A. Trắc nghiệm (trang 89)

Bài 4.18 (trang 89)

Đề bài: Độ dài $x$ trong Hình 4.31 bằng

A. $2{,}75$    B. $2$    C. $2{,}25$    D. $3{,}75$

Lời giải:

Vì hai góc tại $M$ và $B$ là hai góc đồng vị bằng nhau, suy ra $MN \parallel BC$.

Xét $\triangle ABC$ có $MN \parallel BC$, áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC} \quad \text{hay} \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{1{,}5}{x}.$$

Suy ra $x = \dfrac{1{,}5 \cdot 3}{2} = \dfrac{4{,}5}{2} = 2{,}25$.

Đáp án đúng: C. $2{,}25$.

Bài 4.19 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC$. Biết $HK = 3{,}5$ cm. Độ dài $AB$ bằng

A. $3{,}5$ cm    B. $7$ cm    C. $10$ cm    D. $15$ cm

Lời giải:

Vì $H$ là trung điểm $AC$ và $K$ là trung điểm $BC$ nên $HK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$HK = \dfrac{1}{2}AB \quad \Rightarrow \quad AB = 2 \cdot HK = 2 \cdot 3{,}5 = 7 \text{ (cm)}.$$

Đáp án đúng: B. $7$ cm.

Bài 4.20 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có chu vi là $32$ cm. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$, $BC$. Chu vi của tam giác $MNP$ là

A. $8$ cm    B. $64$ cm    C. $30$ cm    D. $16$ cm

Lời giải:

Trong $\triangle ABC$, ba đoạn $MN$, $NP$, $PM$ đều là đường trung bình:

• $MN$ là đường trung bình (nối trung điểm $AB$ và $AC$) → $MN = \dfrac{1}{2}BC$.
• $NP$ là đường trung bình (nối trung điểm $AC$ và $BC$) → $NP = \dfrac{1}{2}AB$.
• $PM$ là đường trung bình (nối trung điểm $BC$ và $AB$) → $PM = \dfrac{1}{2}AC$.

Chu vi $\triangle MNP$:

$$MN + NP + PM = \dfrac{1}{2}BC + \dfrac{1}{2}AB + \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}(AB + BC + AC) = \dfrac{1}{2} \cdot 32 = 16 \text{ (cm)}.$$

Đáp án đúng: D. $16$ cm.

Bài 4.21 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9$ cm, $D$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6$ cm. Kẻ $DE$ song song với $BC$ ($E$ thuộc $AC$), kẻ $EF$ song song với $CD$ ($F$ thuộc $AB$). Độ dài $AF$ bằng

A. $4$ cm    B. $5$ cm    C. $6$ cm    D. $7$ cm

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng Thales với $DE \parallel BC$ trong $\triangle ABC$:

$$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{6}{9 – 6} = \dfrac{6}{3} = 2.$$

Bước 2: Áp dụng Thales với $EF \parallel CD$ trong $\triangle ACD$ ($E$ trên $AC$, $F$ trên $AD$):

$$\dfrac{AF}{FD} = \dfrac{AE}{EC} = 2.$$

Suy ra $AF = 2 \cdot FD$, mà $AF + FD = AD = 6$ nên:

$$3 \cdot FD = 6 \quad \Rightarrow \quad FD = 2 \quad \Rightarrow \quad AF = 4 \text{ (cm)}.$$

Đáp án đúng: A. $4$ cm.

Bài 4.22 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 15$ cm, $BC = 10$ cm, đường phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Khi đó, đoạn thẳng $AD$ có độ dài là

A. $3$ cm    B. $6$ cm    C. $9$ cm    D. $12$ cm

Lời giải:

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15$ cm.

$BD$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ trong $\triangle ABC$ ($D$ thuộc $AC$), áp dụng tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{DA}{DC} = \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}.$$

Đặt $DA = 3k$, $DC = 2k$. Vì $DA + DC = AC = 15$ nên:

$$5k = 15 \quad \Rightarrow \quad k = 3 \quad \Rightarrow \quad DA = 3 \cdot 3 = 9 \text{ (cm)}.$$

Đáp án đúng: C. $9$ cm.

B. Tự luận (trang 89)

Bài 4.23 (trang 89)

Đề bài: Cho góc $xOy$. Trên tia $Ox$, lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho $OA = 2$ cm, $OB = 5$ cm. Trên tia $Oy$, lấy điểm $C$ sao cho $OC = 3$ cm. Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $Oy$ tại $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $CD$.

Lời giải:

Xét $\triangle OBD$ có $A$ thuộc cạnh $OB$, $C$ thuộc cạnh $OD$ và $AC \parallel BD$. Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} \quad \text{hay} \quad \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{OD}.$$

Suy ra:

$$OD = \dfrac{5 \cdot 3}{2} = 7{,}5 \text{ (cm)}.$$

Vì $C$ nằm giữa $O$ và $D$ nên:

$$CD = OD – OC = 7{,}5 – 3 = 4{,}5 \text{ (cm)}.$$

Vậy $CD = 4{,}5$ cm.

Bài 4.24 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $AC$.

a) Chứng minh rằng $AE = DF$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh rằng ba điểm $B$, $I$, $F$ thẳng hàng.

Lời giải:

a) Chứng minh $AE = DF$.

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông:

$$AE = \dfrac{1}{2}BC.$$

Mặt khác, $D$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $AC$ nên $DF$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$DF = \dfrac{1}{2}BC.$$

Vậy $AE = DF$ ($= \dfrac{1}{2}BC$).

b) Chứng minh $B$, $I$, $F$ thẳng hàng.

Xét tứ giác $BDFE$:

• Vì $D$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$ nên $DF$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, suy ra $DF \parallel BC$ và $DF = \dfrac{1}{2}BC$.
• Vì $E$ là trung điểm $BC$ nên $BE = \dfrac{1}{2}BC$, đồng thời $BE$ nằm trên $BC$.

Do đó $DF \parallel BE$ và $DF = BE = \dfrac{1}{2}BC$. Tứ giác $BDFE$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $BDFE$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành $BDFE$, hai đường chéo $BF$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà $I$ là trung điểm của $DE$, nên $I$ cũng là trung điểm của $BF$.

Do đó $I$ nằm trên $BF$, suy ra ba điểm $B$, $I$, $F$ thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Bài 4.25 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Gọi $I$, $K$ lần lượt là trung điểm của $GB$, $GC$. Chứng minh tứ giác $EDKI$ là hình bình hành.

Lời giải:

Bước 1: Xét trong $\triangle ABC$ có $E$ là trung điểm $AB$, $D$ là trung điểm $AC$, nên $ED$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$ED \parallel BC \quad \text{và} \quad ED = \dfrac{1}{2}BC. \quad (1)$$

Bước 2: Xét trong $\triangle GBC$ có $I$ là trung điểm $GB$, $K$ là trung điểm $GC$, nên $IK$ là đường trung bình của $\triangle GBC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$IK \parallel BC \quad \text{và} \quad IK = \dfrac{1}{2}BC. \quad (2)$$

Bước 3: Từ (1) và (2), ta có:

• $ED \parallel BC$ và $IK \parallel BC$, suy ra $ED \parallel IK$.
• $ED = IK = \dfrac{1}{2}BC$.

Tứ giác $EDKI$ có cặp cạnh đối $ED$ và $KI$ song song và bằng nhau, nên $EDKI$ là hình bình hành (điều phải chứng minh).

Bài 4.26 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, điểm $I$ thuộc cạnh $AB$, điểm $K$ thuộc cạnh $AC$. Kẻ $IM$ song song với $BK$ ($M$ thuộc $AC$), kẻ $KN$ song song với $CI$ ($N$ thuộc $AB$). Chứng minh $MN$ song song với $BC$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định lí Thales trong $\triangle ABK$ với $IM \parallel BK$.

Trong $\triangle ABK$ có $I$ thuộc cạnh $AB$, $M$ thuộc cạnh $AK$ (vì $M$ trên $AC$ và $K$ trên $AC$ nên $AK$ là một phần của $AC$). Vì $IM \parallel BK$, áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AM}{AK}. \quad (1)$$

Bước 2: Áp dụng định lí Thales trong $\triangle ACI$ với $KN \parallel CI$.

Trong $\triangle ACI$ có $K$ thuộc cạnh $AC$, $N$ thuộc cạnh $AI$ (vì $N$ trên $AB$ và $I$ trên $AB$). Vì $KN \parallel CI$, áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AK}{AC} = \dfrac{AN}{AI}. \quad (2)$$

Bước 3: Từ (1) suy ra $AM = \dfrac{AI \cdot AK}{AB}$, chia hai vế cho $AC$:

$$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AI \cdot AK}{AB \cdot AC}. \quad (*)$$

Tương tự, từ (2) suy ra $AN = \dfrac{AK \cdot AI}{AC}$, chia hai vế cho $AB$:

$$\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AI \cdot AK}{AB \cdot AC}. \quad (**)$$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}.$$

Bước 4: Áp dụng định lí Thales đảo trong $\triangle ABC$ với $N$ trên $AB$, $M$ trên $AC$ và $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AM}{AC}$:

$$MN \parallel BC \quad \text{(điều phải chứng minh)}.$$

Bài 4.27 (trang 89)

Đề bài: Bác Mến muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí $P$, $Q$ ở hai bên bờ ao cá. Để làm điều đó, bác Mến chọn ba vị trí $A$, $B$, $C$, thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng như Hình 4.32, biết $AP = BP = 150$ m, $AQ = CQ = 250$ m, $BC = 400$ m. Em hãy giúp bác Mến tính khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$.

Lời giải:

Theo đề bài:

• Vì $AP = BP = 150$ m nên $P$ là trung điểm của $AB$.
• Vì $AQ = CQ = 250$ m nên $Q$ là trung điểm của $AC$.

Xét $\triangle ABC$ có $P$ là trung điểm $AB$, $Q$ là trung điểm $AC$, nên $PQ$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$PQ = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 400 = 200 \text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ là $200$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du