Cộng hai phân thức cùng mẫu

Hoạt động 1 (trang 15)

Đề bài: Cộng các tử thức của hai phân thức $\dfrac{2x + y}{x – y}$ và $\dfrac{-x + 3y}{x – y}$.

Lời giải:

$$(2x + y) + (-x + 3y) = 2x + y – x + 3y = x + 4y.$$

Hoạt động 2 (trang 15)

Đề bài: Viết phân thức có tử là tổng các tử thức (đã tính ở HĐ1) và mẫu là mẫu thức chung — đó là kết quả của phép cộng đã cho.

Lời giải:

$$\dfrac{2x + y}{x – y} + \dfrac{-x + 3y}{x – y} = \dfrac{x + 4y}{x – y}.$$

Luyện tập 1 (trang 16)

Đề bài: Tính các tổng sau:

a) $\dfrac{3x + 1}{xy} + \dfrac{2x – 1}{xy}$;

b) $\dfrac{3x}{x^2 + 1} + \dfrac{-3x + 1}{x^2 + 1}$.

Lời giải:

a) Cộng các tử thức, giữ nguyên mẫu thức:

$$\dfrac{3x + 1}{xy} + \dfrac{2x – 1}{xy} = \dfrac{(3x + 1) + (2x – 1)}{xy} = \dfrac{5x}{xy} = \dfrac{5}{y}.$$

b) Tương tự:

$$\dfrac{3x}{x^2 + 1} + \dfrac{-3x + 1}{x^2 + 1} = \dfrac{3x + (-3x + 1)}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{x^2 + 1}.$$

Cộng hai phân thức khác mẫu

Hoạt động 3 (trang 16)

Đề bài: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{-1}{y}$.

Lời giải:

MTC $= xy$. Nhân tử phụ của $x$ là $y$; nhân tử phụ của $y$ là $x$. Sau khi quy đồng:

$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{y}{xy}; \quad \dfrac{-1}{y} = \dfrac{-x}{xy}.$$

Hoạt động 4 (trang 16)

Đề bài: Cộng hai phân thức cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{-1}{y}$.

Lời giải:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{-1}{y} = \dfrac{y}{xy} + \dfrac{-x}{xy} = \dfrac{y – x}{xy}.$$

Luyện tập 2 (trang 16)

Đề bài: Tính tổng $\dfrac{5}{2x^2(6x + y)} + \dfrac{3}{5xy(6x + y)}$.

Lời giải:

MTC $= 10x^2y(6x + y)$.

• Nhân tử phụ của $2x^2(6x + y)$: $5y$.
• Nhân tử phụ của $5xy(6x + y)$: $2x$.

Quy đồng rồi cộng:

$$\dfrac{5}{2x^2(6x + y)} + \dfrac{3}{5xy(6x + y)} = \dfrac{25y}{10x^2y(6x + y)} + \dfrac{6x}{10x^2y(6x + y)} = \dfrac{6x + 25y}{10x^2y(6x + y)}.$$

Trừ hai phân thức

Hoạt động 5 (trang 16)

Đề bài: Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính $\dfrac{x – 1}{x + 1} – \dfrac{2x + 3}{x + 1}$.

Lời giải:

$$\dfrac{x – 1}{x + 1} – \dfrac{2x + 3}{x + 1} = \dfrac{(x – 1) – (2x + 3)}{x + 1} = \dfrac{x – 1 – 2x – 3}{x + 1} = \dfrac{-x – 4}{x + 1}.$$

Hoạt động 6 (trang 16)

Đề bài: Quy đồng mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{1}{x + 1}$ và $\dfrac{1}{x}$; trừ các tử thức của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính $\dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{1}{x}$.

Lời giải:

MTC $= x(x + 1)$. Quy đồng:

$$\dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{x}{x(x + 1)}; \quad \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 1}{x(x + 1)}.$$

Trừ:

$$\dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{x – (x + 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{-1}{x(x + 1)}.$$

Luyện tập 3 (trang 17)

Đề bài: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\dfrac{3 – 2x}{x – 1} – \dfrac{2 + 5x}{x – 1}$;

b) $\dfrac{1}{4x^2y} – \dfrac{1}{6xy^2}$.

Lời giải:

a) Cùng mẫu, trừ tử và giữ mẫu:

$$\dfrac{3 – 2x}{x – 1} – \dfrac{2 + 5x}{x – 1} = \dfrac{(3 – 2x) – (2 + 5x)}{x – 1} = \dfrac{3 – 2x – 2 – 5x}{x – 1} = \dfrac{1 – 7x}{x – 1}.$$

b) MTC $= 12x^2y^2$. Nhân tử phụ của $4x^2y$ là $3y$; của $6xy^2$ là $2x$.

$$\dfrac{1}{4x^2y} – \dfrac{1}{6xy^2} = \dfrac{3y}{12x^2y^2} – \dfrac{2x}{12x^2y^2} = \dfrac{3y – 2x}{12x^2y^2}.$$

Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Luyện tập 4 (trang 18)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{y}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các phân thức đối nhau:

$$P = \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x}\right) + \left(\dfrac{1}{y} – \dfrac{1}{y}\right) + \dfrac{1}{z} = 0 + 0 + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z}.$$

Luyện tập 5 (trang 18)

Đề bài: Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu — vì sao Vuông thấy ngay $P = 0$ với

$$P = \dfrac{x}{x + 1} – \left[\left(\dfrac{1}{x – 1} + \dfrac{x}{x + 1}\right) – \dfrac{1}{x – 1}\right]?$$

Lời giải:

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc tròn bên trong (trước ngoặc tròn là dấu “+”, giữ nguyên các phân thức):

$$P = \dfrac{x}{x + 1} – \left[\dfrac{1}{x – 1} + \dfrac{x}{x + 1} – \dfrac{1}{x – 1}\right].$$

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc vuông (trước ngoặc vuông là dấu “−”, đổi dấu tất cả các phân thức bên trong):

$$P = \dfrac{x}{x + 1} – \dfrac{1}{x – 1} – \dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{1}{x – 1}.$$

Bước 3: Dùng tính chất giao hoán, kết hợp — nhóm các phân thức đối nhau:

$$P = \left(\dfrac{x}{x + 1} – \dfrac{x}{x + 1}\right) + \left(-\dfrac{1}{x – 1} + \dfrac{1}{x – 1}\right) = 0 + 0 = 0.$$

Như vậy Vuông không cần quy đồng mẫu thức — chỉ cần bỏ ngoặc, thấy các phân thức triệt tiêu từng cặp nên kết luận ngay $P = 0$.

Vận dụng (trang 19)

Đề bài: Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng $20$ km, xe chạy trong thành phố với vận tốc $x$ (km/h) ($x > 0$). Trên $50$ km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm $55$ km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm $15$ phút thì về đến quê.

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc;

b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức thời gian $=$ quãng đường $\div$ vận tốc:

• Thời gian xe chạy trong thành phố: $\dfrac{20}{x}$ (giờ).
• Vận tốc trên đường cao tốc là $x + 55$ (km/h), nên thời gian chạy trên cao tốc: $\dfrac{50}{x + 55}$ (giờ).

b) $15$ phút $= \dfrac{1}{4}$ (giờ). Tổng thời gian:

$$T = \dfrac{20}{x} + \dfrac{50}{x + 55} + \dfrac{1}{4}.$$

Quy đồng với MTC $= 4x(x + 55)$:

• $\dfrac{20}{x} = \dfrac{80(x + 55)}{4x(x + 55)}$;
• $\dfrac{50}{x + 55} = \dfrac{200x}{4x(x + 55)}$;
• $\dfrac{1}{4} = \dfrac{x(x + 55)}{4x(x + 55)}$.

Cộng các tử thức:

$$80(x + 55) + 200x + x(x + 55) = 80x + 4400 + 200x + x^2 + 55x = x^2 + 335x + 4400.$$

Vậy:

$$T = \dfrac{x^2 + 335x + 4400}{4x(x + 55)} \text{ (giờ)}.$$

Bài tập (trang 19)

Bài 6.20 (trang 19)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{x^2 – 3x + 1}{2x^2} + \dfrac{5x – 1 – x^2}{2x^2}$;

b) $\dfrac{y}{x – y} + \dfrac{x}{x + y}$;

c) $\dfrac{x}{2x – 6} + \dfrac{9}{2x(3 – x)}$.

Lời giải:

a) Cùng mẫu:

$$\dfrac{(x^2 – 3x + 1) + (5x – 1 – x^2)}{2x^2} = \dfrac{2x}{2x^2} = \dfrac{1}{x}.$$

b) MTC $= (x – y)(x + y)$. Quy đồng:

$$\dfrac{y}{x – y} + \dfrac{x}{x + y} = \dfrac{y(x + y)}{(x – y)(x + y)} + \dfrac{x(x – y)}{(x – y)(x + y)} = \dfrac{xy + y^2 + x^2 – xy}{(x – y)(x + y)} = \dfrac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2}.$$

c) Phân tích: $2x – 6 = 2(x – 3)$ và $3 – x = -(x – 3)$. Đổi dấu phân thức thứ hai:

$$\dfrac{9}{2x(3 – x)} = \dfrac{-9}{2x(x – 3)}.$$

MTC $= 2x(x – 3)$. Quy đồng phân thức thứ nhất:

$$\dfrac{x}{2(x – 3)} = \dfrac{x^2}{2x(x – 3)}.$$

Cộng:

$$\dfrac{x^2}{2x(x – 3)} + \dfrac{-9}{2x(x – 3)} = \dfrac{x^2 – 9}{2x(x – 3)} = \dfrac{(x – 3)(x + 3)}{2x(x – 3)} = \dfrac{x + 3}{2x}.$$

Bài 6.21 (trang 19)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{5 – 3x}{x + 1} – \dfrac{-2 + 5x}{x + 1}$;

b) $\dfrac{x}{x – y} – \dfrac{y}{x + y}$;

c) $\dfrac{3}{x + 1} – \dfrac{2 + 3x}{x^3 + 1}$.

Lời giải:

a) Cùng mẫu, trừ tử:

$$\dfrac{(5 – 3x) – (-2 + 5x)}{x + 1} = \dfrac{5 – 3x + 2 – 5x}{x + 1} = \dfrac{7 – 8x}{x + 1}.$$

b) MTC $= (x – y)(x + y)$. Quy đồng:

$$\dfrac{x}{x – y} – \dfrac{y}{x + y} = \dfrac{x(x + y)}{(x – y)(x + y)} – \dfrac{y(x – y)}{(x – y)(x + y)} = \dfrac{x^2 + xy – xy + y^2}{(x – y)(x + y)} = \dfrac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2}.$$

c) Phân tích: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$. MTC $= (x + 1)(x^2 – x + 1) = x^3 + 1$.

Nhân tử phụ của $(x + 1)$ là $(x^2 – x + 1)$:

$$\dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{3(x^2 – x + 1)}{x^3 + 1} = \dfrac{3x^2 – 3x + 3}{x^3 + 1}.$$

Trừ:

$$\dfrac{3}{x + 1} – \dfrac{2 + 3x}{x^3 + 1} = \dfrac{(3x^2 – 3x + 3) – (2 + 3x)}{x^3 + 1} = \dfrac{3x^2 – 6x + 1}{x^3 + 1}.$$

Bài 6.22 (trang 19)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{3}{x + 2} – \dfrac{1}{x} – \dfrac{2}{x – 1} – \dfrac{3}{x + 2}$;

b) $\dfrac{2x – 1}{x} + \dfrac{1 – x}{2x + 1} + \dfrac{3}{x^2 – 9} + \dfrac{1 – 2x}{x} + \dfrac{x – 1}{2x + 1} – \dfrac{3}{x + 3}$.

Lời giải:

a) Dùng tính chất giao hoán, kết hợp, nhóm các phân thức đối nhau:

$$\left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x}\right) + \left(\dfrac{3}{x + 2} – \dfrac{3}{x + 2}\right) + \dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{2}{x – 1} = \dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{2}{x – 1}.$$

MTC $= (x + 1)(x – 1)$:

$$\dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{2}{x – 1} = \dfrac{2(x – 1) – 2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \dfrac{2x – 2 – 2x – 2}{x^2 – 1} = \dfrac{-4}{x^2 – 1}.$$

b) Nhóm các phân thức cùng mẫu:

• Mẫu $x$: $\dfrac{2x – 1}{x} + \dfrac{1 – 2x}{x} = \dfrac{(2x – 1) + (1 – 2x)}{x} = \dfrac{0}{x} = 0$.
• Mẫu $2x + 1$: $\dfrac{1 – x}{2x + 1} + \dfrac{x – 1}{2x + 1} = \dfrac{(1 – x) + (x – 1)}{2x + 1} = 0$.

Còn lại: $\dfrac{3}{x^2 – 9} – \dfrac{3}{x + 3}$. Với $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$, MTC $= (x – 3)(x + 3)$. Nhân tử phụ của $(x + 3)$ là $(x – 3)$:

$$\dfrac{3}{x^2 – 9} – \dfrac{3}{x + 3} = \dfrac{3}{(x – 3)(x + 3)} – \dfrac{3(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{3 – 3(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{12 – 3x}{x^2 – 9}.$$

Bài 6.23 (trang 19)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 – 4} + \dfrac{x}{2 – x} + \dfrac{4 – x}{5x – 10}$;

b) $\dfrac{x}{x^2 + 1} – \left(\dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{x – 2}{x + 4}\right) + \left[\dfrac{3}{x + 6} – \left(\dfrac{1}{x^2 + 1} – \dfrac{x – 2}{x + 4}\right)\right]$.

Lời giải:

a) Phân tích và rút gọn từng phân thức trước.

Phân thức thứ nhất: $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 – 4} = \dfrac{(x + 2)^2}{(x – 2)(x + 2)} = \dfrac{x + 2}{x – 2}$.

Phân thức thứ hai: $\dfrac{x}{2 – x} = \dfrac{-x}{x – 2}$ (đổi dấu).

Phân thức thứ ba: $\dfrac{4 – x}{5x – 10} = \dfrac{4 – x}{5(x – 2)}$.

Biểu thức trở thành: $\dfrac{x + 2}{x – 2} + \dfrac{-x}{x – 2} + \dfrac{4 – x}{5(x – 2)}$.

MTC $= 5(x – 2)$. Quy đồng:

$$= \dfrac{5(x + 2)}{5(x – 2)} + \dfrac{-5x}{5(x – 2)} + \dfrac{4 – x}{5(x – 2)} = \dfrac{5(x + 2) – 5x + (4 – x)}{5(x – 2)} = \dfrac{5x + 10 – 5x + 4 – x}{5(x – 2)} = \dfrac{14 – x}{5(x – 2)}.$$

b) Bỏ ngoặc cẩn thận. Trước ngoặc tròn đầu là dấu “−” (đổi dấu); ngoặc tròn trong là dấu “−” (đổi dấu); ngoặc vuông là dấu “+” (giữ nguyên):

$$P = \dfrac{x}{x^2 + 1} – \dfrac{3}{x + 6} – \dfrac{x – 2}{x + 4} + \dfrac{3}{x + 6} – \dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{x – 2}{x + 4}.$$

Nhóm các phân thức đối nhau:

$$P = \left(\dfrac{x}{x^2 + 1} – \dfrac{1}{x^2 + 1}\right) + \left(-\dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{3}{x + 6}\right) + \left(-\dfrac{x – 2}{x + 4} + \dfrac{x – 2}{x + 4}\right).$$

$$P = \dfrac{x – 1}{x^2 + 1} + 0 + 0 = \dfrac{x – 1}{x^2 + 1}.$$

Bài 6.24 (trang 19)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{x – y}{xy} + \dfrac{y – z}{yz} + \dfrac{z – x}{zx}$;

b) $\dfrac{x}{(x – y)^2} + \dfrac{y}{y^2 – x^2}$.

Lời giải:

a) MTC $= xyz$. Nhân tử phụ của $xy$ là $z$; của $yz$ là $x$; của $zx$ là $y$. Quy đồng:

$$\dfrac{x – y}{xy} = \dfrac{z(x – y)}{xyz} = \dfrac{xz – yz}{xyz};$$

$$\dfrac{y – z}{yz} = \dfrac{x(y – z)}{xyz} = \dfrac{xy – xz}{xyz};$$

$$\dfrac{z – x}{zx} = \dfrac{y(z – x)}{xyz} = \dfrac{yz – xy}{xyz}.$$

Cộng:

$$\dfrac{(xz – yz) + (xy – xz) + (yz – xy)}{xyz} = \dfrac{0}{xyz} = 0.$$

b) Phân tích: $y^2 – x^2 = (y – x)(y + x) = -(x – y)(x + y)$, vậy $\dfrac{y}{y^2 – x^2} = \dfrac{-y}{(x – y)(x + y)}$.

MTC $= (x – y)^2(x + y)$. Nhân tử phụ của $(x – y)^2$ là $(x + y)$; của $(x – y)(x + y)$ là $(x – y)$:

$$\dfrac{x}{(x – y)^2} + \dfrac{-y}{(x – y)(x + y)} = \dfrac{x(x + y)}{(x – y)^2(x + y)} + \dfrac{-y(x – y)}{(x – y)^2(x + y)}.$$

Cộng tử thức: $x(x + y) – y(x – y) = x^2 + xy – xy + y^2 = x^2 + y^2$.

Vậy:

$$\dfrac{x}{(x – y)^2} + \dfrac{y}{y^2 – x^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{(x – y)^2(x + y)}.$$

Bài 6.25 (trang 19)

Đề bài: Một tàu du lịch chạy xuôi dòng $15$ km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là $10$ km/h và vận tốc của dòng nước là $x$ (km/h).

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo $x$ thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy;

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là $2$ km/h.

Lời giải:

a) Khi đi xuôi dòng, vận tốc của tàu được cộng thêm vận tốc dòng nước; khi ngược dòng thì ngược lại:

• Vận tốc xuôi dòng: $10 + x$ (km/h). Thời gian xuôi dòng: $\dfrac{15}{10 + x}$ (giờ).
• Vận tốc ngược dòng: $10 – x$ (km/h). Thời gian ngược dòng: $\dfrac{15}{10 – x}$ (giờ).

Tổng thời gian, với MTC $= (10 + x)(10 – x) = 100 – x^2$:

$$T = \dfrac{15}{10 + x} + \dfrac{15}{10 – x} = \dfrac{15(10 – x) + 15(10 + x)}{(10 + x)(10 – x)} = \dfrac{150 – 15x + 150 + 15x}{100 – x^2} = \dfrac{300}{100 – x^2}.$$

b) Thay $x = 2$ vào $T$:

$$T = \dfrac{300}{100 – 2^2} = \dfrac{300}{96} = \dfrac{25}{8} \text{ (giờ)}.$$

Vậy tổng thời gian tàu chạy là $\dfrac{25}{8}$ giờ (hay $3{,}125$ giờ).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du