp góc bằng nhau.

Vì $HM = BM$ nên $\triangle BMH$ cân tại $M$, suy ra $\widehat{MBH} = \widehat{MHB}$, hay $\widehat{HBM} = \widehat{ABC}$ (vì $M$ trên $AB$).

Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{BAH} = 90^\circ – \widehat{ABC}$.

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{BAH} + \widehat{HAC} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{HAC} = 90^\circ – \widehat{BAH} = \widehat{ABC}$.

Vì $N$ trên $AC$ nên $\widehat{HAN} = \widehat{HAC} = \widehat{ABC}$.

Vậy:

$$\widehat{HBM} = \widehat{ABC} = \widehat{HAN}. \quad (\star)$$

Bước 3: Tìm tỉ số cạnh.

Hai tam giác vuông $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$ (đều vuông tại $H$) có $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$ (cùng bằng $90^\circ – \widehat{ABC}$). Theo Định lí 1: $\triangle ABH \backsim \triangle CAH$, suy ra:

$$\dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AB}{CA}. \quad (1)$$

Mặt khác:

$$\dfrac{BM}{AN} = \dfrac{AB/2}{AC/2} = \dfrac{AB}{AC}. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\dfrac{BH}{AH} = \dfrac{BM}{AN}$.

Bước 4: Áp dụng c.g.c.

Hai tam giác $\triangle HBM$ và $\triangle HAN$ có:

• $\widehat{HBM} = \widehat{HAN}$ (theo $(\star)$, góc xen giữa hai cặp cạnh).
• $\dfrac{BH}{AH} = \dfrac{BM}{AN}$.

Theo trường hợp c.g.c: $\triangle HBM \backsim \triangle HAN$. (đpcm)

Bài 9.36 (trang 109)

Đề bài: Vào gần buổi trưa, khi bóng bạn An dài $60$ cm thì bóng cột cờ dài $3$ m.

a) Biết rằng bạn An cao $1{,}4$ m. Hỏi cột cờ cao bao nhiêu mét?

b) Vào buổi chiều khi bóng bạn An dài $3$ m, hỏi bóng cột cờ dài bao nhiêu mét?

Lời giải:

Phân tích: Tại cùng một thời điểm, các tia nắng Mặt Trời chiếu xuống được coi là song song với nhau và cùng tạo một góc với mặt đất. Do đó, bạn An (cùng bóng) và cột cờ (cùng bóng) tạo thành hai tam giác vuông đồng dạng (cùng có một góc vuông tại mặt đất và một cặp góc nhọn bằng nhau — góc tia nắng tạo với mặt đất). Khi đó:

$$\dfrac{\text{chiều cao An}}{\text{bóng An}} = \dfrac{\text{chiều cao cột cờ}}{\text{bóng cột cờ}}.$$

a) Tính chiều cao cột cờ.

Đổi đơn vị: $60$ cm $= 0{,}6$ m.

Gọi chiều cao cột cờ là $h$ (m). Theo tỉ lệ trên:

$$\dfrac{1{,}4}{0{,}6} = \dfrac{h}{3} ;\Rightarrow; h = \dfrac{1{,}4 \cdot 3}{0{,}6} = \dfrac{4{,}2}{0{,}6} = 7 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Cột cờ cao $7$ m.

b) Tính bóng cột cờ buổi chiều.

Vào buổi chiều, góc nắng đã khác nên hai bóng dài hơn, nhưng tại cùng thời điểm tỉ lệ “chiều cao : bóng” vẫn áp dụng được. Gọi bóng cột cờ buổi chiều là $x$ (m):

$$\dfrac{1{,}4}{3} = \dfrac{7}{x} ;\Rightarrow; x = \dfrac{7 \cdot 3}{1{,}4} = \dfrac{21}{1{,}4} = 15 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Buổi chiều khi bóng An dài $3$ m thì bóng cột cờ dài $15$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du