1. Lập phương của một tổng

Hoạt động 1 (trang 34)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, thực hiện phép tính $(a + b)(a + b)^2$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^3$ và $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Lời giải:

Trước hết, ta nhớ lại hằng đẳng thức bình phương của một tổng đã học ở bài trước:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Thực hiện phép tính $(a + b)(a + b)^2$ — đây chính là tích của $(a + b)$ với đa thức $a^2 + 2ab + b^2$:

$$(a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2).$$

Áp dụng quy tắc nhân đa thức (nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia):

$$= a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2.$$

Tính từng tích:

• $a \cdot a^2 = a^3$.
• $a \cdot 2ab = 2a^2b$.
• $a \cdot b^2 = ab^2$.
• $b \cdot a^2 = a^2b$.
• $b \cdot 2ab = 2ab^2$.
• $b \cdot b^2 = b^3$.

Gộp các hạng tử đồng dạng ($2a^2b + a^2b = 3a^2b$; $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$):

$$(a + b)(a + b)^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$$

Vì $(a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3$, ta được liên hệ:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$$

Tổng quát, với $A$, $B$ là hai biểu thức bất kì:

$$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3.$$

Luyện tập 1 (trang 35)

Đề bài:

1. Khai triển:

a) $(x + 3)^3$;

b) $(x + 2y)^3$.

2. Rút gọn biểu thức $(2x + y)^3 – 8x^3 – y^3$.

Lời giải:

1a) Áp dụng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = x$, $B = 3$:

$$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3.$$

Tính từng phần: $3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$; $3 \cdot x \cdot 9 = 27x$; $3^3 = 27$. Vậy:

$$(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27.$$

1b) Áp dụng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = x$, $B = 2y$:

$$(x + 2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3.$$

Tính từng phần: $3 \cdot x^2 \cdot 2y = 6x^2y$; $(2y)^2 = 4y^2$ nên $3 \cdot x \cdot 4y^2 = 12xy^2$; $(2y)^3 = 8y^3$. Vậy:

$$(x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3.$$

2. Trước hết khai triển $(2x + y)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A + B)^3$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x + y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3.$$

Tính từng phần: $(2x)^3 = 8x^3$; $3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y$; $3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6xy^2$. Vậy:

$$(2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3.$$

Thay vào biểu thức cần rút gọn:

$$(2x + y)^3 – 8x^3 – y^3 = (8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) – 8x^3 – y^3.$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 – 8x^3 – y^3 = (8x^3 – 8x^3) + 12x^2y + 6xy^2 + (y^3 – y^3) = 12x^2y + 6xy^2.$$

Vậy $(2x + y)^3 – 8x^3 – y^3 = 12x^2y + 6xy^2$.

Luyện tập 2 (trang 35)

Đề bài: Viết biểu thức $x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Lời giải:

Ta tìm $A$, $B$ sao cho $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ khớp với biểu thức đã cho:

• Hạng tử đầu: $A^3 = x^3$ → $A = x$.
• Hạng tử cuối: $B^3 = 27y^3 = (3y)^3$ → $B = 3y$.

Kiểm tra hai hạng tử giữa:

• $3A^2B = 3 \cdot x^2 \cdot 3y = 9x^2y$ → đúng bằng $9x^2y$.
• $3AB^2 = 3 \cdot x \cdot (3y)^2 = 3 \cdot x \cdot 9y^2 = 27xy^2$ → đúng bằng $27xy^2$.

Cả bốn hạng tử đều khớp, áp dụng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ theo chiều ngược lại:

$$x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3y + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 = (x + 3y)^3.$$

2. Lập phương của một hiệu

Hoạt động 2 (trang 35)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, viết $a – b = a + (-b)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $(a – b)^3$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a – b)^3$ và $a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$.

Lời giải:

Theo gợi ý, ta viết $a – b = a + (-b)$ rồi áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = a$, $B = -b$:

$$(a – b)^3 = [a + (-b)]^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (-b) + 3 \cdot a \cdot (-b)^2 + (-b)^3.$$

Tính từng phần (lưu ý dấu khi nâng $-b$ lên các luỹ thừa):

• $a^3 = a^3$ (giữ nguyên).
• $3 \cdot a^2 \cdot (-b) = -3a^2b$.
• $(-b)^2 = b^2$ (luỹ thừa bậc chẵn của số đối bằng luỹ thừa của số đó), nên $3 \cdot a \cdot (-b)^2 = 3 \cdot a \cdot b^2 = 3ab^2$.
• $(-b)^3 = -b^3$ (luỹ thừa bậc lẻ của số đối thì đổi dấu).

Cộng lại:

$$(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3.$$

Tổng quát, với $A$, $B$ là hai biểu thức bất kì:

$$(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3.$$

Luyện tập 3 (trang 35)

Đề bài: Khai triển $(2x – y)^3$.

Lời giải:

Áp dụng $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x – y)^3 = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 – y^3.$$

Tính từng phần: $(2x)^3 = 8x^3$; $3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y$; $3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6xy^2$. Vậy:

$$(2x – y)^3 = 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3.$$

Luyện tập 4 (trang 36)

Đề bài: Viết biểu thức $8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Lời giải:

Ta tìm $A$, $B$ sao cho $A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ khớp với biểu thức đã cho:

• Hạng tử đầu: $A^3 = 8x^3 = (2x)^3$ → $A = 2x$.
• Hạng tử cuối: $B^3 = 27y^3 = (3y)^3$ → $B = 3y$ (sau đó cuối là $-B^3 = -27y^3$ → khớp).

Kiểm tra hai hạng tử giữa:

• $-3A^2B = -3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y = -3 \cdot 4x^2 \cdot 3y = -36x^2y$ → đúng bằng $-36x^2y$.
• $3AB^2 = 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 = 3 \cdot 2x \cdot 9y^2 = 54xy^2$ → đúng bằng $54xy^2$.

Cả bốn hạng tử đều khớp, áp dụng $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ theo chiều ngược lại:

$$8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3 = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 – (3y)^3 = (2x – 3y)^3.$$

Vận dụng (trang 36)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $(x – y)^3 + (x + y)^3$.

Lời giải:

Ta khai triển từng lập phương rồi cộng lại.

Khai triển $(x – y)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A – B)^3$ với $A = x$, $B = y$:

$$(x – y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3.$$

Khai triển $(x + y)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A + B)^3$ với $A = x$, $B = y$:

$$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.$$

Cộng hai kết quả:

$$(x – y)^3 + (x + y)^3 = (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) + (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^3 + x^3 = 2x^3$.
• $-3x^2y + 3x^2y = 0$ → triệt tiêu.
• $3xy^2 + 3xy^2 = 6xy^2$.
• $-y^3 + y^3 = 0$ → triệt tiêu.

Vậy:

$$(x – y)^3 + (x + y)^3 = 2x^3 + 6xy^2.$$

(Có thể viết gọn hơn bằng cách đặt nhân tử chung: $2x^3 + 6xy^2 = 2x(x^2 + 3y^2)$.)

Bài tập (trang 36)

Bài 2.7 (trang 36)

Đề bài: Khai triển:

a) $(x^2 + 2y)^3$;

b) $\left(\dfrac{1}{2}x – 1\right)^3$.

Lời giải:

a) Áp dụng $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = x^2$, $B = 2y$:

$$(x^2 + 2y)^3 = (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2y + 3 \cdot x^2 \cdot (2y)^2 + (2y)^3.$$

Tính từng phần:

• $(x^2)^3 = x^6$.
• $3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2y = 3 \cdot x^4 \cdot 2y = 6x^4y$.
• $(2y)^2 = 4y^2$, nên $3 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 12x^2y^2$.
• $(2y)^3 = 8y^3$.

Vậy:

$$(x^2 + 2y)^3 = x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3.$$

b) Áp dụng $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ với $A = \dfrac{1}{2}x$, $B = 1$:

$$\left(\dfrac{1}{2}x – 1\right)^3 = \left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 – 3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 \cdot 1 + 3 \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot 1^2 – 1^3.$$

Tính từng phần:

• $\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 = \dfrac{1}{8}x^3$.
• $\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 = \dfrac{1}{4}x^2$, nên $3 \cdot \dfrac{1}{4}x^2 \cdot 1 = \dfrac{3}{4}x^2$.
• $3 \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot 1 = \dfrac{3}{2}x$.
• $1^3 = 1$.

Vậy:

$$\left(\dfrac{1}{2}x – 1\right)^3 = \dfrac{1}{8}x^3 – \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x – 1.$$

Bài 2.8 (trang 36)

Đề bài: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$;

b) $64x^3 – 144x^2y + 108xy^2 – 27y^3$.

Lời giải:

a) Biểu thức có bốn hạng tử với dấu đều dương → có dạng lập phương của một tổng. Ta tìm $A$, $B$ sao cho $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ khớp với biểu thức (xem hạng tử đầu là $A^3$, hạng tử cuối là $B^3$):

• Hạng tử đầu: $A^3 = 27 = 3^3$ → $A = 3$.
• Hạng tử cuối: $B^3 = 8x^3 = (2x)^3$ → $B = 2x$.

Kiểm tra hai hạng tử giữa:

• $3A^2B = 3 \cdot 3^2 \cdot 2x = 3 \cdot 9 \cdot 2x = 54x$ → đúng bằng $54x$.
• $3AB^2 = 3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 = 9 \cdot 4x^2 = 36x^2$ → đúng bằng $36x^2$.

Tất cả khớp, vậy:

$$27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 = (3 + 2x)^3.$$

b) Biểu thức có bốn hạng tử với dấu đan dấu (cộng – trừ – cộng – trừ) → có dạng lập phương của một hiệu. Ta tìm $A$, $B$ sao cho $A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ khớp với biểu thức:

• Hạng tử đầu: $A^3 = 64x^3 = (4x)^3$ → $A = 4x$.
• Hạng tử cuối: $-B^3 = -27y^3$, suy ra $B^3 = 27y^3 = (3y)^3$ → $B = 3y$.

Kiểm tra hai hạng tử giữa:

• $-3A^2B = -3 \cdot (4x)^2 \cdot 3y = -3 \cdot 16x^2 \cdot 3y = -144x^2y$ → đúng bằng $-144x^2y$.
• $3AB^2 = 3 \cdot 4x \cdot (3y)^2 = 12x \cdot 9y^2 = 108xy^2$ → đúng bằng $108xy^2$.

Tất cả khớp, vậy:

$$64x^3 – 144x^2y + 108xy^2 – 27y^3 = (4x – 3y)^3.$$

Bài 2.9 (trang 36)

Đề bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ tại $x = 7$;

b) $27 – 54x + 36x^2 – 8x^3$ tại $x = 6{,}5$.

Lời giải:

Ý tưởng: Trước khi thay số, ta nhận dạng biểu thức là lập phương của một tổng (hoặc một hiệu) để rút gọn về dạng $(A \pm B)^3$, sau đó tính sẽ nhanh hơn nhiều so với việc thay $x$ vào từng hạng tử.

a) Biểu thức $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ có bốn hạng tử dương → dạng lập phương của một tổng.

• $A^3 = x^3$ → $A = x$.
• $B^3 = 27 = 3^3$ → $B = 3$.
• Kiểm tra: $3A^2B = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$ ✓; $3AB^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x$ ✓.

Vậy:

$$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3.$$

Thay $x = 7$:

$$(7 + 3)^3 = 10^3 = 1\,000.$$

b) Biểu thức $27 – 54x + 36x^2 – 8x^3$ có bốn hạng tử đan dấu → dạng lập phương của một hiệu. Sắp xếp lại theo $A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$:

• $A^3 = 27 = 3^3$ → $A = 3$.
• $-B^3 = -8x^3$, suy ra $B^3 = 8x^3 = (2x)^3$ → $B = 2x$.
• Kiểm tra: $-3A^2B = -3 \cdot 9 \cdot 2x = -54x$ ✓; $3AB^2 = 3 \cdot 3 \cdot 4x^2 = 36x^2$ ✓.

Vậy:

$$27 – 54x + 36x^2 – 8x^3 = (3 – 2x)^3.$$

Thay $x = 6{,}5$:

$$(3 – 2 \cdot 6{,}5)^3 = (3 – 13)^3 = (-10)^3 = -1\,000.$$

Bài 2.10 (trang 36)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x – 2y)^3 + (x + 2y)^3$;

b) $(3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3$.

Lời giải:

a) Khai triển từng lập phương rồi cộng lại.

Khai triển $(x – 2y)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A – B)^3$ với $A = x$, $B = 2y$:

$$(x – 2y)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2y + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 – (2y)^3 = x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3.$$

Khai triển $(x + 2y)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A + B)^3$ với $A = x$, $B = 2y$:

$$(x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3.$$

Cộng hai kết quả:

$$(x – 2y)^3 + (x + 2y)^3 = (x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3) + (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^3 + x^3 = 2x^3$.
• $-6x^2y + 6x^2y = 0$ → triệt tiêu.
• $12xy^2 + 12xy^2 = 24xy^2$.
• $-8y^3 + 8y^3 = 0$ → triệt tiêu.

Vậy $(x – 2y)^3 + (x + 2y)^3 = 2x^3 + 24xy^2$.

b) Tương tự, khai triển từng lập phương.

Khai triển $(3x + 2y)^3$ với $A = 3x$, $B = 2y$:

$$(3x + 2y)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y + 3 \cdot 3x \cdot (2y)^2 + (2y)^3.$$

Tính: $(3x)^3 = 27x^3$; $3 \cdot 9x^2 \cdot 2y = 54x^2y$; $3 \cdot 3x \cdot 4y^2 = 36xy^2$; $(2y)^3 = 8y^3$. Vậy:

$$(3x + 2y)^3 = 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3.$$

Khai triển $(3x – 2y)^3$ với $A = 3x$, $B = 2y$ (đan dấu):

$$(3x – 2y)^3 = 27x^3 – 54x^2y + 36xy^2 – 8y^3.$$

Cộng hai kết quả:

$$(3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3 = (27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3) + (27x^3 – 54x^2y + 36xy^2 – 8y^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $27x^3 + 27x^3 = 54x^3$.
• $54x^2y – 54x^2y = 0$ → triệt tiêu.
• $36xy^2 + 36xy^2 = 72xy^2$.
• $8y^3 – 8y^3 = 0$ → triệt tiêu.

Vậy $(3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3 = 54x^3 + 72xy^2$.

Bài 2.11 (trang 36)

Đề bài: Chứng minh $(a – b)^3 = -(b – a)^3$.

Lời giải:

Cách 1 – khai triển hai vế và so sánh.

Khai triển vế trái bằng hằng đẳng thức $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$ với $A = a$, $B = b$:

$$(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3. \quad (*)$$

Khai triển $(b – a)^3$ bằng hằng đẳng thức trên với $A = b$, $B = a$:

$$(b – a)^3 = b^3 – 3b^2a + 3ba^2 – a^3 = b^3 – 3ab^2 + 3a^2b – a^3.$$

Lấy đối số của $(b – a)^3$ (đổi dấu tất cả các hạng tử):

$$-(b – a)^3 = -b^3 + 3ab^2 – 3a^2b + a^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3. \quad (**)$$

So sánh $(*)$ và $(**)$: hai vế bằng nhau với mọi $a$, $b$. Vậy $(a – b)^3 = -(b – a)^3$ (điều phải chứng minh).

Cách 2 – nhận xét nhanh hơn: Vì $a – b = -(b – a)$, lập phương cả hai vế ta được

$$(a – b)^3 = [-(b – a)]^3 = (-1)^3 \cdot (b – a)^3 = -(b – a)^3.$$

(Ở đây $(-1)^3 = -1$ vì luỹ thừa bậc lẻ của $-1$ bằng $-1$.) Điều phải chứng minh.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du