Bài tập (trang 25 – 26)

Bài 1.33 (trang 25)

Đề bài: Cho biểu thức $P = 5x(3x^2y – 2xy^2 + 1) – 3xy(5x^2 – 3xy) + x^2y^2$.

a) Bằng cách thu gọn, chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $P$ chỉ phụ thuộc vào biến $x$ mà không phụ thuộc vào biến $y$.

b) Tìm giá trị của $x$ sao cho $P = 10$.

Lời giải:

a) Thu gọn $P$.

Khai triển từng tích trước.

Tích thứ nhất: $5x(3x^2y – 2xy^2 + 1)$. Nhân $5x$ với từng hạng tử trong ngoặc:

$$5x(3x^2y – 2xy^2 + 1) = 5x \cdot 3x^2y + 5x \cdot (-2xy^2) + 5x \cdot 1 = 15x^3y – 10x^2y^2 + 5x.$$

Tích thứ hai: $3xy(5x^2 – 3xy)$. Nhân $3xy$ với từng hạng tử:

$$3xy(5x^2 – 3xy) = 3xy \cdot 5x^2 + 3xy \cdot (-3xy) = 15x^3y – 9x^2y^2.$$

Thay vào $P$:

$$P = (15x^3y – 10x^2y^2 + 5x) – (15x^3y – 9x^2y^2) + x^2y^2.$$

Bỏ dấu ngoặc (chú ý đổi dấu trong ngoặc thứ hai):

$$P = 15x^3y – 10x^2y^2 + 5x – 15x^3y + 9x^2y^2 + x^2y^2.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $15x^3y$ và $-15x^3y$: $15 – 15 = 0$ → triệt tiêu.
• $-10x^2y^2$, $9x^2y^2$ và $x^2y^2$: $-10 + 9 + 1 = 0$ → triệt tiêu.
• Còn lại $5x$.

Vậy $P = 5x.$

Sau khi thu gọn, $P$ chỉ chứa biến $x$ (không chứa biến $y$), nên giá trị của $P$ chỉ phụ thuộc vào $x$, không phụ thuộc vào $y$.

b) Tìm $x$ để $P = 10$.

Từ $P = 5x$ và $P = 10$, ta có:

$$5x = 10 \Rightarrow x = 10 : 5 = 2.$$

Vậy $x = 2$.

Bài 1.34 (trang 25)

Đề bài: Rút gọn biểu thức:

$$(3x^2 – 5xy – 4y^2) \cdot (2x^2 + y^2) + (2x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4) : \left(\dfrac{1}{5}xy\right).$$

Lời giải:

Ta tính riêng hai phần (tích đa thức và thương đa thức cho đơn thức) rồi cộng lại.

Phần 1: Tính $(3x^2 – 5xy – 4y^2)(2x^2 + y^2)$.

Nhân từng hạng tử của ngoặc thứ nhất với từng hạng tử của ngoặc thứ hai:

• $3x^2 \cdot 2x^2 = 6x^4$.
• $3x^2 \cdot y^2 = 3x^2y^2$.
• $-5xy \cdot 2x^2 = -10x^3y$.
• $-5xy \cdot y^2 = -5xy^3$.
• $-4y^2 \cdot 2x^2 = -8x^2y^2$.
• $-4y^2 \cdot y^2 = -4y^4$.

Cộng lại và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$(3x^2 – 5xy – 4y^2)(2x^2 + y^2) = 6x^4 + 3x^2y^2 – 10x^3y – 5xy^3 – 8x^2y^2 – 4y^4.$$

• $3x^2y^2 – 8x^2y^2 = -5x^2y^2$.

Vậy phần $1$ bằng: $6x^4 – 10x^3y – 5x^2y^2 – 5xy^3 – 4y^4.$

Phần 2: Tính $(2x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4) : \dfrac{1}{5}xy$.

Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức $\dfrac{1}{5}xy$. Nhớ rằng chia cho $\dfrac{1}{5}$ tương đương với nhân với $5$:

• $2x^4y^2 : \dfrac{1}{5}xy = \left(2 : \dfrac{1}{5}\right) \cdot (x^4 : x) \cdot (y^2 : y) = (2 \cdot 5) \cdot x^3 \cdot y = 10x^3y$.
• $x^3y^3 : \dfrac{1}{5}xy = \left(1 : \dfrac{1}{5}\right) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^3 : y) = 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = 5x^2y^2$.
• $x^2y^4 : \dfrac{1}{5}xy = \left(1 : \dfrac{1}{5}\right) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^4 : y) = 5 \cdot x \cdot y^3 = 5xy^3$.

Cộng lại, phần $2$ bằng: $10x^3y + 5x^2y^2 + 5xy^3.$

Cộng hai phần lại:

$$(6x^4 – 10x^3y – 5x^2y^2 – 5xy^3 – 4y^4) + (10x^3y + 5x^2y^2 + 5xy^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $-10x^3y$ và $10x^3y$: triệt tiêu.
• $-5x^2y^2$ và $5x^2y^2$: triệt tiêu.
• $-5xy^3$ và $5xy^3$: triệt tiêu.
• Còn lại: $6x^4 – 4y^4$.

Vậy biểu thức rút gọn là $6x^4 – 4y^4.$

Bài 1.35 (trang 26)

Đề bài: Bà Khanh dự định mua $x$ hộp sữa, mỗi hộp giá $y$ đồng. Nhưng khi đến cửa hàng, bà Khanh thấy giá sữa đã giảm $1\,500$ đồng mỗi hộp nên quyết định mua thêm $3$ hộp nữa. Tìm đa thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả cho tổng số hộp sữa đã mua.

Lời giải:

Bước 1: Xác định số hộp và giá thực tế.

• Bà Khanh dự định mua $x$ hộp; do giảm giá nên mua thêm $3$ hộp. Vậy số hộp thực tế mua là $x + 3$ (hộp).
• Giá ban đầu mỗi hộp là $y$ đồng; do giảm $1\,500$ đồng nên giá thực tế mỗi hộp là $y – 1\,500$ (đồng).

Bước 2: Lập biểu thức tổng số tiền.

Tổng số tiền bằng số hộp nhân với giá mỗi hộp:

$$T = (x + 3)(y – 1\,500) ; \text{(đồng).}$$

Bước 3: Khai triển để được dạng đa thức thu gọn.

Nhân mỗi hạng tử của ngoặc thứ nhất với từng hạng tử của ngoặc thứ hai:

$$T = x \cdot y + x \cdot (-1\,500) + 3 \cdot y + 3 \cdot (-1\,500) = xy – 1\,500x + 3y – 4\,500.$$

Vậy đa thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả là:

$$T = xy – 1\,500x + 3y – 4\,500 ; \text{(đồng).}$$

Bài 1.36 (trang 26)

Đề bài:

a) Tìm đơn thức $B$ nếu $4x^3y^2 : B = -2xy$.

b) Với đơn thức $B$ tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức $H$ để

$$(4x^3y^2 – 3x^2y^3) : B = -2xy + H.$$

Lời giải:

a) Tìm $B$.

Từ phép chia $4x^3y^2 : B = -2xy$ suy ra $B = 4x^3y^2 : (-2xy)$ (số chia bằng số bị chia chia cho thương).

Thực hiện phép chia:

$$B = (4 : (-2)) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y) = -2 \cdot x^2 \cdot y = -2x^2y.$$

Vậy $B = -2x^2y.$

(Kiểm tra: $4x^3y^2 : (-2x^2y) = (4 : (-2)) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y^2 : y) = -2 \cdot x \cdot y = -2xy$, đúng.)

b) Tìm $H$.

Trước hết ta tính vế trái $(4x^3y^2 – 3x^2y^3) : B$ với $B = -2x^2y$. Chia từng hạng tử cho $-2x^2y$:

• $4x^3y^2 : (-2x^2y) = (4 : (-2)) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y^2 : y) = -2 \cdot x \cdot y = -2xy$.
• $-3x^2y^3 : (-2x^2y) = ((-3) : (-2)) \cdot (x^2 : x^2) \cdot (y^3 : y) = \dfrac{3}{2} \cdot 1 \cdot y^2 = \dfrac{3}{2}y^2$.

Cộng lại:

$$(4x^3y^2 – 3x^2y^3) : B = -2xy + \dfrac{3}{2}y^2.$$

So sánh với vế phải $-2xy + H$, suy ra:

$$H = \dfrac{3}{2}y^2.$$

Bài 1.37 (trang 26)

Đề bài:

a) Tìm đơn thức $C$ nếu $5xy^2 \cdot C = 10x^3y^3$.

b) Với đơn thức $C$ tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức $K$ sao cho

$$(K + 5xy^2) \cdot C = 6x^4y + 10x^3y^3.$$

Lời giải:

a) Tìm $C$.

Từ $5xy^2 \cdot C = 10x^3y^3$ suy ra $C = 10x^3y^3 : 5xy^2$ (thừa số chưa biết bằng tích chia cho thừa số đã biết).

Thực hiện phép chia:

$$C = (10 : 5) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^3 : y^2) = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y.$$

Vậy $C = 2x^2y.$

(Kiểm tra: $5xy^2 \cdot 2x^2y = (5 \cdot 2)(x \cdot x^2)(y^2 \cdot y) = 10x^3y^3$, đúng.)

b) Tìm $K$.

Từ $(K + 5xy^2) \cdot C = 6x^4y + 10x^3y^3$ với $C = 2x^2y$, ta suy ra:

$$K + 5xy^2 = (6x^4y + 10x^3y^3) : C = (6x^4y + 10x^3y^3) : 2x^2y.$$

Chia từng hạng tử cho $2x^2y$:

• $6x^4y : 2x^2y = (6 : 2) \cdot (x^4 : x^2) \cdot (y : y) = 3 \cdot x^2 \cdot 1 = 3x^2$.
• $10x^3y^3 : 2x^2y = (10 : 2) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y^3 : y) = 5 \cdot x \cdot y^2 = 5xy^2$.

Vậy:

$$K + 5xy^2 = 3x^2 + 5xy^2.$$

Trừ $5xy^2$ ở cả hai vế:

$$K = 3x^2 + 5xy^2 – 5xy^2 = 3x^2.$$

Vậy $K = 3x^2.$

Bài 1.38 (trang 26)

Đề bài: Chuyện rằng Rùa chạy đua với Thỏ. Thỏ chạy nhanh gấp $60$ lần Rùa, nhưng chỉ sau $t$ phút chạy, Thỏ đã dừng lại mặc dù chưa đến đích. Do mải chơi, Thỏ không biết rằng Rùa vẫn cần mẫn chạy liên tục trong $90t$ phút và đến đích trước Thỏ.

a) Gọi $v$ (m/phút) là vận tốc chạy của Rùa. Hãy viết các đơn thức biểu thị quãng đường mà Thỏ và Rùa đã chạy.

b) Hỏi Rùa đã chạy được quãng đường dài gấp bao nhiêu lần quãng đường Thỏ đã chạy?

Lời giải:

a) Lập đơn thức biểu thị quãng đường.

Nhắc lại công thức: quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.

Quãng đường Thỏ chạy:

• Vận tốc Thỏ gấp $60$ lần vận tốc Rùa, mà Rùa có vận tốc $v$ (m/phút), nên vận tốc Thỏ là $60v$ (m/phút).
• Thời gian Thỏ chạy là $t$ phút.
• Quãng đường Thỏ chạy: $60v \cdot t = 60vt$ (m).

Quãng đường Rùa chạy:

• Vận tốc Rùa là $v$ (m/phút).
• Thời gian Rùa chạy là $90t$ phút.
• Quãng đường Rùa chạy: $v \cdot 90t = 90vt$ (m).

Vậy đơn thức biểu thị quãng đường Thỏ chạy là $60vt$ (m), và đơn thức biểu thị quãng đường Rùa chạy là $90vt$ (m).

b) So sánh hai quãng đường.

Để biết quãng đường Rùa gấp bao nhiêu lần quãng đường Thỏ, ta lấy quãng đường Rùa chia cho quãng đường Thỏ:

$$\dfrac{\text{Quãng đường Rùa}}{\text{Quãng đường Thỏ}} = \dfrac{90vt}{60vt} = \dfrac{90}{60} \cdot \dfrac{v}{v} \cdot \dfrac{t}{t} = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy quãng đường Rùa đã chạy gấp $\dfrac{3}{2}$ lần (tức $1{,}5$ lần) quãng đường Thỏ đã chạy.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du