A. Trắc nghiệm

Bài 3.39 (trang 74)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

• A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.
• B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì góc còn lại là góc tù.
• C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn.
• D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Lời giải:

Tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360^\circ$. Ta xét từng khẳng định:

• A. Sai. Hình chữ nhật có bốn góc vuông, không có góc tù.
• B. Đúng. Nếu ba góc đều nhọn (mỗi góc $< 90^\circ$), tổng ba góc $< 270^\circ$, nên góc còn lại $> 90^\circ$, tức là góc tù.
• C. Sai. Ví dụ tứ giác có các góc $100^\circ$, $100^\circ$, $90^\circ$, $70^\circ$: có hai góc tù nhưng góc còn lại gồm một góc vuông và một góc nhọn, không phải cả hai đều nhọn.
• D. Sai. Tứ giác có các góc $100^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$, $60^\circ$ có ba góc tù.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 3.40 (trang 74)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

Lời giải:

• a) Sai. Hai đường chéo bằng nhau không đảm bảo là hình bình hành. Ví dụ: hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không là hình bình hành.
• b) Sai. “Hai cặp cạnh bằng nhau” có thể là hai cặp cạnh kề (như hình cánh diều) chứ không phải hai cặp cạnh đối. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành đòi hỏi hai cặp cạnh đối bằng nhau.
• c) Đúng. Theo Chú ý đã học: tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng vuông, nên là hình chữ nhật.
• d) Sai. Hình thoi đòi hỏi bốn cạnh bằng nhau, không phải chỉ ba.

Bài 3.41 (trang 74)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

• a) Đúng. “Hai cạnh đối nào cũng bằng nhau” tức cả hai cặp cạnh đối bằng nhau → là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
• b) Đúng. Cả hai cặp cạnh đối bằng nhau → là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).
• c) Đúng. Tứ giác có hai cạnh song song là hình thang; hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
• d) Sai. Tứ giác có hai cạnh song song chỉ là hình thang; hai cạnh còn lại (cạnh bên) bằng nhau cho ta hình thang cân, không phải hình bình hành (trừ trường hợp đặc biệt là hình chữ nhật).

B. Tự luận

Bài 3.42 (trang 74)

Đề bài: Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân (Hình 3.59).

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\widehat{A} = \widehat{B}$ và $\widehat{C} = \widehat{D}$.

Xét hai tam giác $ABD$ và $BAC$:

• $AB$ là cạnh chung.
• $AD = BC$ (giả thiết).
• $BD = AC$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ABD = \triangle BAC$ (c.c.c), suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$, hay $\widehat{A} = \widehat{B}$ (góc của tứ giác tại $A$ và $B$).

Tương tự, xét hai tam giác $ACD$ và $BDC$:

• $CD$ là cạnh chung.
• $AD = BC$ (giả thiết).
• $AC = BD$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ACD = \triangle BDC$ (c.c.c), suy ra $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$, hay $\widehat{D} = \widehat{C}$.

Bước 2: Chứng minh $AB \parallel CD$.

Tổng bốn góc trong tứ giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$.

Vì $\widehat{A} = \widehat{B}$ và $\widehat{C} = \widehat{D}$, ta có:

$$2\widehat{A} + 2\widehat{D} = 360^\circ ;\Rightarrow; \widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ.$$

Hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ với cát tuyến $AD$. Vì tổng bằng $180^\circ$, ta có $AB \parallel CD$.

Bước 3: Kết luận.

Tứ giác $ABCD$ có $AB \parallel CD$ nên là hình thang (với hai đáy $AB$ và $CD$). Hình thang này có hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau ($\widehat{A} = \widehat{B}$), nên là hình thang cân (đpcm).

Bài 3.43 (trang 74)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy điểm $P$ trên tia $AB$ sao cho $AP = 2AB$.

a) Tứ giác $BPCD$ có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, hãy tính số đo các góc của tứ giác $BPCD$.

Lời giải:

a) Chứng minh $BPCD$ là hình bình hành.

Vì $P$ nằm trên tia $AB$ và $AP = 2AB$, nên $B$ là trung điểm của đoạn $AP$. Do đó:

$$BP = AB.$$

Mặt khác, $ABCD$ là hình bình hành nên $DC = AB$ và $DC \parallel AB$. Suy ra:

• $BP = AB = DC$, nên $BP = DC$.
• $BP$ nằm trên đường thẳng $AB$, mà $DC \parallel AB$, nên $BP \parallel DC$.

Tứ giác $BPCD$ có một cặp cạnh đối $BP$ và $DC$ vừa song song vừa bằng nhau, nên $BPCD$ là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

b) Tính số đo các góc của $BPCD$ khi $\triangle ABD$ vuông cân tại $A$.

Vì $\triangle ABD$ vuông cân tại $A$, ta có $\widehat{BAD} = 90^\circ$ và $AB = AD$.

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{BAD} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật. Lại có hai cạnh kề $AB = AD$ nên $ABCD$ là hình vuông. Do đó $AB = BC = CD = DA$, các góc đều $90^\circ$, và đường chéo $BD$ là phân giác của các góc tại $B$ và $D$:

$$\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = 45^\circ; \quad \widehat{ADB} = \widehat{BDC} = 45^\circ.$$

Tính các góc của $BPCD$:

Góc tại $B$: Vì $B$ nằm giữa $A$ và $P$, hai tia $BA$ và $BP$ là hai tia đối nhau, nên:

$$\widehat{DBP} = 180^\circ – \widehat{DBA} = 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ.$$

Góc tại $P$: Xét tam giác $BPC$. Ta có $BP = AB = BC$ (đều là cạnh hình vuông), và $\widehat{PBC} = 180^\circ – \widehat{ABC} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$ (kề bù với góc $\widehat{ABC}$ của hình vuông). Vậy $\triangle BPC$ vuông cân tại $B$, nên:

$$\widehat{BPC} = \widehat{BCP} = \dfrac{180^\circ – 90^\circ}{2} = 45^\circ.$$

Góc tại $C$: Vì $\widehat{BCP} = 45^\circ$ và $\widehat{BCD} = 90^\circ$ (góc hình vuông), với $P$ ở phía bên kia của $BC$ so với $D$ tại đỉnh $C$, ta có:

$$\widehat{PCD} = \widehat{PCB} + \widehat{BCD} = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ.$$

Góc tại $D$: Đường chéo $BD$ của hình vuông là phân giác của $\widehat{ADC}$, nên:

$$\widehat{BDC} = 45^\circ.$$

(Kiểm tra: tổng bốn góc $= 135^\circ + 45^\circ + 135^\circ + 45^\circ = 360^\circ$ ✓.)

Vậy các góc của tứ giác $BPCD$ lần lượt là:

$$\widehat{B} = 135^\circ; \quad \widehat{P} = 45^\circ; \quad \widehat{C} = 135^\circ; \quad \widehat{D} = 45^\circ.$$

Bài 3.44 (trang 75)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ còn $P$, $N$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $CA$, $AB$ (Hình 3.60).

a) Chứng minh hai tam giác vuông $CMP$ và $MBN$ bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác $APMN$ là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra $N$ là trung điểm của $AB$, $P$ là trung điểm của $AC$.

c) Lấy điểm $Q$ sao cho $P$ là trung điểm của $MQ$, chứng minh rằng tứ giác $AMCQ$ là một hình thoi.

d) Nếu $AB = AC$, tức là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì tứ giác $AMCQ$ có là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

Để cho gọn, ta đặt $\widehat{B} = \widehat{ABC}$ và $\widehat{C} = \widehat{ACB}$ (hai góc nhọn của $\triangle ABC$ vuông tại $A$).

a) Chứng minh $\triangle CMP = \triangle MBN$.

Vì $MN \perp AB$ và $CA \perp AB$ (do $\widehat{A} = 90^\circ$), hai đường thẳng $MN$ và $CA$ cùng vuông góc với $AB$ nên $MN \parallel CA$.

Áp dụng tính chất góc đồng vị cho hai đường thẳng song song $MN \parallel CA$ với cát tuyến là đường thẳng $BC$, ta có:

$$\widehat{NMB} = \widehat{ACB} = \widehat{C}.$$

Xét hai tam giác vuông $CMP$ (vuông tại $P$) và $MBN$ (vuông tại $N$):

• Cạnh huyền $CM = MB$ ($M$ là trung điểm của $BC$).
• $\widehat{MCP} = \widehat{C} = \widehat{NMB}$ (chứng minh trên — chú ý $P$ trên $CA$ nên $\widehat{MCP} = \widehat{ACB}$).

Vậy $\triangle CMP = \triangle MBN$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Chứng minh $APMN$ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra $N$, $P$ là trung điểm.

Tứ giác $APMN$ có:

• $\widehat{PAN} = \widehat{CAB} = 90^\circ$ ($\triangle ABC$ vuông tại $A$).
• $\widehat{APM} = 90^\circ$ ($MP \perp CA$, và $P$ trên $CA$).
• $\widehat{ANM} = 90^\circ$ ($MN \perp AB$, và $N$ trên $AB$).

Tứ giác có ba góc vuông nên $APMN$ là hình chữ nhật. Do đó hai cặp cạnh đối bằng nhau:

$$AP = MN; \quad AN = MP. \quad (1)$$

Từ câu a, $\triangle CMP = \triangle MBN$ cho ta hai cặp cạnh tương ứng:

$$CP = MN; \quad MP = BN. \quad (2)$$

Kết hợp $(1)$ và $(2)$:

• $AP = MN = CP$, suy ra $AP = CP$, nên $P$ là trung điểm của $AC$.
• $AN = MP = BN$, suy ra $AN = BN$, nên $N$ là trung điểm của $AB$.

c) Chứng minh $AMCQ$ là hình thoi.

Vì $P$ là trung điểm của $AC$ (chứng minh ở câu b) và $P$ là trung điểm của $MQ$ (đề bài), nên hai đường chéo $AC$ và $MQ$ của tứ giác $AMCQ$ cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường. Suy ra $AMCQ$ là hình bình hành.

Mặt khác, $MP \perp CA$ (cách dựng), mà $MQ$ đi qua $M$ và $P$, nên $MQ$ cũng vuông góc với $AC$. Vậy hai đường chéo của hình bình hành $AMCQ$ vuông góc với nhau, nên $AMCQ$ là hình thoi.

d) Trường hợp $AB = AC$.

Hình thoi $AMCQ$ là hình vuông khi và chỉ khi nó có thêm hai đường chéo bằng nhau ($AC = MQ$).

Ta có:

• $MQ = 2 \cdot MP$ ($P$ là trung điểm $MQ$).
• $MP = BN$ (từ câu a).
• $BN = \dfrac{AB}{2}$ ($N$ là trung điểm $AB$ từ câu b).

Do đó $MQ = 2 \cdot \dfrac{AB}{2} = AB$.

Khi $AB = AC$, ta có $MQ = AB = AC$, tức hai đường chéo $AC$ và $MQ$ bằng nhau. Vậy $AMCQ$ là hình vuông.

Bài 3.45 (trang 75)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$; $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $BC$, $B$ ở giữa $M$ và $C$. Gọi $E$, $K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ và từ $B$ xuống $AC$, còn $N$, $D$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $ME$ và từ $M$ xuống $AB$ (Hình 3.61).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $BKEN$ là hình chữ nhật;

b) $BK$ bằng hiệu khoảng cách từ $M$ đến $AC$ và đến $AB$ (dù $M$ thay đổi trên đường thẳng $BC$ miễn là $B$ nằm giữa $M$ và $C$) tức là $BK = ME – MD$.

(Theo Hình 3.61 trong SGK.)

Lời giải:

Đặt $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \alpha$ (hai góc đáy của tam giác cân tại $A$).

a) Chứng minh $BKEN$ là hình chữ nhật.

Theo cách dựng:

• $BK \perp AC$ tại $K$, $ME \perp AC$ tại $E$. Hai đường thẳng cùng vuông góc với $AC$ nên $BK \parallel ME$. Vì $N$ thuộc đoạn $ME$, ta có $BK \parallel NE$.
• $BN \perp ME$ tại $N$. Mà $ME \perp AC$, nên $BN \parallel AC$. Vì $K$, $E$ đều thuộc $AC$, ta có $BN \parallel KE$.

Tứ giác $BKEN$ có hai cặp cạnh đối song song ($BK \parallel NE$, $BN \parallel KE$), nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{BKE} = 90^\circ$ (vì $BK \perp AC$, mà $KE$ nằm trên $AC$), nên hình bình hành $BKEN$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $BK = ME – MD$.

Vì $BKEN$ là hình chữ nhật nên hai cạnh đối bằng nhau: $BK = NE$.

Vì $N$ nằm giữa $M$ và $E$ trên đoạn $ME$, ta có:

$$ME = MN + NE ;\Rightarrow; BK = NE = ME – MN. \quad (*)$$

Ta sẽ chứng minh $MN = MD$ thông qua hai tam giác $\triangle MBN$ và $\triangle MBD$.

Bước 1: Chứng minh $\widehat{MBD} = \alpha$.

$D$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$. Vì $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ (do $B$ giữa $M$ và $C$ trên đường thẳng $BC$, không trùng đường $AB$), nên chân đường vuông góc $D$ nằm trên đường thẳng $AB$ ở phía bên kia của $B$ so với $A$, tức $B$ nằm giữa $A$ và $D$. Do đó tại $B$:

• Tia $BD$ là tia đối của tia $BA$.
• Tia $BM$ là tia đối của tia $BC$ ($B$ nằm giữa $M$ và $C$).

Hai góc $\widehat{MBD}$ và $\widehat{CBA}$ là hai góc đối đỉnh, nên:

$$\widehat{MBD} = \widehat{CBA} = \widehat{ABC} = \alpha.$$

Bước 2: Chứng minh $\widehat{MBN} = \alpha$.

Tại đỉnh $B$, ta xét các tia $BC$, $BK$, $BN$, $BM$ theo thứ tự (từ phía $C$ sang phía $M$).

Trong tam giác vuông $BKC$ (vuông tại $K$, có $\widehat{BCK} = \widehat{ACB} = \alpha$):

$$\widehat{KBC} = 90^\circ – \alpha.$$

Trong hình chữ nhật $BKEN$: $\widehat{KBN} = 90^\circ$.

Vì $M$, $B$, $C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $M$ và $C$, tia $BM$ là tia đối của tia $BC$, nên $\widehat{CBM} = 180^\circ$. Mặt khác, các góc $\widehat{CBK}$, $\widehat{KBN}$, $\widehat{NBM}$ kề nhau và cùng nằm trong $\widehat{CBM}$, nên:

$$\widehat{CBK} + \widehat{KBN} + \widehat{NBM} = 180^\circ.$$

$$\Rightarrow (90^\circ – \alpha) + 90^\circ + \widehat{NBM} = 180^\circ ;\Rightarrow; \widehat{NBM} = \alpha.$$

Bước 3: Chứng minh $\triangle MBN = \triangle MBD$.

Xét hai tam giác vuông $MBN$ (vuông tại $N$) và $MBD$ (vuông tại $D$):

• Cạnh huyền $MB$ chung.
• $\widehat{MBN} = \widehat{MBD} = \alpha$ (hai bước trên).

Vậy $\triangle MBN = \triangle MBD$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra:

$$MN = MD.$$

Bước 4: Kết luận.

Thay $MN = MD$ vào $(*)$:

$$BK = ME – MN = ME – MD \quad \text{(đpcm)}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du