1. Hình thang. Hình thang cân

Luyện tập 1 (trang 53)

Đề bài: Tính các góc của hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$), biết $\widehat{C} = 40^\circ$ (H.3.15).

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình thang cân với $AB // CD$ nên:

• $\widehat{C} = \widehat{D}$ (hai góc kề đáy lớn $CD$). Mà $\widehat{C} = 40^\circ$ nên $\widehat{D} = 40^\circ$.
• $\widehat{A} = \widehat{B}$ (hai góc kề đáy nhỏ $AB$).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác cho tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$

Thay $\widehat{C} = \widehat{D} = 40^\circ$ và $\widehat{A} = \widehat{B}$:

$$\widehat{A} + \widehat{A} + 40^\circ + 40^\circ = 360^\circ.$$

$$2\widehat{A} + 80^\circ = 360^\circ.$$

$$2\widehat{A} = 280^\circ ;\Rightarrow; \widehat{A} = 140^\circ.$$

Suy ra $\widehat{B} = \widehat{A} = 140^\circ$.

Vậy $\widehat{A} = 140^\circ$, $\widehat{B} = 140^\circ$, $\widehat{C} = 40^\circ$, $\widehat{D} = 40^\circ$.

2. Tính chất của hình thang cân

Hoạt động 1 (trang 53)

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$, $AB // CD$ và $AB < CD$ (H.3.16).

a) Từ $A$ và $B$ kẻ $AH \perp DC$, $BI \perp DC$, $H \in CD$, $I \in CD$. Chứng minh rằng $AH = BI$ bằng cách chứng minh $\triangle AHI = \triangle IBA$.

b) Chứng minh $\triangle AHD = \triangle BIC$, từ đó suy ra $AD = BC$.

Lời giải:

a) Chứng minh $AH = BI$.

Vì $AB // CD$ và $AI$ là cát tuyến, ta có $\widehat{BAI} = \widehat{AIH}$ (hai góc so le trong).

Mặt khác, $AH \perp DC$ và $BI \perp DC$ nên $AH // BI$. Coi $AI$ là cát tuyến của hai đường song song $AH$ và $BI$, ta có $\widehat{HAI} = \widehat{AIB}$ (hai góc so le trong).

Xét $\triangle AHI$ và $\triangle IBA$:

• $\widehat{HAI} = \widehat{AIB}$ (chứng minh trên);
• Cạnh $AI$ chung;
• $\widehat{AIH} = \widehat{BAI}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle AHI = \triangle IBA$ (g.c.g).

Suy ra $AH = IB$ (hai cạnh tương ứng), tức là $AH = BI$.

b) Chứng minh $\triangle AHD = \triangle BIC$, suy ra $AD = BC$.

Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB // CD$) nên $\widehat{C} = \widehat{D}$ (hai góc kề đáy lớn $CD$).

Hai tam giác $AHD$ và $BIC$ đều vuông ($\widehat{AHD} = \widehat{BIC} = 90^\circ$). Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau, nên:

• $\widehat{DAH} = 90^\circ – \widehat{D}$;
• $\widehat{CBI} = 90^\circ – \widehat{C}$.

Vì $\widehat{C} = \widehat{D}$ nên $\widehat{DAH} = \widehat{CBI}$.

Xét $\triangle AHD$ và $\triangle BIC$:

• $\widehat{AHD} = \widehat{BIC} = 90^\circ$;
• $AH = BI$ (theo câu a);
• $\widehat{DAH} = \widehat{CBI}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle AHD = \triangle BIC$ (g.c.g).

Suy ra $AD = BC$ (hai cạnh tương ứng).

Luyện tập 2 (trang 53)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ như Hình 3.18. Biết rằng $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{D_1}$. Chứng minh rằng $AD = BC$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $ABCD$ là hình thang.

Theo giả thiết, $\widehat{A} = \widehat{D_1}$. Hai góc này ở vị trí đồng vị (so với hai đường thẳng $AB$, $CD$ và cát tuyến $AD$). Mà hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song, nên $AB // CD$.

Vậy tứ giác $ABCD$ có $AB // CD$, suy ra $ABCD$ là hình thang (với hai đáy $AB$ và $CD$).

Bước 2: Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.

Theo giả thiết, $\widehat{A} = \widehat{B}$. Đây là hai góc kề đáy $AB$ của hình thang $ABCD$.

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân, nên $ABCD$ là hình thang cân.

Bước 3: Suy ra $AD = BC$.

Theo Định lí 1, trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Vậy $AD = BC$ (đpcm).

Hoạt động 2 (trang 54)

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$, kẻ hai đường chéo $AC$, $BD$ (H.3.19). Hãy chứng minh $\triangle ACD = \triangle BDC$. Từ đó suy ra $AC = BD$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB // CD$) nên theo Định lí 1, $AD = BC$ (hai cạnh bên), và theo tính chất hai góc kề đáy lớn, $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$.

Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$:

• $AD = BC$ (chứng minh trên);
• $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (chứng minh trên);
• Cạnh $DC$ chung.

Do đó $\triangle ACD = \triangle BDC$ (c.g.c).

Suy ra $AC = BD$ (hai cạnh tương ứng).

Luyện tập 3 (trang 54)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ một đường thẳng $d$ song song với $BC$, $d$ cắt cạnh $AB$ tại $D$ và cắt cạnh $AC$ tại $E$ (H.3.20).

a) Tứ giác $DECB$ là hình gì?

b) Chứng minh $BE = CD$.

Lời giải:

a) Tứ giác $DECB$ là hình gì?

Vì đường thẳng $d$ song song với $BC$ và $D$, $E$ nằm trên $d$ nên $DE // BC$.

Tứ giác $DECB$ có $DE // CB$ (hai cạnh đối song song) nên $DECB$ là hình thang (với hai đáy là $DE$ và $BC$).

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$, tức là $\widehat{B} = \widehat{C}$.

Trong hình thang $DECB$, hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc kề đáy $BC$. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân, nên $DECB$ là hình thang cân.

b) Chứng minh $BE = CD$.

Trong hình thang cân $DECB$, hai đường chéo là $BE$ và $CD$ (nối hai đỉnh đối nhau).

Theo Định lí 2, trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. Vậy $BE = CD$ (đpcm).

3. Dấu hiệu nhận biết

Thực hành (trang 55)

Đề bài:

a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:

• Vẽ hai đường thẳng song song $a$, $b$. Trên $a$ lấy hai điểm $A$, $B$.
• Vẽ hai cung tròn tâm $A$ và $B$ có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm $A$ cắt $b$ tại $C$; cung tròn tâm $B$ cắt $b$ tại $D$ và hai đoạn thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau. Hình thang $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau.

b) Hình thang $ABCD$ có là hình thang cân không? Vì sao?

Lời giải:

a) Em thực hiện vẽ hình theo đúng các bước được nêu ở đề bài.

b) Hình thang $ABCD$ có $AB$ thuộc đường thẳng $a$, $CD$ thuộc đường thẳng $b$, mà $a // b$ nên $AB // CD$. Vậy $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$.

Vì cung tròn tâm $A$ và cung tròn tâm $B$ có cùng bán kính, mà $C$ thuộc cung tâm $A$ và $D$ thuộc cung tâm $B$, nên $AC = BD$ (cùng bằng bán kính).

Hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ chính là hai đường chéo của hình thang $ABCD$, và chúng bằng nhau.

Theo Định lí 3 (dấu hiệu nhận biết): nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Vậy hình thang $ABCD$ là hình thang cân.

Vận dụng (trang 55)

Đề bài: Giải bài toán mở đầu — Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu (Hình 3.11). Hãy giải thích tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.

Lời giải:

Gọi hình thang cân ban đầu là $ABCD$ ($AB // CD$). Nhát cắt thẳng $MN$ với $M \in AB$, $N \in CD$ chia hình thang thành hai phần là hình thang $AMND$ và hình thang $MBCN$. Lật một trong hai mảnh và ghép lại với mảnh còn lại theo cạnh bên ban đầu, ta được một tứ giác mới (theo Hình 3.11).

Bước 1: Hình mới là một hình thang.

Trong hình thang cân $ABCD$, ta có $AB // CD$. Phép lật là phép dời hình nên bảo toàn tính song song của các đoạn thẳng. Do đó, sau khi cắt-lật-ghép, hai đoạn nằm trên $AB$ (gồm $MA$ và $MB$) cùng các đoạn nằm trên $CD$ (gồm $ND$ và $NC$) vẫn thẳng hàng và song song với nhau, tạo thành hai cạnh đối song song của hình mới.

Vậy hình mới là một hình thang.

Bước 2: Hình thang mới là hình thang cân.

Vì $AB // CD$ nên trong hình thang ban đầu, xét cát tuyến $MN$:

$$\widehat{AMN} = \widehat{MNC} \quad \text{(hai góc so le trong)}.$$

Khi lật mảnh chứa góc $\widehat{AMN}$ (chẳng hạn lật mảnh $AMND$), số đo các góc không thay đổi (phép lật bảo toàn số đo góc). Vì vậy, sau khi ghép, góc $\widehat{AMN}$ ban đầu nằm ở một đỉnh của hình thang mới và có số đo bằng $\widehat{AMN}$ ban đầu.

Đồng thời, góc $\widehat{MNC}$ tại đỉnh $N$ vẫn là một góc của hình thang mới (vì $N$ là một đỉnh không bị “lật”).

Hai góc nói trên (góc tại $N$ và góc tại “ảnh của $M$” sau khi lật) cùng kề một đáy của hình thang mới và có cùng số đo (cùng bằng $\widehat{AMN}$).

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Vậy hình tạo thành sau khi cắt-lật-ghép cũng là một hình thang cân (đpcm).

Bài tập (trang 55)

Bài 3.4 (trang 55)

Đề bài: Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?

Lời giải:

Gọi hình thang đó là $ABCD$ với $AB // CD$, $\widehat{A} = 120^\circ$ và $\widehat{C} = 80^\circ$.

Vì $ABCD$ là hình thang với $AB // CD$, hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc kề cùng cạnh bên $AD$, nên chúng bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ ;\Rightarrow; \widehat{D} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ.$$

Nếu $ABCD$ là hình thang cân, theo tính chất, hai góc kề đáy lớn $CD$ phải bằng nhau, tức là $\widehat{C} = \widehat{D}$. Nhưng ở đây $\widehat{C} = 80^\circ$ trong khi $\widehat{D} = 60^\circ$, nên $\widehat{C} \neq \widehat{D}$.

Vậy hình thang $ABCD$ không phải là hình thang cân.

Bài 3.5 (trang 55)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$). Kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ và đường thẳng vuông góc với $BD$ tại $D$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng nếu $EC = ED$ thì hình thang $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Bước 1: Chứng minh $OC = OD$.

Vì đường thẳng $EC$ vuông góc với $AC$ tại $C$, và $O$ nằm trên $AC$, nên $OC \perp CE$, tức là $\widehat{OCE} = 90^\circ$.

Tương tự, đường thẳng $ED$ vuông góc với $BD$ tại $D$, và $O$ nằm trên $BD$, nên $OD \perp DE$, tức là $\widehat{ODE} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $\triangle OCE$ (vuông tại $C$) và $\triangle ODE$ (vuông tại $D$):

• Cạnh huyền $OE$ chung;
• Cạnh góc vuông $EC = ED$ (giả thiết).

Do đó $\triangle OCE = \triangle ODE$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $OC = OD$ (hai cạnh tương ứng).

Bước 2: Chứng minh $OA = OB$.

Tam giác $OCD$ có $OC = OD$ nên tam giác $OCD$ cân tại $O$, suy ra $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$.

Vì $AB // CD$ với cát tuyến $AC$, ta có $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (hai góc so le trong).

Tương tự, với cát tuyến $BD$, ta có $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (hai góc so le trong).

Vì $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.

Tam giác $OAB$ có $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$, suy ra $OA = OB$.

Bước 3: Chứng minh $AC = BD$, suy ra $ABCD$ là hình thang cân.

Vì $O$ nằm trên đoạn $AC$ và đoạn $BD$ nên:

$$AC = OA + OC \quad \text{và} \quad BD = OB + OD.$$

Mà $OA = OB$, $OC = OD$ nên $AC = BD$, tức là hai đường chéo của hình thang $ABCD$ bằng nhau.

Theo Định lí 3 (dấu hiệu nhận biết): nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân (đpcm).

Bài 3.6 (trang 55)

Đề bài: Vẽ hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$) biết đáy lớn $CD$ dài $4$ cm, cạnh bên dài $2$ cm và đường chéo dài $3$ cm.

Lời giải:

Cách vẽ (sử dụng thước và compa):

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $CD = 4$ cm.

Bước 2: Tìm đỉnh $A$:

• Dùng compa vẽ cung tròn tâm $D$ bán kính $2$ cm (bán kính bằng cạnh bên $AD$).
• Dùng compa vẽ cung tròn tâm $C$ bán kính $3$ cm (bán kính bằng đường chéo $AC$).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm $A$ (chọn điểm $A$ ở phía trên đoạn $CD$).

Bước 3: Tìm đỉnh $B$:

• Dùng compa vẽ cung tròn tâm $C$ bán kính $2$ cm (bán kính bằng cạnh bên $BC$).
• Dùng compa vẽ cung tròn tâm $D$ bán kính $3$ cm (bán kính bằng đường chéo $BD$).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm $B$ (chọn điểm $B$ ở cùng phía với $A$, phía trên đoạn $CD$).

Bước 4: Nối $AB$, $AD$ và $BC$, ta được hình thang $ABCD$ thoả mãn yêu cầu.

Giải thích: Bằng cách vẽ trên, ta đảm bảo $AD = BC = 2$ cm (hai cạnh bên bằng nhau) và $AC = BD = 3$ cm (hai đường chéo bằng nhau). Vì hai đường chéo bằng nhau nên theo Định lí 3, $ABCD$ là hình thang cân.

Bài 3.7 (trang 55)

Đề bài: Hai tia phân giác của hai góc $A$, $B$ của hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$) cắt nhau tại điểm $E$ trên cạnh đáy $CD$. Chứng minh rằng $EC = ED$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB // CD$) nên:

• $\widehat{DAB} = \widehat{ABC}$ (hai góc kề đáy nhỏ $AB$);
• $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (hai góc kề đáy lớn $CD$);
• $AD = BC$ (hai cạnh bên, theo Định lí 1).

$AE$ là tia phân giác của $\widehat{DAB}$ nên $\widehat{DAE} = \dfrac{1}{2}\widehat{DAB}$.

$BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{CBE} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Vì $\widehat{DAB} = \widehat{ABC}$ nên $\widehat{DAE} = \widehat{CBE}$.

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle BCE$:

• $\widehat{DAE} = \widehat{CBE}$ (chứng minh trên);
• $AD = BC$ (chứng minh trên);
• $\widehat{ADE} = \widehat{BCE}$ (đây chính là $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$, hai góc kề đáy lớn của hình thang cân).

Do đó $\triangle ADE = \triangle BCE$ (g.c.g).

Suy ra $DE = CE$ (hai cạnh tương ứng), tức là $EC = ED$ (đpcm).

Bài 3.8 (trang 55)

Đề bài: Hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$, $AB < CD$) có các đường thẳng $AD$, $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Lời giải:

Ý tưởng: Ta sẽ chứng minh cả hai điểm $I$ và $J$ đều cách đều hai điểm $A$ và $B$ (tức là $IA = IB$ và $JA = JB$). Khi đó cả $I$ và $J$ đều nằm trên đường trung trực của $AB$, và vì đường trung trực là duy nhất, đường thẳng $IJ$ chính là đường trung trực của $AB$.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên:

• $AD = BC$ (Định lí 1);
• $AC = BD$ (Định lí 2);
• $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (hai góc kề đáy lớn).

Bước 1: Chứng minh $IA = IB$.

Vì $AB < CD$ nên khi kéo dài hai cạnh bên $AD$ và $BC$ về phía $A$ và $B$, chúng cắt nhau tại $I$ ở phía bên kia của $AB$ so với $CD$. Khi đó $A$ nằm giữa $I$ và $D$ (trên đường thẳng $AD$), $B$ nằm giữa $I$ và $C$ (trên đường thẳng $BC$).

Xét tam giác $ICD$:

• $\widehat{IDC} = \widehat{ADC}$ (vì tia $DI$ trùng với tia $DA$, do $A$ nằm giữa $I$ và $D$);
• $\widehat{ICD} = \widehat{BCD}$ (vì tia $CI$ trùng với tia $CB$, do $B$ nằm giữa $I$ và $C$).

Mà $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ nên $\widehat{IDC} = \widehat{ICD}$, suy ra tam giác $ICD$ cân tại $I$, do đó $ID = IC$.

Ta có $ID = IA + AD$ và $IC = IB + BC$ (do $A$, $B$ tương ứng nằm giữa $I$ và $D$, $C$).

Vì $ID = IC$ và $AD = BC$ nên $IA = IB$.

Vậy $I$ cách đều $A$ và $B$, suy ra $I$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$. (★)

Bước 2: Chứng minh $JA = JB$.

$J$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, nên $J$ nằm trên đoạn $AC$ và đoạn $BD$.

Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$:

• $AD = BC$ (chứng minh trên);
• $AC = BD$ (chứng minh trên);
• Cạnh $CD$ chung.

Do đó $\triangle ACD = \triangle BDC$ (c.c.c), suy ra $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$.

Trong tam giác $JCD$: $J$ nằm trên $AC$ nên $\widehat{JCD} = \widehat{ACD}$; $J$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{JDC} = \widehat{BDC}$. Vì $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ nên $\widehat{JCD} = \widehat{JDC}$, suy ra tam giác $JCD$ cân tại $J$, do đó $JC = JD$.

Ta có $JA = AC – JC$ và $JB = BD – JD$ (do $J$ nằm giữa $A$ và $C$, $B$ và $D$ tương ứng).

Vì $AC = BD$ và $JC = JD$ nên $JA = JB$.

Vậy $J$ cách đều $A$ và $B$, suy ra $J$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$. (★★)

Bước 3: Kết luận.

Từ (★) và (★★), cả hai điểm $I$ và $J$ đều nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$.

Do $AB < CD$ nên $I$ nằm phía ngoài hình thang (trên cùng phía với $AB$ so với $CD$), còn $J$ nằm phía trong hình thang. Vì vậy $I \neq J$.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là duy nhất; hai điểm phân biệt $I$ và $J$ cùng nằm trên đường này nên đường thẳng đi qua $I$ và $J$ (tức là đường thẳng $IJ$) chính là đường trung trực của đoạn $AB$.

Vậy đường thẳng $IJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ (đpcm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du