A. Trắc nghiệm (trang 123)

Bài 10.15 (trang 123)

Đề bài: Trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.34 là:

A. $SB$. B. $SH$. C. $SI$. D. $HI$.

Lời giải:

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đường cao kẻ từ đỉnh hình chóp xuống một cạnh đáy (chính là đường cao của một mặt bên).

Trong Hình 10.34, mặt bên $SAC$ là tam giác cân tại $S$. Đường cao kẻ từ $S$ xuống cạnh $AC$ phải đi qua trung điểm $I$ của $AC$, tức $SI \perp AC$. Vậy $SI$ là trung đoạn.

• $SB$ là cạnh bên — sai.
• $SH$ là đường cao của hình chóp ($H$ là trọng tâm đáy) — sai.
• $HI$ là một đoạn nằm trong mặt đáy — không phải trung đoạn.

Đáp án: C.

Bài 10.16 (trang 123)

Đề bài: Đáy của hình chóp tứ giác đều là:

A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình thoi. D. Hình chữ nhật.

Lời giải:

Theo định nghĩa hình chóp tứ giác đều (Bài 39): mặt đáy là một hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Đáp án: A.

Bài 10.17 (trang 123)

Đề bài: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng:

A. Tích của nửa chu vi đáy và chiều cao của hình chóp.

B. Tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

C. Tích của chu vi đáy và trung đoạn.

D. Tổng của chu vi đáy và trung đoạn.

Lời giải:

Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều (Bài 38):

$$S_{xq} = p \cdot d,$$

trong đó $p$ là nửa chu vi đáy và $d$ là trung đoạn của hình chóp.

Đáp án: B.

Bài 10.18 (trang 123)

Đề bài: Một hình chóp tam giác đều có chiều cao $h$, thể tích $V$. Diện tích đáy $S$ là:

A. $S = \dfrac{h}{V}$. B. $S = \dfrac{V}{h}$. C. $S = \dfrac{3V}{h}$. D. $S = \dfrac{3h}{V}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích hình chóp tam giác đều: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h$.

Rút $S$ từ biểu thức trên:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h ;\Rightarrow; S \cdot h = 3V ;\Rightarrow; S = \dfrac{3V}{h}.$$

Đáp án: C.

B. Tự luận (trang 123–124)

Bài 10.19 (trang 123)

Đề bài: Gọi tên đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều trong Hình 10.35.

Lời giải:

Hình a) — Hình chóp tam giác đều $S.DEF$:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SD$, $SE$, $SF$.
• Các cạnh đáy: $DE$, $EF$, $FD$.
• Đường cao: $SO$.
• Một trung đoạn: $SH$.

Hình b) — Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$.
• Các cạnh đáy: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
• Đường cao: $SI$.
• Một trung đoạn: $SH$.

Bài 10.20 (trang 123)

Đề bài: Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều trong Hình 10.36.

Lời giải:

Hình a) — Chóp tam giác đều với cạnh đáy $12$, cạnh bên $8$.

Bước 1: Tính trung đoạn $DH$.

Mỗi mặt bên là tam giác cân với cạnh đáy $12$ và hai cạnh bên $8$. Đường cao $DH$ kẻ từ đỉnh $D$ chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài $\dfrac{12}{2} = 6$.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi $DH$, nửa cạnh đáy $6$ và cạnh bên $8$ (là cạnh huyền):

$$DH^2 = 8^2 – 6^2 = 64 – 36 = 28 ;\Rightarrow; DH = \sqrt{28}.$$

Bước 2: Tính diện tích xung quanh.

Diện tích một mặt bên:

$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{28} = 6\sqrt{28}.$$

Hình chóp có $3$ mặt bên nên:

$$S_{xq} = 3 \cdot 6\sqrt{28} = 18\sqrt{28} \text{ (đvdt)}.$$

Hình b) — Chóp tứ giác đều với cạnh đáy $10$, cạnh bên $12$.

Bước 1: Tính trung đoạn $SH$.

Mỗi mặt bên là tam giác cân với cạnh đáy $10$ và hai cạnh bên $12$. Đường cao $SH$ chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài $\dfrac{10}{2} = 5$.

Áp dụng định lí Pythagore:

$$SH^2 = 12^2 – 5^2 = 144 – 25 = 119 ;\Rightarrow; SH = \sqrt{119}.$$

Bước 2: Tính diện tích xung quanh.

Diện tích một mặt bên:

$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{119} = 5\sqrt{119}.$$

Hình chóp có $4$ mặt bên nên:

$$S_{xq} = 4 \cdot 5\sqrt{119} = 20\sqrt{119} \text{ (đvdt)}.$$

Kết luận:

• Diện tích xung quanh chóp tam giác đều (hình a): $18\sqrt{28}$ đvdt.
• Diện tích xung quanh chóp tứ giác đều (hình b): $20\sqrt{119}$ đvdt.

Bài 10.21 (trang 124)

Đề bài: Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, biết chiều cao bằng $9$ cm và chu vi đáy bằng $12$ cm.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh đáy.

Mặt đáy là hình vuông, chu vi $12$ cm, nên độ dài cạnh đáy là:

$$a = \dfrac{12}{4} = 3 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính diện tích đáy.

$$S = a^2 = 3^2 = 9 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 3: Tính thể tích.

Áp dụng công thức thể tích với chiều cao $h = 9$ cm:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 9 = 27 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích hình chóp tứ giác đều là $27$ cm³.

Bài 10.22 (trang 124)

Đề bài: Từ một khúc gỗ hình lập phương cạnh $30$ cm (H.10.37), người ta cắt đi một phần gỗ để được phần còn lại là một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $30$ cm và chiều cao của hình chóp cũng bằng $30$ cm. Tính thể tích của phần gỗ bị cắt đi.

Lời giải:

Bước 1: Tính thể tích khúc gỗ hình lập phương ban đầu.

$$V_1 = 30^3 = 27\,000 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều (phần gỗ còn lại).

Diện tích đáy của hình chóp:

$$S = 30^2 = 900 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Chiều cao hình chóp $h = 30$ cm. Áp dụng công thức:

$$V_2 = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 900 \cdot 30 = 9\,000 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 3: Tính thể tích phần gỗ bị cắt đi.

$$V = V_1 – V_2 = 27\,000 – 9\,000 = 18\,000 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích phần gỗ bị cắt đi là $18\,000$ cm³.

Bài 10.23 (trang 124)

Đề bài: Một khối gỗ gồm đế là hình lập phương cạnh $9$ cm và phần trên là một hình chóp tứ giác đều (H.10.38). Tính thể tích khối gỗ.

Lời giải:

Bước 1: Tính thể tích phần đế (hình lập phương).

$$V_1 = 9^3 = 729 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích phần hình chóp tứ giác đều phía trên.

Diện tích đáy hình chóp (hình vuông cạnh $9$ cm):

$$S = 9^2 = 81 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Chiều cao hình chóp $= 19 – 9 = 10$ cm. Áp dụng công thức:

$$V_2 = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 81 \cdot 10 = 270 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 3: Tính tổng thể tích khối gỗ.

$$V = V_1 + V_2 = 729 + 270 = 999 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích khối gỗ là $999$ cm³.

Bài 10.24 (trang 124)

Đề bài: Bạn Trang cắt miếng bìa hình tam giác đều cạnh dài $20$ cm (H.10.39) và gấp lại theo các dòng kẻ (nét đứt) để được hình chóp tam giác đều. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều tạo thành. Cho biết $\sqrt{75} \approx 8{,}66$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hình chóp tạo thành.

Khi gấp tam giác đều cạnh $20$ cm theo các đường nối trung điểm các cạnh, ta được hình chóp tam giác đều mà cả $4$ mặt đều là tam giác đều cạnh $10$ cm (tức là một tứ diện đều cạnh $10$ cm).

• Mặt đáy: tam giác đều cạnh $10$ cm (chính giữa).
• Ba mặt bên: ba tam giác đều cạnh $10$ cm (gấp lên từ ba góc).

Bước 2: Tính trung đoạn $d$ (đường cao của mỗi mặt bên).

Mỗi mặt bên là một tam giác đều cạnh $10$ cm. Đường cao của tam giác đều cạnh $10$ chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài $5$ cm. Áp dụng định lí Pythagore:

$$d^2 = 10^2 – 5^2 = 100 – 25 = 75 ;\Rightarrow; d = \sqrt{75} \text{ (cm)}.$$

Bước 3: Tính diện tích xung quanh (ba mặt bên).

Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{3 \cdot 10}{2} = 15 \text{ (cm)}.$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 15 \cdot \sqrt{75} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Với $\sqrt{75} \approx 8{,}66$:

$$S_{xq} \approx 15 \cdot 8{,}66 = 129{,}9 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều tạo thành là $15\sqrt{75} \approx 129{,}9$ cm².

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du