Bài tập (trang 87 – 88)

Bài 4.13 (trang 87)

Đề bài: Tìm độ dài $x$ trong Hình 4.30.

Lời giải:

Trên Hình 4.30, $\widehat{DEM} = \widehat{EMN}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong (đối với hai đường thẳng $DE$, $MN$ và cát tuyến $EM$), nên $MN \parallel DE$.

Xét $\triangle DEF$ có $MN \parallel DE$ ($M$ trên $DF$, $N$ trên $EF$). Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{FM}{MD} = \dfrac{FN}{NE} \quad \text{hay} \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{x}{6}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$3x = 2 \cdot 6 = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Vậy $x = 4$ (đvđd).

Bài 4.14 (trang 87)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$, gọi $E$, $F$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$, $AC$.

a) Chứng minh $EK \parallel CD$, $FK \parallel AB$.

b) So sánh $EF$ và $\dfrac{1}{2}(AB + CD)$.

Lời giải:

a) Chứng minh $EK \parallel CD$ và $FK \parallel AB$.

Xét $\triangle ACD$: $E$ là trung điểm $AD$, $K$ là trung điểm $AC$, nên $EK$ là đường trung bình của $\triangle ACD$. Theo tính chất đường trung bình:

$$EK \parallel CD \quad \text{và} \quad EK = \dfrac{1}{2}CD.$$

Xét $\triangle ABC$: $F$ là trung điểm $BC$, $K$ là trung điểm $AC$, nên $FK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$FK \parallel AB \quad \text{và} \quad FK = \dfrac{1}{2}AB.$$

b) So sánh $EF$ và $\dfrac{1}{2}(AB + CD)$.

Theo câu a: $EK = \dfrac{1}{2}CD$ và $FK = \dfrac{1}{2}AB$. Do đó:

$$EK + FK = \dfrac{1}{2}CD + \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}(AB + CD).$$

Xét ba điểm $E$, $K$, $F$:

• Trường hợp 1: $E$, $K$, $F$ không thẳng hàng. Khi đó ba điểm tạo thành tam giác $EKF$. Áp dụng bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba):

$$EF < EK + KF = \dfrac{1}{2}(AB + CD).$$

• Trường hợp 2: $E$, $K$, $F$ thẳng hàng và $K$ nằm giữa $E$, $F$. Khi đó:

$$EF = EK + KF = \dfrac{1}{2}(AB + CD).$$

(Trường hợp này xảy ra khi $AB \parallel CD$, tức $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$.)

Kết luận:

$$EF \le \dfrac{1}{2}(AB + CD).$$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$.

Bài 4.15 (trang 87)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ ($D \in BC$). Đường thẳng qua $D$ song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh rằng $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{EC}{EA}$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$.

$AD$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$, $D$ thuộc cạnh $BC$, nên:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \quad \text{hay} \quad \dfrac{DC}{DB} = \dfrac{AC}{AB}. \quad (1)$$

Bước 2: Áp dụng định lí Thales với $DE \parallel AB$.

Xét $\triangle ABC$ có $DE \parallel AB$ ($D$ trên $BC$, $E$ trên $AC$). Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{CE}{EA} \quad \text{hay} \quad \dfrac{DC}{DB} = \dfrac{EC}{EA}. \quad (2)$$

Bước 3: Kết hợp (1) và (2):

$$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{DC}{DB} = \dfrac{EC}{EA}.$$

Vậy $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{EC}{EA}$ (điều phải chứng minh).

Bài 4.16 (trang 87)

Đề bài: Tam giác $ABC$ có $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm, $BC = 25$ cm. Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt cạnh $BC$ tại $D$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác $ABD$ và $ACD$.

Lời giải:

a) Tính $DB$ và $DC$.

Vì $AD$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ trong $\triangle ABC$, áp dụng tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.$$

Đặt $DB = 3k$ và $DC = 4k$ (với $k > 0$). Vì $D$ thuộc đoạn $BC$ nên:

$$DB + DC = BC \quad \Rightarrow \quad 3k + 4k = 25 \quad \Rightarrow \quad 7k = 25 \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{25}{7}.$$

Suy ra:

$$DB = 3k = \dfrac{75}{7} \approx 10{,}71 \text{ (cm)}; \qquad DC = 4k = \dfrac{100}{7} \approx 14{,}29 \text{ (cm)}.$$

b) Tỉ số diện tích của $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$.

Hai tam giác $ABD$ và $ACD$ có chung đường cao kẻ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC$ (gọi là $h_A$). Do đó:

$$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot DB \cdot h_A}{\dfrac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A} = \dfrac{DB}{DC} = \dfrac{3}{4}.$$

Vậy $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{3}{4}$.

Bài 4.17 (trang 88)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$, một đường thẳng đi qua $D$ cắt $AC$, $AB$, $CB$ theo thứ tự tại $M$, $N$, $K$. Chứng minh rằng $DM^2 = MN \cdot MK$.

Lời giải:

Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Bước 1: Áp dụng định lí Thales với $AB \parallel CD$.

Xét tam giác $CDM$ (có ba đỉnh $C$, $D$, $M$). Đường thẳng $AB$ song song với cạnh $CD$ của tam giác này và cắt đường thẳng chứa cạnh $CM$ tại điểm $A$, cắt đường thẳng chứa cạnh $DM$ tại điểm $N$. Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MN}{MD}. \quad (1)$$

Bước 2: Áp dụng định lí Thales với $AD \parallel BC$.

Xét tam giác $ADM$ (có ba đỉnh $A$, $D$, $M$). Đường thẳng $BC$ song song với cạnh $AD$ của tam giác này và cắt đường thẳng chứa cạnh $AM$ tại điểm $C$, cắt đường thẳng chứa cạnh $DM$ tại điểm $K$. Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{MC}{MA} = \dfrac{MK}{MD} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MK}. \quad (2)$$

Bước 3: Kết hợp (1) và (2).

Từ (1) và (2), ta có $\dfrac{MN}{MD}$ và $\dfrac{MD}{MK}$ cùng bằng $\dfrac{MA}{MC}$, nên:

$$\dfrac{MN}{MD} = \dfrac{MD}{MK}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$MD \cdot MD = MN \cdot MK \quad \Rightarrow \quad MD^2 = MN \cdot MK.$$

Vậy $DM^2 = MN \cdot MK$ (điều phải chứng minh).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du