1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Hoạt động (trang 42)

Đề bài: Hãy viết đa thức $x^2 – 2xy$ thành tích của các đa thức, khác đa thức là số.

Lời giải:

Quan sát hai hạng tử $x^2$ và $-2xy$, ta thấy cả hai đều có thừa số chung là $x$:

• $x^2 = x \cdot x$.
• $-2xy = x \cdot (-2y)$.

Đặt $x$ ra ngoài dấu ngoặc:

$$x^2 – 2xy = x \cdot x – x \cdot 2y = x(x – 2y).$$

Vậy $x^2 – 2xy$ được viết thành tích của hai đa thức $x$ và $x – 2y$ (cả hai đều khác đa thức là số).

Luyện tập 1 (trang 42)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $6y^3 + 2y$;

b) $4(x – y) – 3x(x – y)$.

Lời giải:

a) Hai hạng tử $6y^3$ và $2y$ có thừa số chung là $2y$:

• $6y^3 = 2y \cdot 3y^2$.
• $2y = 2y \cdot 1$.

Đặt $2y$ ra ngoài dấu ngoặc:

$$6y^3 + 2y = 2y(3y^2 + 1).$$

b) Hai hạng tử $4(x – y)$ và $-3x(x – y)$ có thừa số chung là $(x – y)$. Đặt $(x – y)$ ra ngoài dấu ngoặc:

$$4(x – y) – 3x(x – y) = (x – y) \cdot 4 – (x – y) \cdot 3x = (x – y)(4 – 3x).$$

Vận dụng 1 (trang 42)

Đề bài: Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích $2x^2 + x$ thành nhân tử (tìm tất cả các số $x$ để $2x^2 + x = 0$).

Lời giải:

Bước 1: Phân tích $2x^2 + x$ thành nhân tử.

Hai hạng tử $2x^2$ và $x$ có thừa số chung là $x$. Đặt $x$ ra ngoài dấu ngoặc:

$$2x^2 + x = x \cdot 2x + x \cdot 1 = x(2x + 1).$$

Bước 2: Tìm $x$.

Phương trình $2x^2 + x = 0$ trở thành:

$$x(2x + 1) = 0.$$

Tích bằng $0$ khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng $0$:

• Trường hợp 1: $x = 0$.
• Trường hợp 2: $2x + 1 = 0$ → $2x = -1$ → $x = -\dfrac{1}{2}$.

Vậy có hai giá trị $x$ thoả mãn: $x = 0$ và $x = -\dfrac{1}{2}$.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Luyện tập 2 (trang 43)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $(x + 1)^2 – y^2$;

b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$;

c) $8x^3 – 12x^2 + 6x – 1$.

Lời giải:

a) Biểu thức $(x + 1)^2 – y^2$ có dạng $A^2 – B^2$ với $A = x + 1$, $B = y$. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$:

$$(x + 1)^2 – y^2 = [(x + 1) – y] \cdot [(x + 1) + y] = (x + 1 – y)(x + 1 + y).$$

b) Biểu thức $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ có bốn hạng tử dương → có thể là khai triển của lập phương một tổng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Thử $A = x$, $B = 1$:

• $A^3 = x^3$ ✓; $3A^2B = 3x^2 \cdot 1 = 3x^2$ ✓; $3AB^2 = 3x \cdot 1 = 3x$ ✓; $B^3 = 1$ ✓.

Tất cả đều khớp, vậy:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3.$$

c) Biểu thức $8x^3 – 12x^2 + 6x – 1$ có bốn hạng tử đan dấu → có thể là khai triển của lập phương một hiệu $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$. Thử $A = 2x$, $B = 1$:

• $A^3 = (2x)^3 = 8x^3$ ✓; $-3A^2B = -3 \cdot 4x^2 \cdot 1 = -12x^2$ ✓; $3AB^2 = 3 \cdot 2x \cdot 1 = 6x$ ✓; $-B^3 = -1$ ✓.

Tất cả đều khớp, vậy:

$$8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = (2x – 1)^3.$$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

Luyện tập 3 (trang 44)

Đề bài: Phân tích đa thức $2x^2 – 4xy + 2y – x$ thành nhân tử.

Lời giải:

Đa thức có $4$ hạng tử, ta tìm cách nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung. Thử nhóm $(2x^2 – x)$ và $(-4xy + 2y)$:

$$2x^2 – 4xy + 2y – x = (2x^2 – x) + (-4xy + 2y).$$

Đặt nhân tử chung trong từng nhóm:

• Nhóm $(2x^2 – x)$: nhân tử chung là $x$, ta được $x(2x – 1)$.
• Nhóm $(-4xy + 2y)$: nhân tử chung là $2y$, ta được $2y(-2x + 1) = -2y(2x – 1)$.

Khi đó:

$$2x^2 – 4xy + 2y – x = x(2x – 1) – 2y(2x – 1).$$

Hai số hạng vừa nhận được lại có nhân tử chung là $(2x – 1)$, ta đặt $(2x – 1)$ ra ngoài:

$$2x^2 – 4xy + 2y – x = (2x – 1)(x – 2y).$$

Vận dụng 2 (trang 44)

Đề bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức

$$A = x^2 + 2y – 2x – xy \quad \text{tại } x = 2022, ; y = 2020.$$

Lời giải:

Bước 1: Phân tích $A$ thành nhân tử.

Thử nhóm $(x^2 – 2x)$ và $(2y – xy)$:

$$A = (x^2 – 2x) + (2y – xy).$$

Đặt nhân tử chung trong từng nhóm:

• Nhóm $(x^2 – 2x)$: nhân tử chung là $x$, ta được $x(x – 2)$.
• Nhóm $(2y – xy)$: nhân tử chung là $y$, ta được $y(2 – x) = -y(x – 2)$.

Khi đó:

$$A = x(x – 2) – y(x – 2) = (x – 2)(x – y).$$

Bước 2: Thay số $x = 2022$, $y = 2020$.

• $x – 2 = 2022 – 2 = 2020$.
• $x – y = 2022 – 2020 = 2$.

Vậy:

$$A = (x – 2)(x – y) = 2020 \cdot 2 = 4\,040.$$

Tranh luận (trang 44)

Đề bài: Phân tích đa thức $x^3 – x$ thành nhân tử. Có hai lời giải:

• Tròn: $x^3 – x = x(x^2 – 1)$.
• Vuông: $x^3 – x = x(x – 1)(x + 1)$.

Em hãy nêu ý kiến của em về lời giải của Tròn và Vuông.

Lời giải:

Cả hai bạn đều không sai ở bước đầu — đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài. Tuy nhiên, lời giải của Tròn chưa triệt để: biểu thức $x^2 – 1$ trong ngoặc vẫn còn có thể phân tích tiếp được bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x – 1)(x + 1).$$

Vì vậy, để phân tích triệt để (đến khi không còn cách phân tích được nữa), ta cần tiếp tục từ lời giải của Tròn:

$$x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1).$$

Đây chính là kết quả của Vuông. Vậy lời giải đầy đủ và đúng là của Vuông: $x^3 – x = x(x – 1)(x + 1)$. Lời giải của Tròn mới chỉ dừng ở bước trung gian.

Bài tập (trang 44)

Bài 2.22 (trang 44)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 + xy$;

b) $6a^2b – 18ab$;

c) $x^3 – 4x$;

d) $x^4 – 8x$.

Lời giải:

a) Hai hạng tử $x^2$ và $xy$ có thừa số chung là $x$:

$$x^2 + xy = x \cdot x + x \cdot y = x(x + y).$$

b) Hai hạng tử $6a^2b$ và $-18ab$ có thừa số chung là $6ab$ (số chung lớn nhất là $6$; biến chung là $ab$):

$$6a^2b – 18ab = 6ab \cdot a – 6ab \cdot 3 = 6ab(a – 3).$$

c) Đầu tiên đặt nhân tử chung $x$:

$$x^3 – 4x = x(x^2 – 4).$$

Tiếp tục phân tích $x^2 – 4 = x^2 – 2^2$ bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2).$$

Vậy: $x^3 – 4x = x(x – 2)(x + 2)$.

d) Đầu tiên đặt nhân tử chung $x$:

$$x^4 – 8x = x(x^3 – 8).$$

Tiếp tục phân tích $x^3 – 8 = x^3 – 2^3$ bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2$:

$$x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4).$$

Vậy: $x^4 – 8x = x(x – 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Bài 2.23 (trang 44)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 – 9 + xy + 3y$;

b) $x^2y + x^2 + xy – 1$.

Lời giải:

a) Đa thức có $4$ hạng tử. Thử nhóm $(x^2 – 9)$ và $(xy + 3y)$:

$$x^2 – 9 + xy + 3y = (x^2 – 9) + (xy + 3y).$$

Phân tích từng nhóm:

• $x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3)$ (hiệu hai bình phương).
• $xy + 3y = y(x + 3)$ (đặt nhân tử chung $y$).

Khi đó:

$$x^2 – 9 + xy + 3y = (x – 3)(x + 3) + y(x + 3).$$

Hai số hạng vừa nhận được có nhân tử chung là $(x + 3)$, đặt ra ngoài:

$$= (x + 3)[(x – 3) + y] = (x + 3)(x + y – 3).$$

b) Đa thức có $4$ hạng tử. Thử nhóm $(x^2y + xy)$ và $(x^2 – 1)$:

$$x^2y + x^2 + xy – 1 = (x^2y + xy) + (x^2 – 1).$$

Phân tích từng nhóm:

• $x^2y + xy = xy(x + 1)$ (đặt nhân tử chung $xy$).
• $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$ (hiệu hai bình phương).

Khi đó:

$$x^2y + x^2 + xy – 1 = xy(x + 1) + (x – 1)(x + 1).$$

Hai số hạng vừa nhận được có nhân tử chung là $(x + 1)$, đặt ra ngoài:

$$= (x + 1)[xy + (x – 1)] = (x + 1)(xy + x – 1).$$

Bài 2.24 (trang 44)

Đề bài: Tìm $x$, biết:

a) $x^2 – 4x = 0$;

b) $2x^3 – 2x = 0$.

Lời giải:

Ý tưởng chung: phân tích vế trái thành tích, rồi áp dụng tính chất “tích bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$”.

a) Phân tích $x^2 – 4x$ bằng cách đặt nhân tử chung $x$:

$$x^2 – 4x = x(x – 4).$$

Phương trình $x^2 – 4x = 0$ trở thành $x(x – 4) = 0$, suy ra:

• $x = 0$, hoặc
• $x – 4 = 0$ → $x = 4$.

Vậy $x = 0$ hoặc $x = 4$.

b) Phân tích $2x^3 – 2x$ thành nhân tử. Đầu tiên đặt nhân tử chung $2x$:

$$2x^3 – 2x = 2x(x^2 – 1).$$

Tiếp tục phân tích $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$ (hiệu hai bình phương):

$$2x^3 – 2x = 2x(x – 1)(x + 1).$$

Phương trình $2x^3 – 2x = 0$ trở thành $2x(x – 1)(x + 1) = 0$. Vì $2 \neq 0$ nên suy ra:

• $x = 0$, hoặc
• $x – 1 = 0$ → $x = 1$, hoặc
• $x + 1 = 0$ → $x = -1$.

Vậy $x = 0$, $x = 1$ hoặc $x = -1$.

Bài 2.25 (trang 44)

Đề bài: Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng $x$ (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng $y$ (mét) (Hình 2.2).

a) Viết biểu thức tính diện tích $S$ của đường bao quanh mảnh vườn theo $x$ và $y$.

b) Phân tích $S$ thành nhân tử rồi tính $S$ khi $x = 102$ m, $y = 2$ m.

Lời giải:

Đặt tên các đỉnh như Hình 2.2: hình vuông $ABCD$ là cả mảnh vườn (cạnh bằng $x$), hình vuông $MNPQ$ ở giữa là phần còn lại sau khi trừ đường đi (vành xanh).

a) Viết biểu thức tính diện tích $S$.

Mảnh vườn $ABCD$ là hình vuông cạnh $x$ (m), có diện tích là $x^2$ (m²).

Đường đi rộng $y$ (m) chạy dọc theo bốn cạnh bên trong vườn, nên cạnh của hình vuông $MNPQ$ (phần ở giữa, không phải đường đi) bằng cạnh vườn trừ đi hai lần độ rộng đường (một lần ở mỗi bên):

$$MN = x – y – y = x – 2y ;(\text{m}).$$

Diện tích hình vuông $MNPQ$ là $(x – 2y)^2$ (m²).

Diện tích đường đi $S$ bằng diện tích mảnh vườn trừ đi diện tích phần ở giữa:

$$S = x^2 – (x – 2y)^2 ;(\text{m}^2).$$

b) Phân tích $S$ thành nhân tử và tính giá trị.

Biểu thức $S = x^2 – (x – 2y)^2$ có dạng $A^2 – B^2$ với $A = x$, $B = x – 2y$. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$:

$$S = [x – (x – 2y)] \cdot [x + (x – 2y)] = 2y \cdot (2x – 2y).$$

Đặt $2$ làm nhân tử chung trong $(2x – 2y)$:

$$S = 2y \cdot 2(x – y) = 4y(x – y) ;(\text{m}^2).$$

Tính $S$ khi $x = 102$ m, $y = 2$ m:

$$S = 4 \cdot 2 \cdot (102 – 2) = 8 \cdot 100 = 800 ;(\text{m}^2).$$

Vậy diện tích đường đi bao quanh mảnh vườn là $800$ m².

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du