1. Hằng đẳng thức

Luyện tập 1 (trang 30)

Đề bài: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?

a) $a(a + 2b) = a^2 + 2ab$;

b) $a + 1 = 3a – 1$.

Lời giải:

Một đẳng thức là hằng đẳng thức khi hai vế của nó luôn nhận giá trị bằng nhau với mọi giá trị của các biến.

a) Xét $a(a + 2b)$. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$$a(a + 2b) = a \cdot a + a \cdot 2b = a^2 + 2ab.$$

Vế trái luôn bằng vế phải $a^2 + 2ab$ với mọi giá trị của $a$ và $b$. Vậy $a(a + 2b) = a^2 + 2ab$ là một hằng đẳng thức.

b) Xét $a + 1 = 3a – 1$. Ta thử một vài giá trị của $a$:

• Khi $a = 1$: vế trái $= 1 + 1 = 2$; vế phải $= 3 \cdot 1 – 1 = 2$. Hai vế bằng nhau.
• Khi $a = 0$: vế trái $= 0 + 1 = 1$; vế phải $= 3 \cdot 0 – 1 = -1$. Hai vế khác nhau.

Có giá trị của $a$ làm cho hai vế khác nhau, nên đẳng thức $a + 1 = 3a – 1$ không là hằng đẳng thức (đây chỉ là một phương trình một ẩn).

2. Hiệu hai bình phương

Hoạt động 1 (trang 30 – 31)

Đề bài: Quan sát Hình 2.1.

a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.

b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b.

c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?

Lời giải:

a) Hình 2.1a là một hình vuông cạnh $a$ bị khoét đi một hình vuông cạnh $b$ ở góc. Phần màu xanh là phần còn lại sau khi khoét, có diện tích bằng diện tích hình vuông lớn trừ đi diện tích hình vuông nhỏ:

$$S_a = a^2 – b^2.$$

b) Hình 2.1b là một hình chữ nhật màu xanh có chiều rộng $a – b$ và chiều dài $a + b$. Diện tích là:

$$S_b = (a + b)(a – b).$$

c) Hình 2.1b được tạo thành bằng cách cắt và ghép lại phần hình màu xanh ở Hình 2.1a (chỉ thay đổi cách sắp xếp, không thêm bớt diện tích), nên diện tích của hai hình bằng nhau:

$$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b).$$

Đây chính là gợi ý dẫn đến hằng đẳng thức hiệu hai bình phương sẽ được chứng minh ở HĐ2.

Hoạt động 2 (trang 31)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, thực hiện phép tính $(a + b)(a – b)$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^2 – b^2$ và $(a + b)(a – b)$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai đa thức, ta khai triển $(a + b)(a – b)$:

$$(a + b)(a – b) = a \cdot a – a \cdot b + b \cdot a – b \cdot b.$$

Tính từng tích:

• $a \cdot a = a^2$.
• $-a \cdot b = -ab$.
• $b \cdot a = ab$.
• $-b \cdot b = -b^2$.

Cộng lại và rút gọn (hai hạng tử $-ab$ và $ab$ triệt tiêu nhau):

$$(a + b)(a – b) = a^2 – ab + ab – b^2 = a^2 – b^2.$$

Vậy ta có liên hệ: $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$, hay tổng quát hơn, với hai biểu thức $A$, $B$ bất kì:

$$A^2 – B^2 = (A – B)(A + B).$$

Luyện tập 2 (trang 31)

Đề bài:

a) Tính nhanh $99^2 – 1$;

b) Viết $x^2 – 9$ dưới dạng tích.

Lời giải:

a) Nhận thấy $1 = 1^2$, ta đưa $99^2 – 1$ về dạng hiệu hai bình phương rồi áp dụng công thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = 99$, $B = 1$:

$$99^2 – 1 = 99^2 – 1^2 = (99 – 1)(99 + 1) = 98 \cdot 100 = 9800.$$

b) Nhận thấy $9 = 3^2$, ta áp dụng công thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = x$, $B = 3$:

$$x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3).$$

Vận dụng 1 (trang 31)

Đề bài: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh $198 \cdot 202$ như thế nào.

Lời giải:

Nhận thấy $198$ và $202$ cách đều số $200$ (cùng cách $2$ đơn vị), ta viết:

$$198 = 200 – 2 \quad \text{và} \quad 202 = 200 + 2.$$

Khi đó $198 \cdot 202$ có dạng $(A – B)(A + B)$ với $A = 200$, $B = 2$, nên áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$198 \cdot 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 200^2 – 2^2 = 40\,000 – 4 = 39\,996.$$

Vậy bạn đó đã đưa phép tính $198 \cdot 202$ về hiệu hai bình phương $200^2 – 2^2$ để tính nhẩm nhanh, được kết quả $39\,996$.

3. Bình phương của một tổng

Hoạt động 3 (trang 31)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, thực hiện phép tính $(a + b)(a + b)$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^2$ và $a^2 + 2ab + b^2$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai đa thức, ta khai triển $(a + b)(a + b)$:

$$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b.$$

Tính từng tích:

• $a \cdot a = a^2$.
• $a \cdot b = ab$.
• $b \cdot a = ab$.
• $b \cdot b = b^2$.

Cộng lại và gộp hai hạng tử $ab$ giống nhau:

$$(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Vì $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$, ta được liên hệ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Tổng quát, với $A$, $B$ là hai biểu thức bất kì:

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.$$

Luyện tập 3 (trang 32)

Đề bài:

1. Khai triển $(2b + 1)^2$.
2. Viết biểu thức $9y^2 + 6yx + x^2$ dưới dạng bình phương của một tổng.

Lời giải:

1. Áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ với $A = 2b$, $B = 1$:

$$(2b + 1)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2.$$

Tính từng phần: $(2b)^2 = 4b^2$; $2 \cdot 2b \cdot 1 = 4b$; $1^2 = 1$. Vậy:

$$(2b + 1)^2 = 4b^2 + 4b + 1.$$

2. Để viết $9y^2 + 6yx + x^2$ dưới dạng bình phương của một tổng, ta nhận dạng các phần $A^2$, $2AB$ và $B^2$:

• $9y^2 = (3y)^2$ → có thể chọn $A = 3y$.
• $x^2 = x^2$ → có thể chọn $B = x$.
• Kiểm tra hạng tử giữa: $2AB = 2 \cdot 3y \cdot x = 6yx$ → đúng bằng hạng tử giữa.

Vậy áp dụng $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ theo chiều ngược lại:

$$9y^2 + 6yx + x^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot x + x^2 = (3y + x)^2 = (x + 3y)^2.$$

4. Bình phương của một hiệu

Hoạt động 4 (trang 32)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, viết $a – b = a + (-b)$ và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính $(a – b)^2$.

Lời giải:

Theo gợi ý, ta viết $a – b = a + (-b)$ rồi áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ với $A = a$, $B = -b$:

$$(a – b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2.$$

Tính từng phần:

• $a^2 = a^2$ (giữ nguyên).
• $2 \cdot a \cdot (-b) = -2ab$.
• $(-b)^2 = b^2$ (bình phương của số đối bằng bình phương của số đó).

Vậy:

$$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.$$

Tổng quát, với hai biểu thức $A$, $B$ bất kì:

$$(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2.$$

Luyện tập 4 (trang 32)

Đề bài: Khai triển $(3x – 2y)^2$.

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức $(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$ với $A = 3x$, $B = 2y$:

$$(3x – 2y)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2.$$

Tính từng phần: $(3x)^2 = 9x^2$; $2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$; $(2y)^2 = 4y^2$. Vậy:

$$(3x – 2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2.$$

Vận dụng 2 (trang 32)

Đề bài: Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính $1\,002^2$. Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

Lời giải:

Nhận thấy $1\,002$ rất gần với số tròn $1\,000$. Ta viết:

$$1\,002 = 1\,000 + 2.$$

Khi đó $1\,002^2$ có dạng $(A + B)^2$ với $A = 1\,000$, $B = 2$. Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

$$1\,002^2 = (1\,000 + 2)^2 = 1\,000^2 + 2 \cdot 1\,000 \cdot 2 + 2^2.$$

Tính từng phần:

• $1\,000^2 = 1\,000\,000$.
• $2 \cdot 1\,000 \cdot 2 = 4\,000$.
• $2^2 = 4$.

Cộng lại:

$$1\,002^2 = 1\,000\,000 + 4\,000 + 4 = 1\,004\,004.$$

Vậy Nam đã đưa $1\,002^2$ về dạng $(1\,000 + 2)^2$ và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính nhẩm rất nhanh, được kết quả $1\,004\,004$.

Bài tập (trang 33)

Bài 2.1 (trang 33)

Đề bài: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) $x + 2 = 3x + 1$;

b) $2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$;

c) $(a + b)a = a^2 + ba$;

d) $a – 2 = 2a + 1$.

Lời giải:

Ta kiểm tra từng đẳng thức xem hai vế có luôn bằng nhau với mọi giá trị của biến hay không.

a) $x + 2 = 3x + 1$.

Thử $x = 0$: vế trái $= 2$; vế phải $= 1$. Hai vế khác nhau → không là hằng đẳng thức.

b) $2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$.

Khai triển vế trái: $2x(x + 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 = 2x^2 + 2x$, đúng bằng vế phải với mọi $x$ → là hằng đẳng thức.

c) $(a + b)a = a^2 + ba$.

Khai triển vế trái: $(a + b)a = a \cdot a + b \cdot a = a^2 + ba$, đúng bằng vế phải với mọi $a$, $b$ → là hằng đẳng thức.

d) $a – 2 = 2a + 1$.

Thử $a = 0$: vế trái $= -2$; vế phải $= 1$. Hai vế khác nhau → không là hằng đẳng thức.

Vậy các hằng đẳng thức là: b) và c).

Bài 2.2 (trang 33)

Đề bài: Thay $\boxed{?}$ bằng biểu thức thích hợp.

a) $(x – 3y)(x + 3y) = x^2 – \boxed{?}$;

b) $(2x – y)(2x + y) = 4,\boxed{?} – y^2$;

c) $x^2 + 8xy + \boxed{?} = (\boxed{?} + 4y)^2$;

d) $\boxed{?} – 12xy + 9y^2 = (2x – \boxed{?})^2$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ theo chiều ngược lại, với $A = x$, $B = 3y$:

$$(x – 3y)(x + 3y) = x^2 – (3y)^2 = x^2 – 9y^2.$$

Vậy $\boxed{?} = 9y^2$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x – y)(2x + y) = (2x)^2 – y^2 = 4x^2 – y^2.$$

So với vế phải $4,\boxed{?} – y^2$, ta được $4,\boxed{?} = 4x^2$, suy ra $\boxed{?} = x^2$.

c) Vế phải có dạng $(A + 4y)^2 = A^2 + 2 \cdot A \cdot 4y + (4y)^2 = A^2 + 8Ay + 16y^2$.

So với vế trái $x^2 + 8xy + \boxed{?}$:

• $A^2 = x^2$ → $A = x$ (chọn giá trị dương, kiểm tra phù hợp với hạng tử giữa).
• $8Ay = 8xy$ với $A = x$ → đúng.
• Hạng tử cuối: $\boxed{?} = 16y^2$.

Vậy ô trống bên trái (sau $8xy +$) là $16y^2$, ô trống bên phải (trong ngoặc) là $x$. Đẳng thức đầy đủ:

$$x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2.$$

d) Vế phải có dạng $(2x – B)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot B + B^2 = 4x^2 – 4xB + B^2$.

So với vế trái $\boxed{?} – 12xy + 9y^2$:

• $B^2 = 9y^2$ → $B = 3y$ (chọn giá trị dương, kiểm tra phù hợp với hạng tử giữa).
• $-4xB = -12xy$ với $B = 3y$ → đúng.
• Hạng tử đầu: $\boxed{?} = 4x^2$.

Vậy ô trống bên trái là $4x^2$, ô trống bên phải là $3y$. Đẳng thức đầy đủ:

$$4x^2 – 12xy + 9y^2 = (2x – 3y)^2.$$

Bài 2.3 (trang 33)

Đề bài: Tính nhanh:

a) $54 \cdot 66$;

b) $203^2$.

Lời giải:

a) Nhận thấy $54$ và $66$ cách đều số $60$ (cùng cách $6$ đơn vị): $54 = 60 – 6$ và $66 = 60 + 6$. Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ theo chiều ngược lại (xem $54 \cdot 66$ như $(A – B)(A + B)$):

$$54 \cdot 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 60^2 – 6^2 = 3\,600 – 36 = 3\,564.$$

b) Viết $203 = 200 + 3$ rồi áp dụng $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ với $A = 200$, $B = 3$:

$$203^2 = (200 + 3)^2 = 200^2 + 2 \cdot 200 \cdot 3 + 3^2 = 40\,000 + 1\,200 + 9 = 41\,209.$$

Bài 2.4 (trang 33)

Đề bài: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $x^2 + 4x + 4$;

b) $16a^2 – 16ab + 4b^2$.

Lời giải:

a) Ta tìm cách viết $x^2 + 4x + 4$ thành $A^2 + 2AB + B^2$:

• $x^2 = x^2$ → chọn $A = x$.
• $4 = 2^2$ → chọn $B = 2$.
• Kiểm tra hạng tử giữa: $2AB = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ → đúng bằng $4x$.

Vậy áp dụng $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ theo chiều ngược lại:

$$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2.$$

b) Ta tìm cách viết $16a^2 – 16ab + 4b^2$ thành $A^2 – 2AB + B^2$:

• $16a^2 = (4a)^2$ → chọn $A = 4a$.
• $4b^2 = (2b)^2$ → chọn $B = 2b$.
• Kiểm tra hạng tử giữa: $2AB = 2 \cdot 4a \cdot 2b = 16ab$, và dấu là “$-$” → khớp với $-16ab$.

Vậy áp dụng $(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$ theo chiều ngược lại:

$$16a^2 – 16ab + 4b^2 = (4a)^2 – 2 \cdot 4a \cdot 2b + (2b)^2 = (4a – 2b)^2.$$

Bài 2.5 (trang 33)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x – 3y)^2 – (x + 3y)^2$;

b) $(3x + 4y)^2 + (4x – 3y)^2$.

Lời giải:

a) Cách đơn giản nhất là khai triển từng bình phương rồi trừ.

Khai triển $(x – 3y)^2$ (áp dụng $(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$ với $A = x$, $B = 3y$):

$$(x – 3y)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 – 6xy + 9y^2.$$

Khai triển $(x + 3y)^2$ (áp dụng $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$):

$$(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2.$$

Trừ hai kết quả (chú ý đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$(x – 3y)^2 – (x + 3y)^2 = (x^2 – 6xy + 9y^2) – (x^2 + 6xy + 9y^2).$$

$$= x^2 – 6xy + 9y^2 – x^2 – 6xy – 9y^2 = (x^2 – x^2) + (-6xy – 6xy) + (9y^2 – 9y^2) = -12xy.$$

Vậy $(x – 3y)^2 – (x + 3y)^2 = -12xy$.

b) Khai triển $(3x + 4y)^2$:

$$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2.$$

Khai triển $(4x – 3y)^2$:

$$(4x – 3y)^2 = (4x)^2 – 2 \cdot 4x \cdot 3y + (3y)^2 = 16x^2 – 24xy + 9y^2.$$

Cộng hai kết quả:

$$(3x + 4y)^2 + (4x – 3y)^2 = (9x^2 + 24xy + 16y^2) + (16x^2 – 24xy + 9y^2).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= (9x^2 + 16x^2) + (24xy – 24xy) + (16y^2 + 9y^2) = 25x^2 + 0 + 25y^2 = 25x^2 + 25y^2.$$

Vậy $(3x + 4y)^2 + (4x – 3y)^2 = 25x^2 + 25y^2$ (có thể viết gọn thành $25(x^2 + y^2)$).

Bài 2.6 (trang 33)

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, ta có $(n + 2)^2 – n^2$ chia hết cho $4$.

Lời giải:

Biểu thức $(n + 2)^2 – n^2$ có dạng hiệu hai bình phương $A^2 – B^2$ với $A = n + 2$, $B = n$. Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$:

$$(n + 2)^2 – n^2 = [(n + 2) – n] \cdot [(n + 2) + n].$$

Tính từng thừa số:

• $(n + 2) – n = 2$.
• $(n + 2) + n = 2n + 2 = 2(n + 1)$.

Thay vào:

$$(n + 2)^2 – n^2 = 2 \cdot 2(n + 1) = 4(n + 1).$$

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n + 1$ cũng là số tự nhiên, do đó $4(n + 1)$ là một bội của $4$. Vậy $(n + 2)^2 – n^2 ;\vdots; 4$ với mọi số tự nhiên $n$ (điều phải chứng minh).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du