Bài tập (trang 14)

Bài 6.15 (trang 14)

Đề bài: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\dfrac{1}{4xy^2}$ và $\dfrac{5}{6x^2y}$;

b) $\dfrac{9}{4x^2 – 36}$ và $\dfrac{1}{x^2 + 6x + 9}$.

Lời giải:

a) Hai mẫu thức đã ở dạng đơn thức.

Chọn MTC:

• Nhân tử bằng số: BCNN$(4, 6) = 12$;
• Lũy thừa của $x$: cao nhất là $x^2$;
• Lũy thừa của $y$: cao nhất là $y^2$.

Vậy MTC $= 12x^2y^2$.

Nhân tử phụ:

• Của $4xy^2$: $\dfrac{12x^2y^2}{4xy^2} = 3x$.
• Của $6x^2y$: $\dfrac{12x^2y^2}{6x^2y} = 2y$.

Quy đồng:

$$\dfrac{1}{4xy^2} = \dfrac{1 \cdot 3x}{4xy^2 \cdot 3x} = \dfrac{3x}{12x^2y^2}; \quad \dfrac{5}{6x^2y} = \dfrac{5 \cdot 2y}{6x^2y \cdot 2y} = \dfrac{10y}{12x^2y^2}.$$

b) Phân tích các mẫu thức:

• $4x^2 – 36 = 4(x^2 – 9) = 4(x – 3)(x + 3)$;
• $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

MTC $= 4(x – 3)(x + 3)^2$.

Nhân tử phụ:

• Của $4(x – 3)(x + 3)$: $\dfrac{\text{MTC}}{4(x – 3)(x + 3)} = x + 3$.
• Của $(x + 3)^2$: $\dfrac{\text{MTC}}{(x + 3)^2} = 4(x – 3)$.

Quy đồng:

$$\dfrac{9}{4x^2 – 36} = \dfrac{9(x + 3)}{4(x – 3)(x + 3)^2}; \quad \dfrac{1}{x^2 + 6x + 9} = \dfrac{4(x – 3)}{4(x – 3)(x + 3)^2}.$$

Bài 6.16 (trang 14)

Đề bài: Cho phân thức $P = \dfrac{x^3 – 4x}{(x + 2)^2}$.

a) Viết điều kiện xác định của phân thức;

b) Rút gọn phân thức $P$;

c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại $x = 98$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định. Mẫu thức phải khác $0$:

$$(x + 2)^2 \neq 0 ;;\Leftrightarrow;; x + 2 \neq 0 ;;\Leftrightarrow;; x \neq -2.$$

b) Rút gọn $P$. Phân tích tử thức (đặt nhân tử chung $x$, rồi dùng hằng đẳng thức $a^2 – b^2$):

$$x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = x(x – 2)(x + 2).$$

Chia cả tử và mẫu cho $(x + 2)$:

$$P = \dfrac{x(x – 2)(x + 2)}{(x + 2)^2} = \dfrac{x(x – 2)}{x + 2}.$$

c) Tính giá trị tại $x = 98$. Vì $98 \neq -2$ nên thỏa mãn ĐKXĐ. Dùng dạng rút gọn ở câu b:

$$P = \dfrac{98 \cdot (98 – 2)}{98 + 2} = \dfrac{98 \cdot 96}{100} = \dfrac{9408}{100} = 94{,}08.$$

Bài 6.17 (trang 14)

Đề bài: Cho hai phân thức $\dfrac{x^2 + 5x}{(x – 10)(x^2 + 10x + 25)}$ và $\dfrac{x^2 + 10x}{x^4 – 100x^2}$.

a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu $P$ và $Q$ là hai phân thức nhận được;

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức $P$ và $Q$.

Lời giải:

a) Rút gọn từng phân thức.

Phân thức thứ nhất: Phân tích tử và mẫu:

• Tử: $x^2 + 5x = x(x + 5)$;
• Mẫu: $(x – 10)(x^2 + 10x + 25) = (x – 10)(x + 5)^2$ (vì $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$).

Chia cả tử và mẫu cho $(x + 5)$:

$$P = \dfrac{x(x + 5)}{(x – 10)(x + 5)^2} = \dfrac{x}{(x – 10)(x + 5)}.$$

Phân thức thứ hai: Phân tích tử và mẫu:

• Tử: $x^2 + 10x = x(x + 10)$;
• Mẫu: $x^4 – 100x^2 = x^2(x^2 – 100) = x^2(x – 10)(x + 10)$.

Chia cả tử và mẫu cho $x(x + 10)$:

$$Q = \dfrac{x(x + 10)}{x^2(x – 10)(x + 10)} = \dfrac{1}{x(x – 10)}.$$

b) Quy đồng $P$ và $Q$.

• $P = \dfrac{x}{(x – 10)(x + 5)}$;
• $Q = \dfrac{1}{x(x – 10)}$.

MTC $= x(x – 10)(x + 5)$.

Nhân tử phụ:

• Của $(x – 10)(x + 5)$: $x$.
• Của $x(x – 10)$: $x + 5$.

Quy đồng:

$$P = \dfrac{x \cdot x}{x(x – 10)(x + 5)} = \dfrac{x^2}{x(x – 10)(x + 5)};$$

$$Q = \dfrac{x + 5}{x(x – 10)(x + 5)}.$$

Bài 6.18 (trang 14)

Đề bài: Lúc 6 giờ sáng, bác Vinh lái ô tô xuất phát từ Hà Nội đi Tĩnh Gia (Thanh Hoá). Khi đến Phủ Lý (Ninh Bình), cách Hà Nội khoảng $60$ km, bác Vinh dừng lại ăn sáng trong $20$ phút. Sau đó, bác Vinh tiếp tục đi về Tĩnh Gia và phải tăng vận tốc thêm $10$ km/h để đến nơi đúng giờ dự định.

a) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội – Phủ Lý. Hãy viết các phân thức biểu thị thời gian bác Vinh chạy xe trên các quãng đường Hà Nội – Phủ Lý và Phủ Lý – Tĩnh Gia, biết rằng quãng đường Hà Nội – Tĩnh Gia có chiều dài khoảng $200$ km.

b) Nếu vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội – Phủ Lý là $60$ km/h thì bác Vinh đến Tĩnh Gia lúc mấy giờ?

Lời giải:

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian.

Hai chặng đi của bác Vinh:

• Chặng Hà Nội – Phủ Lý dài $60$ km, vận tốc $x$ km/h.
• Chặng Phủ Lý – Tĩnh Gia dài $200 – 60 = 140$ km, vận tốc tăng thêm $10$ km/h nên là $x + 10$ km/h.

Áp dụng công thức thời gian $=$ quãng đường $\div$ vận tốc:

• Thời gian chạy chặng Hà Nội – Phủ Lý: $\dfrac{60}{x}$ (giờ).
• Thời gian chạy chặng Phủ Lý – Tĩnh Gia: $\dfrac{140}{x + 10}$ (giờ).

b) Tính giờ đến Tĩnh Gia khi $x = 60$.

Thay $x = 60$ vào hai biểu thức ở câu a:

• Thời gian chặng Hà Nội – Phủ Lý: $\dfrac{60}{60} = 1$ (giờ).
• Thời gian chặng Phủ Lý – Tĩnh Gia: $\dfrac{140}{60 + 10} = \dfrac{140}{70} = 2$ (giờ).

Thời gian nghỉ ăn sáng: $20$ phút $= \dfrac{1}{3}$ (giờ).

Tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc tới Tĩnh Gia:

$$T = 1 + \dfrac{1}{3} + 2 = 3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3} \text{ (giờ)} = 3 \text{ giờ } 20 \text{ phút}.$$

Bác Vinh xuất phát lúc $6$ giờ sáng nên đến Tĩnh Gia lúc:

$$6 \text{ giờ } + 3 \text{ giờ } 20 \text{ phút } = 9 \text{ giờ } 20 \text{ phút sáng}.$$

Kết luận: Bác Vinh đến Tĩnh Gia lúc $9$ giờ $20$ phút sáng.

Bài 6.19 (trang 14)

Đề bài: Để loại bỏ $x%$ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước tính cần chi phí là $\dfrac{1{,}7x}{100 – x}$ (tỉ đồng).

a) Nếu muốn loại bỏ $90%$ chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu?

b) Viết điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{1{,}7x}{100 – x}$. Hỏi có thể loại bỏ được $100%$ chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy hay không?

Lời giải:

a) Tính chi phí khi $x = 90$. Thay $x = 90$ vào phân thức:

$$\dfrac{1{,}7 \cdot 90}{100 – 90} = \dfrac{153}{10} = 15{,}3 \text{ (tỉ đồng)}.$$

Vậy cần chi phí là $15{,}3$ tỉ đồng.

b) Điều kiện xác định và xét trường hợp $x = 100$.

ĐKXĐ: mẫu thức khác $0$, tức $100 – x \neq 0$, hay $x \neq 100$.

Để loại bỏ $100%$ chất gây ô nhiễm thì cần $x = 100$. Tuy nhiên giá trị $x = 100$ không thoả mãn ĐKXĐ (mẫu thức bằng $0$, phân thức không xác định).

Kết luận: Không thể loại bỏ được $100%$ chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du