1. Hình bình hành và tính chất

Hoạt động 1 (trang 57)

Đề bài: Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Lời giải:

Quan sát ba tứ giác trên lưới ô vuông, ta dùng định nghĩa: hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song để kiểm tra.

• Hình 3.28a: hai cặp cạnh đối không song song với nhau (kiểm tra bằng cách đếm ô vuông để so sánh hướng các cạnh) → không phải hình bình hành.
• Hình 3.28b: tứ giác có dạng hình “cái diều”, các cạnh đối không song song → không phải hình bình hành.
• Hình 3.28c: bằng cách đếm số ô vuông theo các cạnh, ta thấy hai cặp cạnh đối có cùng “độ nghiêng” (cạnh $AB$ song song với cạnh $CD$, cạnh $AD$ song song với cạnh $BC$). Đồng thời $AB = CD$ và $AD = BC$.

Vậy tứ giác trong Hình 3.28c là hình bình hành.

Thực hành 1 (trang 58)

Đề bài: Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng $3$ cm, $4$ cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng $60^\circ$. Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.

Lời giải:

Giả sử hình bình hành cần vẽ là $ABCD$ với $AB = 4$ cm, $AD = 3$ cm và $\widehat{BAD} = 60^\circ$.

Cách vẽ:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = 4$ cm.

Bước 2: Tại đỉnh $A$, dựng tia $Ax$ tạo với tia $AB$ một góc bằng $60^\circ$. Trên tia $Ax$, lấy điểm $D$ sao cho $AD = 3$ cm.

Bước 3: Qua $B$, vẽ đường thẳng song song với $AD$; qua $D$, vẽ đường thẳng song song với $AB$. Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $C$.

Tứ giác $ABCD$ vừa dựng là hình bình hành cần tìm.

Giải thích: Theo cách dựng, tứ giác $ABCD$ có $BC // AD$ (do qua $B$ kẻ đường song song với $AD$) và $DC // AB$ (do qua $D$ kẻ đường song song với $AB$). Vậy $ABCD$ là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, nên theo định nghĩa, $ABCD$ là hình bình hành.

Hoạt động 2 (trang 58)

Đề bài: Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.

Lời giải:

Các tính chất của hình bình hành đã biết (từ những lớp dưới):

• Hai cặp cạnh đối song song.
• Hai cặp cạnh đối bằng nhau.

(Hai tính chất tiếp theo — về góc đối và đường chéo — sẽ được chứng minh ở Hoạt động 3 dưới đây và phát biểu thành Định lí 1.)

Hoạt động 3 (trang 58)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ (H.3.30).

a) Chứng minh $\triangle ABC = \triangle CDA$. Từ đó suy ra $AB = CD$, $AD = BC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$.

b) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CDB$. Từ đó suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$.

c) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$, $BD$. Chứng minh $\triangle AOB = \triangle COD$. Từ đó suy ra $OA = OC$, $OB = OD$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$ và $AD // BC$.

a) Chứng minh $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Xét $AC$ như cát tuyến của hai cặp đường thẳng song song:

• $AB // CD$, cát tuyến $AC$ $\Rightarrow$ $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (hai góc so le trong);
• $AD // BC$, cát tuyến $AC$ $\Rightarrow$ $\widehat{DAC} = \widehat{BCA}$ (hai góc so le trong).

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$:

• $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (chứng minh trên);
• Cạnh $AC$ chung;
• $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle ABC = \triangle CDA$ (g.c.g).

Suy ra: $AB = CD$, $BC = DA$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$ (hai góc tương ứng).

b) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CDB$:

• $AB = CD$ (chứng minh ở câu a);
• $AD = CB$ (chứng minh ở câu a);
• Cạnh $BD$ chung.

Do đó $\triangle ABD = \triangle CDB$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng).

c) Chứng minh $\triangle AOB = \triangle COD$.

Vì $O$ nằm trên $AC$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{BAC}$. Vì $O$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{OBA} = \widehat{DBA}$.

Tương tự, $\widehat{OCD} = \widehat{ACD}$ và $\widehat{ODC} = \widehat{BDC}$.

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song bị cắt bởi cát tuyến:

• $AB // CD$, cát tuyến $AC$ $\Rightarrow$ $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$, tức là $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$.
• $AB // CD$, cát tuyến $BD$ $\Rightarrow$ $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$, tức là $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$.

Xét $\triangle AOB$ và $\triangle COD$:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (chứng minh trên);
• $AB = CD$ (câu a);
• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle AOB = \triangle COD$ (g.c.g).

Suy ra $OA = OC$ và $OB = OD$ (các cặp cạnh tương ứng).

Luyện tập 1 (trang 59)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Từ một điểm $M$ tuỳ ý trên cạnh $BC$, kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt cạnh $AC$ tại $N$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt cạnh $AB$ tại $P$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $NP$. Chứng minh rằng $I$ cũng là trung điểm của đoạn thẳng $AM$.

Lời giải:

Xét tứ giác $APMN$ với các đỉnh: $A$ (đỉnh tam giác), $P$ (trên $AB$), $M$ (trên $BC$), $N$ (trên $AC$).

Theo đề bài:

• $MN$ song song với $AB$. Vì $AP$ nằm trên $AB$ nên $MN // AP$.
• $MP$ song song với $AC$. Vì $AN$ nằm trên $AC$ nên $MP // AN$.

Tứ giác $APMN$ có hai cặp cạnh đối song song ($AP // MN$ và $AN // MP$) nên $APMN$ là hình bình hành.

Theo Định lí 1c, hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hai đường chéo của hình bình hành $APMN$ là $AM$ và $PN$.

Mà $I$ là trung điểm của $NP$ (giả thiết), nên giao điểm của hai đường chéo $AM$ và $PN$ chính là $I$. Suy ra $I$ cũng là trung điểm của $AM$ (đpcm).

Tranh luận (trang 59)

Đề bài: Tròn khẳng định: Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân.

Vuông lại cho rằng: Tròn sai rồi! Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình thang cân.

Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Vuông đúng.

Khẳng định “hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau” (chiều thuận) là đúng — đây chính là Định lí 1 của bài hình thang cân. Nhưng khẳng định ngược lại “hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì là hình thang cân” thì không đúng trong mọi trường hợp.

Cụ thể, một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau rơi vào một trong hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song với nhau. Khi đó hình thang là hình thang cân.
• Trường hợp 2: Hai cạnh bên bằng nhau và song song với nhau. Khi đó tứ giác có cả hai cặp cạnh đối song song (cặp đáy và cặp cạnh bên), nên đây là hình bình hành chứ không phải hình thang cân.

Vì có trường hợp 2 tồn tại nên Tròn nhầm. Bạn Vuông đúng.

2. Dấu hiệu nhận biết

Câu hỏi 1 (trang 60)

Đề bài: Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 2.

Nhắc lại Định lí 2:

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

Lời giải:

a)

b)

Luyện tập 2 (trang 60)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ ($AB > BC$). Tia phân giác của góc $D$ cắt $AB$ tại $E$ và tia phân giác của góc $B$ cắt $CD$ tại $F$ (H.3.32).

a) Chứng minh hai tam giác $ADE$ và $CBF$ là những tam giác cân, bằng nhau.

b) Tứ giác $DEBF$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

a) Chứng minh tam giác $ADE$ và $CBF$ là những tam giác cân, bằng nhau.

Bước 1: Tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$. $DE$ là cát tuyến cắt hai đường thẳng song song này, nên:

$$\widehat{AED} = \widehat{EDC} \quad \text{(hai góc so le trong)}. \quad (1)$$

Vì $DE$ là tia phân giác của $\widehat{ADC}$ nên:

$$\widehat{ADE} = \widehat{EDC}. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{AED} = \widehat{ADE}$.

Tam giác $ADE$ có hai góc $\widehat{AED}$ và $\widehat{ADE}$ bằng nhau, nên là tam giác cân tại $A$. Do đó $AE = AD$.

Bước 2: Tương tự, tam giác $CBF$ cân tại $C$.

Vì $AB // CD$, $BF$ là cát tuyến nên $\widehat{CFB} = \widehat{FBA}$ (so le trong). Vì $BF$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABF} = \widehat{FBC}$. Suy ra $\widehat{CFB} = \widehat{CBF}$.

Tam giác $CBF$ có hai góc bằng nhau, nên cân tại $C$. Do đó $CF = CB$.

Bước 3: Hai tam giác $ADE$ và $CBF$ bằng nhau.

Trong hình bình hành $ABCD$: $\widehat{A} = \widehat{C}$ (hai góc đối) và $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$ (hai góc đối). Vì hai tia phân giác chia đôi $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ADC}$, ta có:

$$\widehat{ADE} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADC} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = \widehat{CBF}.$$

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle CBF$:

• $\widehat{DAE} = \widehat{BCF}$ (vì $\widehat{A} = \widehat{C}$);
• $AD = CB$ (hai cạnh đối hình bình hành);
• $\widehat{ADE} = \widehat{CBF}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle ADE = \triangle CBF$ (g.c.g).

b) Tứ giác $DEBF$ là hình gì?

Xét tứ giác $DEBF$ với các đỉnh: $D$, $E$ (trên $AB$), $B$, $F$ (trên $CD$).

Hai cạnh đối $EB$ và $DF$:

• $EB$ nằm trên $AB$, $DF$ nằm trên $CD$. Vì $AB // CD$ nên $EB // DF$.
• Tính độ dài: $EB = AB – AE$ và $DF = CD – CF$. Mà $AB = CD$ (hai cạnh đối hình bình hành), $AE = AD = CB = CF$ (từ câu a, các tam giác cân bằng nhau). Suy ra $EB = DF$.

Tứ giác $DEBF$ có một cặp cạnh đối $EB$ và $DF$ vừa song song vừa bằng nhau. Theo Định lí 2b, $DEBF$ là hình bình hành.

Thực hành 2 (trang 60)

Đề bài: Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác $ABCD$ (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác $ABCD$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Theo cách chia, sợi dây gồm:

• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, đặt ở hai cạnh đối nhau: $AB = CD$.
• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, đặt ở hai cạnh đối còn lại: $AD = BC$.

Tứ giác $ABCD$ có hai cặp cạnh đối bằng nhau ($AB = CD$ và $AD = BC$). Theo Định lí 2a, $ABCD$ là hình bình hành.

Câu hỏi 2 (trang 61)

Đề bài: Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Nhắc lại Định lí 3:

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Lời giải:

a)

b)

Luyện tập 3 (trang 61)

Đề bài: Cho hai điểm $A$, $B$ phân biệt và điểm $O$ không nằm trên đường thẳng $AB$. Gọi $A’$, $B’$ là các điểm sao cho $O$ là trung điểm của $AA’$, $BB’$. Chứng minh rằng $A’B’ = AB$ và đường thẳng $A’B’$ song song với đường thẳng $AB$.

Lời giải:

Xét tứ giác $ABA’B’$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $B$, $A’$, $B’$).

Hai đường chéo của tứ giác này là $AA’$ (nối hai đỉnh đối nhau $A$ và $A’$) và $BB’$ (nối hai đỉnh đối nhau $B$ và $B’$).

Theo giả thiết, $O$ là trung điểm của $AA’$ và $O$ cũng là trung điểm của $BB’$. Tức là hai đường chéo $AA’$ và $BB’$ cắt nhau tại điểm $O$ — trung điểm của mỗi đường.

Theo Định lí 3b, tứ giác $ABA’B’$ là hình bình hành.

Suy ra hai cạnh đối $AB$ và $A’B’$ song song và bằng nhau:

$$AB ;//; A’B’ \quad \text{và} \quad AB = A’B’.$$

Vậy $A’B’ = AB$ và đường thẳng $A’B’$ song song với đường thẳng $AB$ (đpcm).

Vận dụng (trang 61)

Đề bài: Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua $O$ sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ $O$ tới $a$ và tới $b$ bằng nhau.

Lời giải:

Ý tưởng: Theo gợi ý SGK, con đường cần mở là đường chéo của một hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm trên hai đường $a$ và $b$. Hai cạnh liên tiếp này phải chung một đỉnh, chính là giao điểm của $a$ và $b$.

Cách vẽ:

Bước 1: Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$.

Bước 2: Trên tia $IO$, lấy điểm $P$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn $IP$ (tức là kéo dài đoạn $IO$ thêm một đoạn nữa bằng $IO$, ta được điểm $P$).

Bước 3: Qua $P$, vẽ đường thẳng song song với $a$, cắt $b$ tại điểm $B$.

Bước 4: Qua $P$, vẽ đường thẳng song song với $b$, cắt $a$ tại điểm $A$.

Đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ chính là con đường cần mở.

Giải thích vì sao đường thẳng $AB$ đi qua $O$ và $OA = OB$:

Xét tứ giác $IAPB$ (các đỉnh theo thứ tự $I$, $A$, $P$, $B$):

• $IA$ thuộc đường thẳng $a$, $PB$ là đường thẳng qua $P$ song song với $a$, nên $IA // PB$.
• $IB$ thuộc đường thẳng $b$, $PA$ là đường thẳng qua $P$ song song với $b$, nên $IB // PA$.

Tứ giác $IAPB$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Hai đường chéo của hình bình hành $IAPB$ là $IP$ và $AB$. Theo Định lí 1c, hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $IP$ (theo Bước 2), nên $O$ cũng là trung điểm của $AB$, tức là $O$ nằm trên đoạn $AB$ và $OA = OB$.

Vậy đường thẳng $AB$ chính là con đường cần mở.

Bài tập (trang 61)

Bài 3.13 (trang 61)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

Lời giải:

a) Đúng. Hình thang đã có một cặp cạnh đối (cặp đáy) song song. Nếu hai cạnh bên cũng song song với nhau thì tứ giác có cả hai cặp cạnh đối song song, do đó theo định nghĩa là hình bình hành.

b) Sai. Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình thang cân (khi hai cạnh bên không song song) hoặc là hình bình hành (khi hai cạnh bên song song). Vì có trường hợp là hình thang cân (không phải hình bình hành) nên khẳng định “luôn là hình bình hành” là sai.

c) Đúng. “Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song” có nghĩa là cả hai cặp cạnh đối đều song song. Theo định nghĩa, tứ giác này là hình bình hành.

Bài 3.14 (trang 61)

Đề bài: Tính các góc còn lại của hình bình hành $ABCD$ trong Hình 3.35.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên theo Định lí 1b, các góc đối bằng nhau:

$$\widehat{A} = \widehat{C} \quad \text{và} \quad \widehat{B} = \widehat{D}.$$

Mà $\widehat{A} = 100^\circ$ nên $\widehat{C} = 100^\circ$.

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

$$100^\circ + \widehat{B} + 100^\circ + \widehat{B} = 360^\circ \quad (\text{vì } \widehat{B} = \widehat{D}).$$

$$2\widehat{B} + 200^\circ = 360^\circ ;\Rightarrow; 2\widehat{B} = 160^\circ ;\Rightarrow; \widehat{B} = 80^\circ.$$

Suy ra $\widehat{D} = \widehat{B} = 80^\circ$.

Vậy các góc còn lại là $\widehat{B} = 80^\circ$, $\widehat{C} = 100^\circ$, $\widehat{D} = 80^\circ$.

Bài 3.15 (trang 61)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Chứng minh $BF = DE$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB // CD$.

$E$ là trung điểm của $AB$ nên $BE = \dfrac{1}{2}AB$.

$F$ là trung điểm của $CD$ nên $DF = \dfrac{1}{2}CD$.

Mà $AB = CD$ nên $BE = DF$.

Xét tứ giác $BEDF$:

• $BE // DF$ (vì $BE$ thuộc $AB$, $DF$ thuộc $CD$, mà $AB // CD$);
• $BE = DF$ (chứng minh trên).

Tứ giác $BEDF$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, theo Định lí 2b, $BEDF$ là hình bình hành.

Suy ra hai cạnh đối còn lại bằng nhau: $BF = DE$ (đpcm).

Bài 3.16 (trang 61)

Đề bài: Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

(Theo Hình 3.36, các dữ kiện được cho:

• Hình 3.36a: $\widehat{A} = 100^\circ$, $\widehat{B} = 80^\circ$, $\widehat{C} = 100^\circ$, $\widehat{D}$ chưa biết.
• Hình 3.36b: $\widehat{A} = 75^\circ$, $\widehat{C} = 75^\circ$, $\widehat{D} = 90^\circ$, $\widehat{B}$ chưa biết.
• Hình 3.36c: $\widehat{A} = 70^\circ$, $\widehat{B} = 110^\circ$, $\widehat{D} = 110^\circ$, $\widehat{C}$ chưa biết.)

Lời giải:

Hình 3.36a: Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác:

$$\widehat{D} = 360^\circ – 100^\circ – 80^\circ – 100^\circ = 80^\circ.$$

Tứ giác có $\widehat{A} = \widehat{C} = 100^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{D} = 80^\circ$ — các góc đối bằng nhau. Theo Định lí 3a, tứ giác này là hình bình hành.

Hình 3.36b: Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác:

$$\widehat{B} = 360^\circ – 75^\circ – 75^\circ – 90^\circ = 120^\circ.$$

Tứ giác có $\widehat{A} = \widehat{C} = 75^\circ$ (hai góc đối bằng nhau), nhưng $\widehat{B} = 120^\circ$ và $\widehat{D} = 90^\circ$, tức là $\widehat{B} \neq \widehat{D}$. Vì không có cả hai cặp góc đối bằng nhau, theo Định lí 3a, tứ giác này không phải là hình bình hành.

Hình 3.36c: Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác:

$$\widehat{C} = 360^\circ – 70^\circ – 110^\circ – 110^\circ = 70^\circ.$$

Tứ giác có $\widehat{A} = \widehat{C} = 70^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{D} = 110^\circ$ — các góc đối bằng nhau. Theo Định lí 3a, tứ giác này là hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác trong Hình 3.36a và Hình 3.36c là hình bình hành; tứ giác trong Hình 3.36b không phải là hình bình hành.

Bài 3.17 (trang 61)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác $AEFD$, $AECF$ là những hình bình hành;

b) $EF = AD$, $AF = EC$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB // CD$.

$E$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow$ $AE = BE = \dfrac{1}{2}AB$.

$F$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow$ $CF = DF = \dfrac{1}{2}CD$.

Do $AB = CD$ nên $AE = BE = CF = DF$.

a) Hai tứ giác $AEFD$ và $AECF$ là hình bình hành.

Tứ giác $AEFD$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $E$, $F$, $D$):

• $AE$ thuộc $AB$, $DF$ thuộc $DC$. Vì $AB // DC$ nên $AE // DF$.
• $AE = DF$ (chứng minh trên).

Vậy $AEFD$ có một cặp cạnh đối ($AE$ và $DF$) song song và bằng nhau. Theo Định lí 2b, $AEFD$ là hình bình hành.

Tứ giác $AECF$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $E$, $C$, $F$):

• $AE$ thuộc $AB$, $CF$ thuộc $CD$. Vì $AB // CD$ nên $AE // CF$.
• $AE = CF$ (chứng minh trên).

Vậy $AECF$ có một cặp cạnh đối ($AE$ và $CF$) song song và bằng nhau. Theo Định lí 2b, $AECF$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $EF = AD$ và $AF = EC$.

• Vì $AEFD$ là hình bình hành (câu a) nên hai cạnh đối $EF$ và $AD$ bằng nhau: $EF = AD$.
• Vì $AECF$ là hình bình hành (câu a) nên hai cạnh đối $AF$ và $EC$ bằng nhau: $AF = EC$.

Vậy $EF = AD$ và $AF = EC$ (đpcm).

Bài 3.18 (trang 61)

Đề bài: Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng đi qua $O$ lần lượt cắt các cạnh $AB$, $CD$ của hình bình hành tại hai điểm $M$, $N$. Chứng minh $\triangle OAM = \triangle OCN$. Từ đó suy ra tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\triangle OAM = \triangle OCN$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành, theo Định lí 1:

• Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường, do đó $OA = OC$.
• $AB // CD$, suy ra $AM // CN$ (vì $M$ thuộc $AB$, $N$ thuộc $CD$).

Vì $AM // CN$ và $AC$ là cát tuyến, ta có $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (hai góc so le trong).

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OCN$:

• $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (chứng minh trên);
• $OA = OC$ (chứng minh trên);
• $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $\triangle OAM = \triangle OCN$ (g.c.g).

Suy ra $AM = CN$ (hai cạnh tương ứng).

Bước 2: Chứng minh tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$.

Ta có $AB = AM + MB$ và $CD = CN + ND$ (do $M$ thuộc $AB$, $N$ thuộc $CD$).

Từ $AB = CD$ và $AM = CN$ (Bước 1), suy ra:

$$MB = AB – AM = CD – CN = ND.$$

Xét tứ giác $MBND$ (các đỉnh theo thứ tự $M$, $B$, $N$, $D$):

• $MB$ thuộc $AB$, $ND$ thuộc $CD$. Vì $AB // CD$ nên $MB // ND$.
• $MB = ND$ (chứng minh trên).

Tứ giác $MBND$ có một cặp cạnh đối ($MB$ và $ND$) song song và bằng nhau. Theo Định lí 2b, $MBND$ là hình bình hành (đpcm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du