1. Hình thoi

Câu hỏi (trang 67)

Đề bài: Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

Lời giải:

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên hai cặp cạnh đối bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành (tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau), hình thoi là một hình bình hành.

Từ các tính chất của hình bình hành, suy ra hình thoi có các tính chất sau:

• Các cặp cạnh đối song song.
• Hai góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hoạt động 1 (trang 68)

Đề bài: Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ (Hình 3.48).

a) $\triangle ABD$ có cân tại $A$ không?

b) $AC$ có vuông góc với $BD$ không và $AC$ có là đường phân giác của góc $A$ không? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì $ABCD$ là hình thoi nên bốn cạnh bằng nhau, đặc biệt $AB = AD$. Do đó tam giác $ABD$ cân tại $A$.

b) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA$.

Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$ có:

• $AB = AD$ (chứng minh trên);
• $BC = DC$ (cạnh hình thoi);
• $AC$ là cạnh chung.

Suy ra $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c). Từ đó $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$ (hai góc tương ứng), nghĩa là $AC$ là đường phân giác của góc $A$.

Trong tam giác $ABD$ cân tại $A$, $AO$ là đường phân giác của góc $A$ (vì $O$ nằm trên $AC$), nên $AO$ cũng đồng thời là đường cao. Do đó $AO \perp BD$, tức là $AC \perp BD$.

Vậy $AC \perp BD$ và $AC$ là đường phân giác của góc $A$.

Câu hỏi (trang 68)

Đề bài: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

Nhắc lại Định lí 2c: Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Lời giải:

(Có thể phát biểu tương tự với đường phân giác xuất phát từ đỉnh $B$, $C$ hoặc $D$.)

Luyện tập 1 (trang 69)

Đề bài: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Lời giải:

Hình 3.51a): Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hơn nữa, hai đường chéo vuông góc với nhau, nên theo dấu hiệu nhận biết (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi), tứ giác này là hình thoi.

Hình 3.51b): Gọi tứ giác là $ABCD$. Vì $\widehat{B_1} = \widehat{D_1}$ và hai góc này ở vị trí so le trong, nên $AB \parallel CD$. Kết hợp với $AB = CD$ (theo kí hiệu trên hình), tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Mặt khác, $\widehat{D_1} = \widehat{D_2}$ nên $DB$ là đường phân giác của góc $D$. Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc, nên $ABCD$ là hình thoi.

Hình 3.51c): Tứ giác chỉ có một đường chéo vuông góc với cạnh và là phân giác của một góc, nhưng chưa thoả mãn là hình bình hành (các cặp cạnh đối không bằng nhau, đây là hình cánh diều). Do đó tứ giác này không là hình thoi.

Vậy Hình 3.51a) và Hình 3.51b) là hình thoi.

2. Hình vuông

Hoạt động 2 (trang 70)

Đề bài: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải:

Hình vuông có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật; đồng thời có bốn cạnh bằng nhau nên cũng là hình thoi.

• Là hình chữ nhật → hai đường chéo bằng nhau.
• Là hình thoi → hai đường chéo vuông góc với nhau.

Vậy hai đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau, vừa vuông góc với nhau.

Câu hỏi (trang 70)

Đề bài: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Nhắc lại Định lí 4a: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

(Có thể phát biểu tương tự với các cặp cạnh kề khác: $AB = BC$, $BC = CD$ hoặc $CD = DA$.)

Luyện tập 2 (trang 71)

Đề bài: Với mỗi hình trong Hình 3.54, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Lời giải:

Hình 3.54a): Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường → là hình chữ nhật. Lại có hai cạnh kề $AB = BC$ → là hình vuông.

Dấu hiệu sử dụng: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông (Định lí 4a).

Hình 3.54b): Tứ giác $EFGH$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường → là hình bình hành. Ta có $\widehat{EFG} = \widehat{EFP} + \widehat{GFP} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Tương tự các góc khác cũng vuông, do đó $EFGH$ là hình chữ nhật. Đường chéo $FH$ chia góc $\widehat{EFG}$ thành hai góc $45^\circ$ bằng nhau, tức $FH$ là phân giác của góc $\widehat{EFG}$ → $EFGH$ là hình vuông.

Dấu hiệu sử dụng: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông (Định lí 4c).

Hình 3.54c): Tứ giác $IJKL$ có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $Q$ của mỗi đường → là hình chữ nhật. Lại có $IK \perp JL$ → là hình vuông.

Dấu hiệu sử dụng: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông (Định lí 4b).

Vận dụng (trang 71)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu (Hình 3.46). Hãy giải thích tại sao:

• Trường hợp a, ta được hình thoi.
• Trường hợp b, ta được hình vuông.

Lời giải:

Trường hợp a: Khi gấp tờ giấy làm tư, ta tạo được điểm $O$ với 4 lớp giấy chồng lên nhau quanh $O$. Đoạn cắt $AB$ qua 4 lớp đó tạo ra bốn cạnh đều bằng đoạn $AB$ trên tứ giác. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Trường hợp b: Khi gấp làm tư và có thêm $OA = OB$, các đoạn $OA$ trên 4 lớp gập đối xứng nhau qua $O$ tạo thành một đường chéo dài $2 \cdot OA$; tương tự cho đường chéo còn lại dài $2 \cdot OB$. Vì $OA = OB$ nên hai đường chéo này bằng nhau; chúng cũng vuông góc với nhau (do $O$ là điểm gấp góc vuông) và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → là hình vuông (vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Bài tập (trang 71 – 72)

Bài 3.29 (trang 71)

Đề bài: Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Lời giải:

Hình 3.55a): Tứ giác $ABCD$ có $AB = CD$ và $AD = BC$ → là hình bình hành (hai cặp cạnh đối bằng nhau). Vì không có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hay hai đường chéo vuông góc, nên không phải hình thoi (cũng không phải hình vuông).

Hình 3.55b): Tứ giác $EFGH$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường → là hình bình hành. Lại có hai đường chéo vuông góc với nhau → là hình thoi.

Hình 3.55c): Trong tam giác $MNP$, $\widehat{NMP} = \widehat{NPM} = 45^\circ$, suy ra $\widehat{MNP} = 180^\circ – 45^\circ – 45^\circ = 90^\circ$. Tương tự ở vertice $M$: $\widehat{NMQ} = \widehat{NMP} + \widehat{PMQ} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$, và tương tự cho các đỉnh khác. Vậy $MNPQ$ có (ít nhất) ba góc vuông → là hình chữ nhật. Hơn nữa, $MP \perp NQ$ (hai đường chéo vuông góc) → $MNPQ$ là hình vuông.

Hình 3.55d): Tứ giác $SRTU$ có hai cặp cạnh kề bằng nhau (cánh diều) nhưng các cạnh không bằng nhau → không là hình thoi (cũng không là hình vuông).

Tổng kết: Hình thoi: Hình 3.55b). Hình vuông: Hình 3.55c).

Bài 3.30 (trang 72)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, $D$ là một điểm nằm giữa $B$ và $C$. Qua $D$ kẻ các đường thẳng song song với $AB$, $AC$, chúng cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$.

a) Tứ giác $AEDF$ là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì điểm $D$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ để tứ giác $AEDF$ là hình thoi?

c) Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì tứ giác $AEDF$ là hình gì?

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì điểm $D$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ để $AEDF$ là hình vuông?

Lời giải:

a) Theo cách dựng:

• $DE \parallel AB$, mà $F$ thuộc $AB$, nên $DE \parallel AF$.
• $DF \parallel AC$, mà $E$ thuộc $AC$, nên $DF \parallel AE$.

Tứ giác $AEDF$ có hai cặp cạnh đối song song ($AE \parallel DF$ và $AF \parallel DE$) nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành $AEDF$ là hình thoi khi nó có một đường chéo là phân giác của một góc, ở đây là đường chéo $AD$ làm phân giác của góc $A$.

Trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân cũng đồng thời là đường trung tuyến, do đó $AD$ là phân giác của góc $A$ khi và chỉ khi $D$ là trung điểm của $BC$.

Vậy nếu $D$ là trung điểm của $BC$ thì $AEDF$ là hình thoi.

c) Hình bình hành $AEDF$ có $\widehat{A} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$). Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, nên $AEDF$ là hình chữ nhật.

d) $AEDF$ là hình vuông khi vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi:

• Là hình chữ nhật: cần tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (theo câu c).
• Là hình thoi: cần $D$ là trung điểm của $BC$ trong trường hợp $ABC$ cân tại $A$ (theo câu b).

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ đã thoả mãn cả hai (vuông tại $A$ và cân tại $A$), nên $AEDF$ là hình vuông khi và chỉ khi $D$ là trung điểm của $BC$.

Bài 3.31 (trang 72)

Đề bài: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:

Gọi $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ của hình chữ nhật $ABCD$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB = CD$, $BC = DA$ và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$. Từ đó:

• $AE = EB = CG = GD = \dfrac{AB}{2}$.
• $BF = FC = DH = HA = \dfrac{BC}{2}$.

Xét bốn tam giác vuông $AEH$, $BFE$, $CGF$, $DHG$:

• $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật).
• Hai cạnh góc vuông tương ứng đều bằng nhau ($AE = BE = CG = DG$ và $AH = BF = CF = DH$).

Theo trường hợp hai cạnh góc vuông của tam giác vuông, bốn tam giác này bằng nhau. Do đó:

$$EH = FE = GF = HG \quad (\text{các cạnh huyền tương ứng}).$$

Tứ giác $EFGH$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 3.32 (trang 72)

Đề bài: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ của hình thoi $ABCD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA$. Suy ra:

$$AE = AH = BE = BF = CF = CG = DG = DH = \dfrac{AB}{2}.$$

Bước 1: Tính góc $\widehat{EHG}$.

Tam giác $AEH$ có $AE = AH$ nên cân tại $A$, do đó:

$$\widehat{AHE} = \widehat{AEH} = \dfrac{180^\circ – \widehat{A}}{2}.$$

Tương tự, tam giác $DGH$ cân tại $D$ ($DG = DH$) nên:

$$\widehat{DHG} = \dfrac{180^\circ – \widehat{D}}{2}.$$

Vì $ABCD$ là hình thoi (hình bình hành) có $AB \parallel CD$, hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song bù nhau, nên $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$. Do đó:

$$\widehat{AHE} + \widehat{DHG} = \dfrac{180^\circ – \widehat{A}}{2} + \dfrac{180^\circ – \widehat{D}}{2} = \dfrac{360^\circ – (\widehat{A} + \widehat{D})}{2} = \dfrac{360^\circ – 180^\circ}{2} = 90^\circ.$$

Vì ba điểm $A$, $H$, $D$ thẳng hàng (cùng nằm trên cạnh $AD$), nên:

$$\widehat{AHE} + \widehat{EHG} + \widehat{GHD} = 180^\circ ;\Rightarrow; \widehat{EHG} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ.$$

Bước 2: Lập luận tương tự.

Chứng minh hoàn toàn tương tự với các góc còn lại, ta được:

$$\widehat{HEF} = \widehat{EFG} = \widehat{FGH} = 90^\circ.$$

Vậy tứ giác $EFGH$ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 3.33 (trang 72)

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có chu vi bằng $36$ cm. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Biết rằng $MA \perp MD$. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật $ABCD$ (Hình 3.56).

Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

Bước 1: Chứng minh $ABMI$ là hình chữ nhật, từ đó $AB = MI$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $I$ là trung điểm của $AD$, nên:

$$BM = \dfrac{BC}{2}; \quad AI = \dfrac{AD}{2}.$$

Trong hình chữ nhật $ABCD$, $BC = AD$, do đó $BM = AI$. Hơn nữa, $BM$ và $AI$ nằm trên hai cạnh song song $BC$ và $AD$, nên $BM \parallel AI$.

Tứ giác $ABMI$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($BM \parallel AI$, $BM = AI$), nên là hình bình hành. Lại có $\widehat{A} = \widehat{DAB} = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật), nên $ABMI$ là hình chữ nhật. Do đó:

$$AB = MI. \quad (1)$$

Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Vì $MA \perp MD$ nên tam giác $MAD$ vuông tại $M$, có $AD$ là cạnh huyền. $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AD$, nên $MI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $MAD$. Theo tính chất đã học:

$$MI = \dfrac{AD}{2}. \quad (2)$$

Bước 3: Tính các cạnh.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AB = \dfrac{AD}{2}$, hay $AD = 2 \cdot AB$.

Chu vi hình chữ nhật:

$$2(AB + AD) = 36 ;\Rightarrow; AB + AD = 18.$$

Thay $AD = 2 \cdot AB$ vào:

$$AB + 2 \cdot AB = 18 ;\Rightarrow; 3 \cdot AB = 18 ;\Rightarrow; AB = 6 \text{ (cm)}.$$

Do đó $AD = 2 \cdot 6 = 12$ (cm).

Vậy các cạnh của hình chữ nhật $ABCD$ là $AB = CD = 6$ cm và $AD = BC = 12$ cm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du