• Hai hình đồng dạng: hình $\mathcal{H}’$ được gọi là đồng dạng với hình $\mathcal{H}$ nếu nó bằng $\mathcal{H}$ hoặc bằng một hình phóng to hay thu nhỏ của $\mathcal{H}$.
• Hai hình đồng dạng phối cảnh: là các cặp hình phóng to – thu nhỏ mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều đồng quy tại một điểm $O$ — gọi là tâm phối cảnh. Tỉ số đồng dạng (phối cảnh) chính là tỉ số $k = \dfrac{OA’}{OA}$ giữa hai điểm tương ứng bất kì.

Hình đồng dạng. Hình đồng dạng phối cảnh

HĐ1 (trang 104)

Đề bài: Lấy điểm $O$ và vẽ tam giác $A’B’C’$ như Hình 9.58. Trên các tia $OA’$, $OB’$, $OC’$, lấy các điểm $A$, $B$, $C$ sao cho $OA = 2OA’$, $OB = 2OB’$, $OC = 2OC’$.

• Hãy giải thích vì sao $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng bằng $2$.
• Dùng thước thẳng, em hãy kiểm tra xem hai đường thẳng $MM’$, $NN’$ nối các trung điểm các cạnh của hai tam giác có đi qua $O$ không.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $AB = 2A’B’$.

Xét hai tam giác $\triangle OAB$ và $\triangle OA’B’$:

• Góc $\widehat{AOB} = \widehat{A’OB’}$ (vì $A$, $A’$ cùng nằm trên tia $OA’$; $B$, $B’$ cùng nằm trên tia $OB’$, nên đây chỉ là một góc chung tại $O$).
• $\dfrac{OA}{OA’} = \dfrac{2OA’}{OA’} = 2$ (do giả thiết $OA = 2OA’$).
• $\dfrac{OB}{OB’} = \dfrac{2OB’}{OB’} = 2$.

Vậy $\dfrac{OA}{OA’} = \dfrac{OB}{OB’} = 2$ và có một cặp góc xen giữa bằng nhau.

Theo trường hợp đồng dạng c.g.c: $\triangle OAB \backsim \triangle OA’B’$ với tỉ số $2$.

Suy ra $\dfrac{AB}{A’B’} = 2$, tức $AB = 2 A’B’$.

Bước 2: Tương tự cho hai cặp cạnh còn lại.

Lập luận hoàn toàn tương tự với hai cặp tam giác $\triangle OBC, \triangle OB’C’$ và $\triangle OAC, \triangle OA’C’$, ta được:

$$BC = 2 B’C’; \quad AC = 2 A’C’.$$

Bước 3: Kết luận $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

Trong $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$:

$$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AC}{A’C’} = 2.$$

Theo trường hợp đồng dạng c.c.c: $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng bằng $2$.

Kiểm tra hai đường thẳng $MM’$, $NN’$ đi qua $O$:

Em dùng thước thẳng đặt trùng hai điểm $M$ (trung điểm cạnh của $\triangle ABC$) và $M’$ (trung điểm cạnh tương ứng của $\triangle A’B’C’$), kéo dài về phía $O$. Quan sát thấy đường thẳng $MM’$ đi qua $O$.

Tương tự, đường thẳng $NN’$ cũng đi qua $O$.

Nhận xét: Trong Hình 9.58, tam giác $ABC$ là hình phóng to (gấp 2 lần) của tam giác $A’B’C’$ và tam giác $A’B’C’$ là hình thu nhỏ (bằng $\dfrac{1}{2}$ lần) của tam giác $ABC$ — đây là một cặp hình đồng dạng phối cảnh với tâm phối cảnh $O$ và tỉ số phối cảnh bằng $2$.

HĐ2 (trang 105)

Đề bài: Hình 9.59 là hai bức hình chân dung của một cậu bé với kích thước $2 \times 3$ (hình $\mathcal{T}$) và $4 \times 6$ (hình $\mathcal{T}’$) được đặt cạnh nhau theo chiều thẳng đứng. Ta thấy các đường thẳng $AA’$, $BB’$ nối các điểm tương ứng trên hai bức chân dung cùng đi qua một điểm $O$.

Dùng thước thẳng, em hãy kiểm tra xem một đường thẳng nối hai điểm tương ứng tuỳ ý trên hai hình (ví dụ $C$ và $C’$) có đi qua điểm $O$ không.

Lời giải:

Em dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng $C$ và $C’$ trên hai bức chân dung, kéo dài đường thẳng đó. Quan sát thấy đường thẳng $CC’$ đi qua điểm $O$.

Như vậy, không chỉ $AA’$ và $BB’$ đồng quy tại $O$, mà mọi đường thẳng nối hai điểm tương ứng tuỳ ý của hai bức chân dung đều đi qua $O$.

Nhận xét: Đây là tính chất đặc trưng của hai hình đồng dạng phối cảnh: mọi đường thẳng nối các điểm tương ứng của hai hình đều đồng quy tại tâm phối cảnh $O$. Trong Hình 9.59, hình $\mathcal{T}’$ đồng dạng phối cảnh với hình $\mathcal{T}$ theo tỉ số đồng dạng

$$k = \dfrac{OA’}{OA} = \dfrac{6}{3} = 2.$$

Câu hỏi trang 105

Đề bài: Theo em, hai hình tam giác bằng nhau bất kì có phải là hai hình đồng dạng phối cảnh không?

Lời giải:

Hai tam giác bằng nhau luôn là hai hình đồng dạng (theo định nghĩa trong bài: hình $\mathcal{H}’$ được gọi là đồng dạng với hình $\mathcal{H}$ nếu nó bằng $\mathcal{H}$ hoặc bằng một hình phóng to hay thu nhỏ của $\mathcal{H}$).

Tuy nhiên, không phải hai tam giác bằng nhau bất kì cũng là hai hình đồng dạng phối cảnh. Lý do: để hai hình là đồng dạng phối cảnh thì các đường thẳng nối các điểm tương ứng của hai hình phải đồng quy tại một điểm (tâm phối cảnh).

Khi hai tam giác bằng nhau được đặt ở các vị trí tuỳ ý (ví dụ các cạnh tương ứng song song với nhau, hoặc một tam giác đã bị quay so với tam giác kia), thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng có thể không đồng quy — khi đó hai tam giác không là đồng dạng phối cảnh.

Kết luận: Hai tam giác bằng nhau bất kì không nhất thiết là hai hình đồng dạng phối cảnh.

Luyện tập (trang 106)

Đề bài: Trong những cặp hình dưới đây (H.9.67), cặp hình nào là hai hình đồng dạng? Hãy chỉ ra một cặp hình đồng dạng phối cảnh và vẽ cặp hình đó cùng tâm phối cảnh vào vở.

Lời giải:

Ý 1: Xác định các cặp hình đồng dạng.

Hai hình đồng dạng là hai hình có cùng hình dạng (chỉ khác kích thước hoặc bằng nhau).

• Cặp hình 1: hai cung cong cùng hình dạng, chỉ khác kích thước → đồng dạng.
• Cặp hình 2: hai tam giác cùng hình dạng, chỉ khác kích thước → đồng dạng.
• Cặp hình 3: một hình vuông (4 cạnh bằng nhau) và một hình chữ nhật không phải hình vuông (các cạnh không bằng nhau) — không cùng hình dạng → không đồng dạng.

Vậy hai cặp hình đồng dạng là Cặp hình 1 và Cặp hình 2.

Ý 2: Chỉ ra một cặp hình đồng dạng phối cảnh và vẽ.

Cả Cặp hình 1 và Cặp hình 2 đều có thể là hình đồng dạng phối cảnh. Ta chọn Cặp hình 2 (hai tam giác) để dễ vẽ.

Cách vẽ Cặp hình 2 cùng tâm phối cảnh $O$:

• Bước 1: Đặt một điểm $O$ ngoài tam giác lớn (làm tâm phối cảnh).
• Bước 2: Từ $O$ kẻ ba tia đi qua ba đỉnh của tam giác lớn.
• Bước 3: Trên mỗi tia, lấy điểm chia tỉ lệ tương ứng (ví dụ chia đôi để có tỉ số $\dfrac{1}{2}$).
• Bước 4: Nối ba điểm vừa lấy được, ta có tam giác nhỏ đồng dạng phối cảnh với tam giác lớn, tâm phối cảnh $O$.

Tranh luận (trang 106)

Đề bài: Hai bạn tranh luận:

• Bạn áo xanh: “Tớ nghĩ là hai hình vuông bất kì đều đồng dạng với nhau.”
• Bạn áo vàng: “Tớ nghĩ hai hình tam giác đều bất kì đều đồng dạng phối cảnh với nhau.”

Theo em, bạn nào đúng, bạn nào sai? Cho biết ý kiến của em.

Lời giải:

Bạn áo xanh nói đúng. Hai hình vuông bất kì luôn có cùng hình dạng (đều là hình vuông — bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông), chỉ khác nhau về kích thước. Do đó hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng với nhau.

Bạn áo vàng nói sai. Hai tam giác đều bất kì cũng luôn có cùng hình dạng (đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng $60^\circ$) nên chúng đồng dạng với nhau. Tuy nhiên, để là hai hình đồng dạng phối cảnh thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác phải đồng quy tại một điểm.

Nếu ta đặt hai tam giác đều ở vị trí tuỳ ý (chẳng hạn một tam giác bị xoay đi so với tam giác còn lại, hoặc các cạnh tương ứng không cùng hướng về một tâm), thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng có thể không đồng quy. Khi đó hai tam giác đều này không là đồng dạng phối cảnh.

Kết luận:

• Bạn áo xanh đúng (hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng).
• Bạn áo vàng sai (hai tam giác đều không nhất thiết là đồng dạng phối cảnh).

Bài tập (trang 106–107)

Bài 9.29 (trang 106)

Đề bài: Lấy một điểm $O$ nằm ngoài một đoạn thẳng $AB$. Hãy vẽ hình đồng dạng phối cảnh tâm $O$ của đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số đồng dạng $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB$ và lấy một điểm $O$ nằm ngoài đoạn thẳng đó.

Bước 2: Nối $O$ với $A$ (kẻ tia $OA$) và nối $O$ với $B$ (kẻ tia $OB$).

Bước 3: Trên tia $OA$, lấy điểm $A’$ sao cho

$$OA’ = \dfrac{1}{2} OA.$$

Tức $A’$ là trung điểm của đoạn $OA$.

Bước 4: Trên tia $OB$, lấy điểm $B’$ sao cho

$$OB’ = \dfrac{1}{2} OB.$$

Tức $B’$ là trung điểm của đoạn $OB$.

Bước 5: Nối $A’$ với $B’$. Đoạn thẳng $A’B’$ chính là hình đồng dạng phối cảnh tâm $O$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$ của đoạn thẳng $AB$.

Khi đó độ dài $A’B’ = \dfrac{1}{2} AB$.

Bài 9.30 (trang 106)

Đề bài: Biết rằng mỗi hình dưới đây đồng dạng với một hình khác, hãy tìm các cặp hình đồng dạng đó.

Lời giải:

Hai hình đồng dạng là hai hình có cùng hình dạng (chỉ khác kích thước). Quan sát bốn bông hoa:

• Hình a và hình c đều có dạng bông hoa $5$ cánh, chỉ khác nhau về kích thước → là một cặp hình đồng dạng.
• Hình b và hình d đều có dạng bông hoa nhiều cánh (8 cánh), chỉ khác nhau về kích thước → là một cặp hình đồng dạng.

Kết luận: Hai cặp hình đồng dạng là:

• Cặp 1: Hình a và hình c.
• Cặp 2: Hình b và hình d.

Bài 9.31 (trang 107)

Đề bài: Trong các cặp hình đồng dạng dưới đây, cặp hình nào là đồng dạng phối cảnh?

Lời giải:

Hai hình đồng dạng là đồng dạng phối cảnh khi các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai hình đồng quy tại một điểm (tâm phối cảnh).

Xét Cặp hình lục giác đều: Khi nối các đỉnh tương ứng của hai lục giác đều (to và nhỏ) bằng các đường thẳng, các đường thẳng này đồng quy tại một điểm (nằm về một phía của hai lục giác). Vậy đây là cặp hình đồng dạng phối cảnh.

Xét Cặp hình tam giác đều: Khi nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác đều bằng các đường thẳng, các đường thẳng này không đồng quy tại một điểm (do hai tam giác được đặt ở vị trí mà các đỉnh tương ứng không “hướng về” cùng một tâm). Vậy đây không phải là cặp hình đồng dạng phối cảnh.

Xét Cặp hình vuông: Tương tự cặp lục giác đều, các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai hình vuông đồng quy tại một điểm. Vậy đây là cặp hình đồng dạng phối cảnh.

Kết luận: Hai cặp hình đồng dạng phối cảnh là cặp hình lục giác đều và cặp hình vuông.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du