A. Trắc nghiệm (trang 27)

Bài 1.39 (trang 27)

Đề bài: Đơn thức $-2^3x^2yz^3$ có:

A. hệ số $-2$, bậc $8$.

B. hệ số $-2^3$, bậc $5$.

C. hệ số $-1$, bậc $9$.

D. hệ số $-2^3$, bậc $6$.

Lời giải:

Trong đơn thức $-2^3x^2yz^3$, ta tách phần số và phần biến:

• Phần số (hệ số): $-2^3$ (đây là một số cụ thể, bằng $-8$). Vậy hệ số là $-2^3$ (hay $-8$).
• Phần biến: $x^2yz^3$.

Bậc của đơn thức là tổng số mũ các biến trong phần biến:

$$2 + 1 + 3 = 6.$$

Vậy đơn thức có hệ số $-2^3$ và bậc $6$.

Đáp án: D.

Bài 1.40 (trang 27)

Đề bài: Gọi $T$ là tổng, $H$ là hiệu của hai đa thức $3x^2y – 2xy^2 + xy$ và $-2x^2y + 3xy^2 + 1$. Khi đó:

A. $T = x^2y – xy^2 + xy + 1$ và $H = 5x^2y – 5xy^2 + xy – 1$.

B. $T = x^2y + xy^2 + xy + 1$ và $H = 5x^2y – 5xy^2 + xy – 1$.

C. $T = x^2y + xy^2 + xy + 1$ và $H = 5x^2y – 5xy^2 – xy – 1$.

D. $T = x^2y + xy^2 + xy – 1$ và $H = 5x^2y + 5xy^2 + xy – 1$.

Lời giải:

Tính tổng $T$:

$$T = (3x^2y – 2xy^2 + xy) + (-2x^2y + 3xy^2 + 1).$$

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên các hạng tử):

$$T = 3x^2y – 2xy^2 + xy – 2x^2y + 3xy^2 + 1.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $3x^2y – 2x^2y = x^2y$.
• $-2xy^2 + 3xy^2 = xy^2$.
• $xy$ và $1$ không có đồng dạng.

Vậy $T = x^2y + xy^2 + xy + 1.$

Tính hiệu $H$:

$$H = (3x^2y – 2xy^2 + xy) – (-2x^2y + 3xy^2 + 1).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$H = 3x^2y – 2xy^2 + xy + 2x^2y – 3xy^2 – 1.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $3x^2y + 2x^2y = 5x^2y$.
• $-2xy^2 – 3xy^2 = -5xy^2$.
• $xy$ và $-1$ không có đồng dạng.

Vậy $H = 5x^2y – 5xy^2 + xy – 1.$

Đối chiếu với các phương án, $T = x^2y + xy^2 + xy + 1$ và $H = 5x^2y – 5xy^2 + xy – 1$.

Đáp án: B.

Bài 1.41 (trang 27)

Đề bài: Tích của hai đơn thức $6x^2yz$ và $-2y^2z^2$ là đơn thức:

A. $4x^2y^3z^3$. B. $-12x^2y^3z^3$.

C. $-12x^3y^3z^3$. D. $4x^3y^3z^3$.

Lời giải:

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các luỹ thừa cùng cơ số với nhau:

$$6x^2yz \cdot (-2y^2z^2) = (6 \cdot (-2)) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y^2) \cdot (z \cdot z^2).$$

Tính từng phần:

• Hệ số: $6 \cdot (-2) = -12$.
• Biến $x$: chỉ có ở đơn thức thứ nhất, giữ nguyên $x^2$.
• Biến $y$: $y \cdot y^2 = y^3$.
• Biến $z$: $z \cdot z^2 = z^3$.

Vậy: $6x^2yz \cdot (-2y^2z^2) = -12x^2y^3z^3.$

Đáp án: B.

Bài 1.42 (trang 27)

Đề bài: Khi chia đa thức $8x^3y^2 – 6x^2y^3$ cho đơn thức $-2xy$, ta được kết quả là:

A. $-4x^2y + 3xy^2$. B. $-4xy^2 + 3x^2y$.

C. $-10x^2y + 4xy^2$. D. $-10x^2y + 4xy^2$.

Lời giải:

Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức $-2xy$:

• $8x^3y^2 : (-2xy) = (8 : (-2)) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y) = -4 \cdot x^2 \cdot y = -4x^2y$.
• $-6x^2y^3 : (-2xy) = ((-6) : (-2)) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^3 : y) = 3 \cdot x \cdot y^2 = 3xy^2$.

Cộng hai kết quả:

$$(8x^3y^2 – 6x^2y^3) : (-2xy) = -4x^2y + 3xy^2.$$

Đáp án: A.

B. Tự luận (trang 27 – 28)

Bài 1.43 (trang 27)

Đề bài: Một đa thức hai biến bậc hai thu gọn có thể có nhiều nhất:

a) bao nhiêu hạng tử bậc hai? Cho ví dụ.

b) bao nhiêu hạng tử bậc nhất? Cho ví dụ.

c) bao nhiêu hạng tử khác $0$? Cho ví dụ.

Lời giải:

Trong một đa thức thu gọn, không có hai hạng tử nào đồng dạng (tức là không có hai hạng tử cùng phần biến). Với đa thức hai biến (gọi hai biến là $x$ và $y$) bậc hai, các hạng tử có thể xuất hiện chỉ có bậc $0$, $1$ hoặc $2$.

a) Số hạng tử bậc hai nhiều nhất.

Các đơn thức bậc $2$ với hai biến $x$, $y$ (có phần biến khác nhau) là: $x^2$, $xy$, $y^2$ — chỉ có $3$ đơn thức.

Vậy đa thức hai biến bậc hai thu gọn có nhiều nhất $3$ hạng tử bậc hai.

Ví dụ: $x^2 + xy + y^2$ có đúng $3$ hạng tử bậc hai.

b) Số hạng tử bậc nhất nhiều nhất.

Các đơn thức bậc $1$ với hai biến $x$, $y$ (có phần biến khác nhau) là: $x$, $y$ — chỉ có $2$ đơn thức.

Vậy đa thức hai biến bậc hai thu gọn có nhiều nhất $2$ hạng tử bậc nhất.

Ví dụ: $x^2 + x + y$ có đúng $2$ hạng tử bậc nhất là $x$ và $y$ (và một hạng tử bậc $2$ là $x^2$ để đa thức có bậc $2$).

c) Số hạng tử khác $0$ nhiều nhất.

Tổng cộng các đơn thức có phần biến khác nhau, bậc không vượt quá $2$:

• Bậc $0$: $1$ (số hạng tự do) → $1$ đơn thức.
• Bậc $1$: $x$, $y$ → $2$ đơn thức.
• Bậc $2$: $x^2$, $xy$, $y^2$ → $3$ đơn thức.

Tổng cộng có $1 + 2 + 3 = 6$ đơn thức có phần biến đôi một khác nhau. Trong đa thức thu gọn, mỗi đơn thức trong số đó có thể xuất hiện một lần với hệ số khác $0$. Vậy đa thức hai biến bậc hai thu gọn có nhiều nhất $6$ hạng tử khác $0$.

Ví dụ: $x^2 + xy + y^2 + x + y + 1$ có đúng $6$ hạng tử khác $0$.

Bài 1.44 (trang 27)

Đề bài: Cho biểu thức $3x^3(x^5 – y^5) + y^5(3x^3 – y^3)$.

a) Rút gọn biểu thức đã cho.

b) Tính giá trị của biểu thức đã cho nếu biết $y^4 = x^4\sqrt{3}$.

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức.

Khai triển từng tích:

Tích thứ nhất: $3x^3(x^5 – y^5) = 3x^3 \cdot x^5 + 3x^3 \cdot (-y^5) = 3x^8 – 3x^3y^5.$

Tích thứ hai: $y^5(3x^3 – y^3) = y^5 \cdot 3x^3 + y^5 \cdot (-y^3) = 3x^3y^5 – y^8.$

Cộng hai kết quả:

$$3x^3(x^5 – y^5) + y^5(3x^3 – y^3) = (3x^8 – 3x^3y^5) + (3x^3y^5 – y^8).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= 3x^8 – 3x^3y^5 + 3x^3y^5 – y^8 = 3x^8 – y^8.$$

Vậy biểu thức rút gọn là $3x^8 – y^8.$

b) Tính giá trị biểu thức khi $y^4 = x^4\sqrt{3}$.

Bình phương hai vế của $y^4 = x^4\sqrt{3}$:

$$(y^4)^2 = (x^4\sqrt{3})^2 \Rightarrow y^8 = x^8 \cdot 3 = 3x^8.$$

Thay vào biểu thức rút gọn:

$$3x^8 – y^8 = 3x^8 – 3x^8 = 0.$$

Vậy nếu $y^4 = x^4\sqrt{3}$ thì giá trị của biểu thức bằng $0$.

Bài 1.45 (trang 28)

Đề bài: Rút gọn biểu thức:

$$\dfrac{1}{4}(2x^2 + y)(x – 2y^2) + \dfrac{1}{4}(2x^2 – y)(x + 2y^2).$$

Lời giải:

Vì hai tích đều có chung thừa số $\dfrac{1}{4}$, ta đặt $\dfrac{1}{4}$ ra ngoài để tính tổng hai tích trong ngoặc trước:

$$\dfrac{1}{4}\left[(2x^2 + y)(x – 2y^2) + (2x^2 – y)(x + 2y^2)\right].$$

Tính tích thứ nhất $(2x^2 + y)(x – 2y^2)$:

• $2x^2 \cdot x = 2x^3$.
• $2x^2 \cdot (-2y^2) = -4x^2y^2$.
• $y \cdot x = xy$.
• $y \cdot (-2y^2) = -2y^3$.

Cộng lại: $(2x^2 + y)(x – 2y^2) = 2x^3 – 4x^2y^2 + xy – 2y^3.$

Tính tích thứ hai $(2x^2 – y)(x + 2y^2)$:

• $2x^2 \cdot x = 2x^3$.
• $2x^2 \cdot 2y^2 = 4x^2y^2$.
• $(-y) \cdot x = -xy$.
• $(-y) \cdot 2y^2 = -2y^3$.

Cộng lại: $(2x^2 – y)(x + 2y^2) = 2x^3 + 4x^2y^2 – xy – 2y^3.$

Cộng hai tích:

$$(2x^3 – 4x^2y^2 + xy – 2y^3) + (2x^3 + 4x^2y^2 – xy – 2y^3).$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x^3 + 2x^3 = 4x^3$.
• $-4x^2y^2 + 4x^2y^2 = 0$.
• $xy – xy = 0$.
• $-2y^3 – 2y^3 = -4y^3$.

Vậy tổng hai tích bằng $4x^3 – 4y^3$.

Nhân với $\dfrac{1}{4}$:

$$\dfrac{1}{4}(4x^3 – 4y^3) = \dfrac{1}{4} \cdot 4x^3 – \dfrac{1}{4} \cdot 4y^3 = x^3 – y^3.$$

Vậy biểu thức rút gọn là $x^3 – y^3.$

Bài 1.46 (trang 28)

Đề bài: Bạn Thành dùng một miếng bìa hình chữ nhật để làm một chiếc hộp (không nắp) bằng cách cắt bốn hình vuông cạnh $x$ centimét ở bốn góc rồi gấp lại. Biết rằng miếng bìa có chiều dài là $y$ centimét, chiều rộng là $z$ centimét. Tìm đa thức (ba biến $x$, $y$, $z$) biểu thị thể tích của chiếc hộp. Xác định bậc của đa thức đó.

Lời giải:

Bước 1: Xác định ba kích thước của chiếc hộp.

Khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc rồi gấp các cạnh lên, ta được hình hộp chữ nhật (không nắp) với:

• Chiều dài đáy của hộp $=$ chiều dài miếng bìa trừ đi hai lần cạnh hình vuông bị cắt ở hai đầu $= y – 2x$ (cm).
• Chiều rộng đáy của hộp $=$ chiều rộng miếng bìa trừ đi hai lần cạnh hình vuông $= z – 2x$ (cm).
• Chiều cao của hộp chính là cạnh hình vuông đã cắt $= x$ (cm).

Bước 2: Tính thể tích chiếc hộp.

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước:

$$V = (y – 2x)(z – 2x) \cdot x.$$

Bước 3: Khai triển để được đa thức thu gọn.

Tính $(y – 2x)(z – 2x)$ trước:

• $y \cdot z = yz$.
• $y \cdot (-2x) = -2xy$.
• $(-2x) \cdot z = -2xz$.
• $(-2x) \cdot (-2x) = 4x^2$.

Cộng lại: $(y – 2x)(z – 2x) = yz – 2xy – 2xz + 4x^2.$

Nhân với $x$:

$$V = (yz – 2xy – 2xz + 4x^2) \cdot x = xyz – 2x^2y – 2x^2z + 4x^3 ; (\text{cm}^3).$$

Bước 4: Xác định bậc.

Bậc của từng hạng tử:

• $xyz$: bậc $1 + 1 + 1 = 3$.
• $-2x^2y$: bậc $2 + 1 = 3$.
• $-2x^2z$: bậc $2 + 1 = 3$.
• $4x^3$: bậc $3$.

Bậc cao nhất là $3$. Vậy đa thức biểu thị thể tích chiếc hộp là $V = xyz – 2x^2y – 2x^2z + 4x^3$ và có bậc $3$.

Bài 1.47 (trang 28)

Đề bài: Biết rằng $D$ là một đơn thức sao cho $-2x^3y^4 : D = xy^2$. Hãy tìm thương của phép chia:

$$(10x^5y^2 – 6x^3y^4 + 8x^2y^5) : D.$$

Lời giải:

Bước 1: Tìm đơn thức $D$.

Từ $-2x^3y^4 : D = xy^2$ suy ra $D = -2x^3y^4 : xy^2$ (số chia bằng số bị chia chia cho thương).

Thực hiện phép chia:

$$D = ((-2) : 1) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^4 : y^2) = -2 \cdot x^2 \cdot y^2 = -2x^2y^2.$$

(Kiểm tra: $-2x^3y^4 : (-2x^2y^2) = 1 \cdot x \cdot y^2 = xy^2$, đúng.)

Bước 2: Thực hiện phép chia $(10x^5y^2 – 6x^3y^4 + 8x^2y^5) : D$.

Với $D = -2x^2y^2$, chia từng hạng tử của đa thức cho $-2x^2y^2$:

• $10x^5y^2 : (-2x^2y^2) = (10 : (-2)) \cdot (x^5 : x^2) \cdot (y^2 : y^2) = -5 \cdot x^3 \cdot 1 = -5x^3$.
• $-6x^3y^4 : (-2x^2y^2) = ((-6) : (-2)) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y^4 : y^2) = 3 \cdot x \cdot y^2 = 3xy^2$.
• $8x^2y^5 : (-2x^2y^2) = (8 : (-2)) \cdot (x^2 : x^2) \cdot (y^5 : y^2) = -4 \cdot 1 \cdot y^3 = -4y^3$.

Cộng các kết quả:

$$(10x^5y^2 – 6x^3y^4 + 8x^2y^5) : D = -5x^3 + 3xy^2 – 4y^3.$$

Bài 1.48 (trang 28)

Đề bài: Làm phép chia sau theo hướng dẫn:

$$[8x^3(2x – 5)^2 – 6x^2(2x – 5)^3 + 10x(2x – 5)^2] : 2x(2x – 5)^2.$$

Hướng dẫn: Đặt $y = 2x – 5$.

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ. Đặt $y = 2x – 5$. Khi đó $(2x – 5)^2 = y^2$ và $(2x – 5)^3 = y^3$. Biểu thức ban đầu trở thành:

$$(8x^3y^2 – 6x^2y^3 + 10xy^2) : 2xy^2.$$

Bước 2: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức.

Chia từng hạng tử cho $2xy^2$:

• $8x^3y^2 : 2xy^2 = (8 : 2) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y^2) = 4 \cdot x^2 \cdot 1 = 4x^2$.
• $-6x^2y^3 : 2xy^2 = ((-6) : 2) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^3 : y^2) = -3 \cdot x \cdot y = -3xy$.
• $10xy^2 : 2xy^2 = (10 : 2) \cdot (x : x) \cdot (y^2 : y^2) = 5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$.

Cộng các kết quả: $4x^2 – 3xy + 5.$

Bước 3: Thay $y = 2x – 5$ trở lại.

$$4x^2 – 3xy + 5 = 4x^2 – 3x(2x – 5) + 5.$$

Khai triển $3x(2x – 5) = 6x^2 – 15x$, nên:

$$4x^2 – 3x(2x – 5) + 5 = 4x^2 – (6x^2 – 15x) + 5 = 4x^2 – 6x^2 + 15x + 5.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng: $4x^2 – 6x^2 = -2x^2.$

Vậy kết quả của phép chia là:

$$[8x^3(2x – 5)^2 – 6x^2(2x – 5)^3 + 10x(2x – 5)^2] : 2x(2x – 5)^2 = -2x^2 + 15x + 5.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du