1. Tứ giác lồi

Câu hỏi (trang 49)

Đề bài: Cho bốn điểm $E$, $F$, $G$, $H$ (Hình 3.3). Kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

Lời giải:

Nối lần lượt các đoạn thẳng $EG$, $GF$, $FH$ và $HE$, ta được tứ giác $EGFH$ với:

• Bốn đỉnh là $E$, $G$, $F$, $H$.
• Bốn cạnh là $EG$, $GF$, $FH$, $HE$.

(Câu trả lời không duy nhất: tuỳ cách nối các đoạn thẳng nối bốn điểm, em có thể được nhiều tứ giác khác nhau như $EFGH$, $EFHG$, $EHFG$,… miễn là bốn đoạn thẳng đó tạo thành một tứ giác — không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.)

Luyện tập 1 (trang 49)

Đề bài: Quan sát tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.4.

• Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, chẳng hạn $AC$ là một đường chéo. Kể tên đường chéo còn lại.
• Cặp cạnh $AB$, $CD$ là cặp cạnh đối. Chỉ ra cặp cạnh đối còn lại.
• Cặp góc $A$, $C$ là cặp góc đối. Hãy kể tên cặp góc đối còn lại.

Lời giải:

Trong tứ giác $ABCD$:

• Đỉnh $B$ và đỉnh $D$ không cùng thuộc một cạnh (chúng là hai đỉnh đối nhau). Đoạn thẳng nối $B$ và $D$ là đường chéo còn lại. Vậy đường chéo còn lại là $BD$.
• Hai cạnh $AD$ và $BC$ không có chung đỉnh nào (đỉnh của $AD$ là $A$ và $D$; đỉnh của $BC$ là $B$ và $C$). Vậy cặp cạnh đối còn lại là $AD$ và $BC$.
• Hai góc $A$ và $C$ là cặp góc đối (hai đỉnh đối nhau). Hai đỉnh còn lại là $B$ và $D$ cũng đối nhau, nên cặp góc đối còn lại là $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Hoạt động (trang 50)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$. Kẻ đường chéo $BD$ (H.3.5). Vận dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với các tam giác $ABD$ và $CBD$, tính tổng $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D}$ của tứ giác $ABCD$.

Lời giải:

Đường chéo $BD$ chia tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABD$ và $CBD$. Đặt:

• $\widehat{B_1}$, $\widehat{D_1}$ lần lượt là các góc tại $B$ và $D$ trong tam giác $ABD$ (tức là $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ADB}$).
• $\widehat{B_2}$, $\widehat{D_2}$ lần lượt là các góc tại $B$ và $D$ trong tam giác $CBD$ (tức là $\widehat{CBD}$ và $\widehat{CDB}$).

Khi đó $\widehat{B} = \widehat{B_1} + \widehat{B_2}$ và $\widehat{D} = \widehat{D_1} + \widehat{D_2}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:

• Trong tam giác $ABD$: $\widehat{A} + \widehat{B_1} + \widehat{D_1} = 180^\circ$.
• Trong tam giác $CBD$: $\widehat{C} + \widehat{B_2} + \widehat{D_2} = 180^\circ$.

Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế:

$$\widehat{A} + (\widehat{B_1} + \widehat{B_2}) + \widehat{C} + (\widehat{D_1} + \widehat{D_2}) = 180^\circ + 180^\circ.$$

Mà $\widehat{B_1} + \widehat{B_2} = \widehat{B}$ và $\widehat{D_1} + \widehat{D_2} = \widehat{D}$, nên:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

Vậy tổng các góc của tứ giác $ABCD$ bằng $360^\circ$.

Luyện tập 2 (trang 50)

Đề bài: Cho tứ giác $EFGH$ như Hình 3.7. Hãy tính góc $F$.

Lời giải:

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có:

$$\widehat{E} + \widehat{F} + \widehat{G} + \widehat{H} = 360^\circ.$$

Thay $\widehat{E} = 90^\circ$, $\widehat{G} = 90^\circ$, $\widehat{H} = 55^\circ$:

$$90^\circ + \widehat{F} + 90^\circ + 55^\circ = 360^\circ.$$

$$\widehat{F} + 235^\circ = 360^\circ.$$

$$\widehat{F} = 360^\circ – 235^\circ = 125^\circ.$$

Vậy $\widehat{F} = 125^\circ$.

Vận dụng (trang 50)

Đề bài: Giải bài toán mở đầu — Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

• Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?
• Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo.

Lời giải:

Em có thể cắt bốn tứ giác như nhau và ghép khít chúng quanh một điểm chung như Hình 3.1b.

Tại điểm chung của bốn tứ giác, bốn góc (gồm góc $A$ của tứ giác thứ nhất, góc $B$ của tứ giác thứ hai, góc $C$ của tứ giác thứ ba và góc $D$ của tứ giác thứ tư) được ghép khít với nhau, tạo thành một góc đầy. Vì một góc đầy có số đo bằng $360^\circ$, ta có:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với định lí tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$ vừa học. Như vậy, việc ghép khít bốn tứ giác chính là một cách “trực quan” để minh hoạ định lí trên.

Thử thách nhỏ (trang 50)

Đề bài: Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

Lời giải:

Nhắc lại: góc nhọn là góc có số đo nhỏ hơn $90^\circ$, góc tù là góc có số đo lớn hơn $90^\circ$ (và nhỏ hơn $180^\circ$). Tổng các góc của một tứ giác luôn bằng $360^\circ$.

Xét số góc tù trong tứ giác:

• Nếu cả $4$ góc đều là góc tù, mỗi góc lớn hơn $90^\circ$, thì tổng bốn góc lớn hơn $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$. Điều này mâu thuẫn với tổng bốn góc tứ giác bằng đúng $360^\circ$ — không xảy ra.
• Nếu có $3$ góc tù và $1$ góc còn lại: tổng ba góc tù lớn hơn $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$, nên góc còn lại nhỏ hơn $360^\circ – 270^\circ = 90^\circ$ — là một góc nhọn. Trường hợp này có thể xảy ra (ví dụ ba góc bằng $100^\circ$ và một góc bằng $60^\circ$, tổng $= 360^\circ$).

Vậy một tứ giác có nhiều nhất $3$ góc tù.

Xét số góc nhọn trong tứ giác:

• Nếu cả $4$ góc đều là góc nhọn, mỗi góc nhỏ hơn $90^\circ$, thì tổng bốn góc nhỏ hơn $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$. Điều này mâu thuẫn với tổng bốn góc tứ giác bằng đúng $360^\circ$ — không xảy ra.
• Nếu có $3$ góc nhọn và $1$ góc còn lại: tổng ba góc nhọn nhỏ hơn $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$, nên góc còn lại lớn hơn $360^\circ – 270^\circ = 90^\circ$ — là một góc tù. Trường hợp này có thể xảy ra.

Vậy một tứ giác có nhiều nhất $3$ góc nhọn.

Kết luận: Trong một tứ giác, số góc tù nhiều nhất là $3$ và số góc nhọn nhiều nhất cũng là $3$.

Bài tập (trang 51)

Bài 3.1 (trang 51)

Đề bài: Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.

Hình 3.8a): Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

Thay các giá trị đã biết:

$$90^\circ + 90^\circ + \widehat{C} + 90^\circ = 360^\circ.$$

$$\widehat{C} + 270^\circ = 360^\circ.$$

$$\widehat{C} = 360^\circ – 270^\circ = 90^\circ.$$

Vậy $\widehat{C} = 90^\circ$.

Hình 3.8b): Tứ giác $VUSR$ có $\widehat{V} = 90^\circ$. Tại đỉnh $U$, tia $Ux$ là tia đối của tia $US$ và $\widehat{VUx} = 60^\circ$. Tại đỉnh $S$, tia $Sy$ là tia đối của tia $SR$ và $\widehat{USy} = 110^\circ$. Tính $\widehat{R}$.

Bước 1: Tính $\widehat{VUS}$.

Vì tia $Ux$ là tia đối của tia $US$ nên hai góc $\widehat{VUS}$ và $\widehat{VUx}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{VUS} + \widehat{VUx} = 180^\circ.$$

$$\widehat{VUS} + 60^\circ = 180^\circ ;\Rightarrow; \widehat{VUS} = 120^\circ.$$

Bước 2: Tính $\widehat{USR}$.

Tương tự, $\widehat{USR}$ và $\widehat{USy}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{USR} + \widehat{USy} = 180^\circ.$$

$$\widehat{USR} + 110^\circ = 180^\circ ;\Rightarrow; \widehat{USR} = 70^\circ.$$

Bước 3: Tính $\widehat{R}$.

Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác $VUSR$:

$$\widehat{V} + \widehat{VUS} + \widehat{USR} + \widehat{R} = 360^\circ.$$

$$90^\circ + 120^\circ + 70^\circ + \widehat{R} = 360^\circ.$$

$$\widehat{R} + 280^\circ = 360^\circ.$$

$$\widehat{R} = 360^\circ – 280^\circ = 80^\circ.$$

Vậy $\widehat{R} = 80^\circ$.

Bài 3.2 (trang 51)

Đề bài: Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9, biết rằng $\widehat{H} = \widehat{E} + 10^\circ$.

Lời giải:

Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác $HEFG$:

$$\widehat{H} + \widehat{E} + \widehat{F} + \widehat{G} = 360^\circ.$$

Thay $\widehat{H} = \widehat{E} + 10^\circ$, $\widehat{F} = 60^\circ$, $\widehat{G} = 50^\circ$:

$$(\widehat{E} + 10^\circ) + \widehat{E} + 60^\circ + 50^\circ = 360^\circ.$$

Gom $\widehat{E}$ và các số lại:

$$2\widehat{E} + 120^\circ = 360^\circ.$$

$$2\widehat{E} = 240^\circ ;\Rightarrow; \widehat{E} = 120^\circ.$$

Suy ra $\widehat{H} = \widehat{E} + 10^\circ = 120^\circ + 10^\circ = 130^\circ$.

Vậy $\widehat{E} = 120^\circ$ và $\widehat{H} = 130^\circ$.

Bài 3.3 (trang 51)

Đề bài: Tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.10 có $AB = AD$, $CB = CD$, được gọi là hình “cái diều”.

a) Chứng minh rằng $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.

b) Tính các góc $B$, $D$ biết rằng $\widehat{A} = 100^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$.

Lời giải:

a) Chứng minh $AC$ là đường trung trực của $BD$.

Nhắc lại tính chất (đã học ở lớp 7): điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

• Vì $AB = AD$ nên điểm $A$ cách đều hai mút $B$ và $D$ của đoạn $BD$. Do đó $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BD$.
• Vì $CB = CD$ nên điểm $C$ cách đều hai mút $B$ và $D$ của đoạn $BD$. Do đó $C$ cũng nằm trên đường trung trực của đoạn $BD$.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất. Vì hai điểm $A$ và $C$ (phân biệt) cùng nằm trên đường trung trực của $BD$, nên đường thẳng đi qua $A$ và $C$ — chính là đường thẳng $AC$ — là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.

Vậy $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$. $\square$

b) Tính các góc $B$, $D$ biết $\widehat{A} = 100^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$.

Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$:

• $AB = AD$ (giả thiết);
• $CB = CD$ (giả thiết);
• $AC$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng), tức là $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

Thay $\widehat{A} = 100^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$:

$$100^\circ + \widehat{B} + 60^\circ + \widehat{D} = 360^\circ.$$

$$\widehat{B} + \widehat{D} = 360^\circ – 160^\circ = 200^\circ.$$

Mà $\widehat{B} = \widehat{D}$ nên $2\widehat{B} = 200^\circ$, suy ra:

$$\widehat{B} = \widehat{D} = 100^\circ.$$

Vậy $\widehat{B} = 100^\circ$ và $\widehat{D} = 100^\circ$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du