Bài tập (trang 41)

Bài 2.16 (trang 41)

Đề bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức $x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16}$ tại $x = 99{,}75$.

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức.

Ta tìm cách viết $x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16}$ thành $A^2 + 2AB + B^2$:

• $x^2 = x^2$ → chọn $A = x$.
• $\dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2$ → chọn $B = \dfrac{1}{4}$.
• Kiểm tra hạng tử giữa: $2AB = 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}x$ → đúng bằng hạng tử giữa.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ theo chiều ngược lại:

$$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2.$$

Bước 2: Thay $x = 99{,}75$.

Vì $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$, nên $x + \dfrac{1}{4} = 99{,}75 + 0{,}25 = 100$. Do đó:

$$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 = 100^2 = 10\,000.$$

Vậy tại $x = 99{,}75$, giá trị của biểu thức là $10\,000$.

Bài 2.17 (trang 41)

Đề bài: Chứng minh đẳng thức $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$. Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là $5$. Áp dụng: Tính $25^2$; $35^2$.

Lời giải:

Phần 1: Chứng minh đẳng thức.

Khai triển vế trái bằng hằng đẳng thức $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ với $A = 10a$, $B = 5$:

$$(10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5^2 = 100a^2 + 100a + 25.$$

Khai triển vế phải:

$$100a(a + 1) + 25 = 100a \cdot a + 100a \cdot 1 + 25 = 100a^2 + 100a + 25.$$

Hai vế cùng bằng $100a^2 + 100a + 25$, vậy đẳng thức $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$ được chứng minh.

Phần 2: Quy tắc tính nhẩm bình phương của số có tận cùng là $5$.

Một số có tận cùng là $5$ có dạng $\overline{a5}$ (nghĩa là $10a + 5$, trong đó $a$ là phần đứng trước chữ số $5$). Theo đẳng thức vừa chứng minh:

$$(\overline{a5})^2 = (10a + 5)^2 = 100 \cdot a(a + 1) + 25.$$

Cách viết “$100 \cdot a(a + 1) + 25$” nghĩa là: ta tính tích $a(a + 1)$ (lấy phần đứng trước $5$ nhân với số liền sau nó), rồi viết thêm $25$ vào cuối.

Phần 3: Áp dụng.

• Tính $25^2$: số $25$ có $a = 2$. Ta có $a(a + 1) = 2 \cdot 3 = 6$, viết thêm $25$ vào cuối được $625$. Vậy $25^2 = 625$.
• Tính $35^2$: số $35$ có $a = 3$. Ta có $a(a + 1) = 3 \cdot 4 = 12$, viết thêm $25$ vào cuối được $1\,225$. Vậy $35^2 = 1\,225$.

Bài 2.18 (trang 41)

Đề bài: Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ tại $x = 99$;

b) $x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3$ tại $x = 88$ và $y = -12$.

Lời giải:

a) Biểu thức $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ có bốn hạng tử dương, dạng $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = x$, $B = 1$. Kiểm tra: $3A^2B = 3x^2$ ✓; $3AB^2 = 3x$ ✓; $B^3 = 1$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^3$ theo chiều ngược lại:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3.$$

Thay $x = 99$:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (99 + 1)^3 = 100^3 = 1\,000\,000.$$

b) Biểu thức $x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3$ có bốn hạng tử đan dấu, dạng $A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ với $A = x$, $B = y$. Kiểm tra: $-3A^2B = -3x^2y$ ✓; $3AB^2 = 3xy^2$ ✓; $-B^3 = -y^3$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A – B)^3$ theo chiều ngược lại:

$$x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 = (x – y)^3.$$

Thay $x = 88$, $y = -12$: $x – y = 88 – (-12) = 88 + 12 = 100$. Vậy:

$$x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 = (x – y)^3 = 100^3 = 1\,000\,000.$$

Bài 2.19 (trang 41)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức:

a) $(x – 2)^3 + (x + 2)^3 – 6x(x + 2)(x – 2)$;

b) $(2x – y)^3 + (2x + y)^3$.

Lời giải:

a) Ta khai triển từng phần rồi cộng – trừ.

Khai triển $(x – 2)^3$ bằng $(A – B)^3$ với $A = x$, $B = 2$:

$$(x – 2)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8.$$

Khai triển $(x + 2)^3$ bằng $(A + B)^3$ với $A = x$, $B = 2$:

$$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$$

Cộng hai kết quả (các hạng tử $-6x^2$ và $6x^2$ triệt tiêu; $-8$ và $8$ cũng triệt tiêu):

$$(x – 2)^3 + (x + 2)^3 = 2x^3 + 24x.$$

Tính tích $(x + 2)(x – 2) = x^2 – 4$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương), do đó:

$$6x(x + 2)(x – 2) = 6x \cdot (x^2 – 4) = 6x^3 – 24x.$$

Thay vào biểu thức cần rút gọn:

$$(x – 2)^3 + (x + 2)^3 – 6x(x + 2)(x – 2) = (2x^3 + 24x) – (6x^3 – 24x).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai) và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= 2x^3 + 24x – 6x^3 + 24x = (2x^3 – 6x^3) + (24x + 24x) = -4x^3 + 48x.$$

Vậy biểu thức rút gọn về $-4x^3 + 48x$ (có thể viết gọn thành $-4x(x^2 – 12)$).

b) Tương tự, khai triển từng lập phương.

Khai triển $(2x – y)^3$ bằng $(A – B)^3$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x – y)^3 = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y^2 – y^3 = 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3.$$

Khai triển $(2x + y)^3$ bằng $(A + B)^3$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3.$$

Cộng hai kết quả (các hạng tử $-12x^2y$ và $12x^2y$ triệt tiêu; $-y^3$ và $y^3$ cũng triệt tiêu):

$$(2x – y)^3 + (2x + y)^3 = (8x^3 + 8x^3) + (6xy^2 + 6xy^2) = 16x^3 + 12xy^2.$$

Vậy biểu thức rút gọn về $16x^3 + 12xy^2$ (có thể viết gọn thành $4x(4x^2 + 3y^2)$).

Bài 2.20 (trang 41)

Đề bài: Chứng minh rằng $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$. Áp dụng tính $a^3 + b^3$ biết $a + b = 4$ và $ab = 3$.

Lời giải:

Phần 1: Chứng minh đẳng thức.

Khai triển $(a + b)^3$ bằng hằng đẳng thức lập phương của một tổng:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$$

Khai triển $3ab(a + b)$:

$$3ab(a + b) = 3ab \cdot a + 3ab \cdot b = 3a^2b + 3ab^2.$$

Trừ hai kết quả trên (bỏ dấu ngoặc, đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$(a + b)^3 – 3ab(a + b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) – (3a^2b + 3ab^2).$$

$$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 – 3a^2b – 3ab^2 = a^3 + (3a^2b – 3a^2b) + (3ab^2 – 3ab^2) + b^3 = a^3 + b^3.$$

Vậy $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$ (điều phải chứng minh).

Phần 2: Áp dụng.

Thay $a + b = 4$ và $ab = 3$ vào đẳng thức vừa chứng minh:

$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b) = 4^3 – 3 \cdot 3 \cdot 4 = 64 – 36 = 28.$$

Vậy $a^3 + b^3 = 28$.

Bài 2.21 (trang 41)

Đề bài: Bác Tùng gửi vào ngân hàng $200$ triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất không đổi $x$ mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức $S = 200(1 + x)^3$ (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau $3$ năm.

a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau $3$ năm khi lãi suất là $x = 5{,}5\%$.

b) Khai triển $S$ thành đa thức theo $x$ và xác định bậc của đa thức.

Lời giải:

a) Lãi suất $x = 5{,}5\% = 0{,}055$, nên $1 + x = 1 + 0{,}055 = 1{,}055$. Thay vào biểu thức $S$:

$$S = 200 \cdot (1{,}055)^3.$$

Tính $(1{,}055)^3$ theo từng bước:

• $(1{,}055)^2 = 1{,}055 \cdot 1{,}055 = 1{,}113025$.
• $(1{,}055)^3 = (1{,}055)^2 \cdot 1{,}055 = 1{,}113025 \cdot 1{,}055 = 1{,}174241375$.

Vậy:

$$S = 200 \cdot 1{,}174241375 = 234{,}848275 ;(\text{triệu đồng}) \approx 234{,}85 ;(\text{triệu đồng}).$$

Vậy sau $3$ năm bác Tùng nhận được khoảng $234{,}85$ triệu đồng (chính xác là $234\,848\,275$ đồng).

b) Khai triển $S = 200(1 + x)^3$ bằng hằng đẳng thức lập phương của một tổng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = 1$, $B = x$:

$$(1 + x)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 + x^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3.$$

Nhân với $200$:

$$S = 200 \cdot (1 + 3x + 3x^2 + x^3) = 200 + 600x + 600x^2 + 200x^3.$$

Trong đa thức $S$ (xem là đa thức của biến $x$), bậc của các hạng tử lần lượt là $0$, $1$, $2$, $3$. Hạng tử có bậc cao nhất là $200x^3$ với bậc $3$. Vậy bậc của đa thức $S$ là $3$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du