Bài tập (trang 24)

Bài 6.31 (trang 24)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx}$;

b) $\dfrac{x}{2x – y} + \dfrac{y}{2x + y} + \dfrac{3xy}{y^2 – 4x^2}$.

Lời giải:

a) MTC $= xyz$. Nhân tử phụ của $xy$ là $z$; của $yz$ là $x$; của $zx$ là $y$. Quy đồng:

$$\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx} = \dfrac{z}{xyz} + \dfrac{x}{xyz} + \dfrac{y}{xyz} = \dfrac{x + y + z}{xyz}.$$

b) Phân tích $y^2 – 4x^2 = -(4x^2 – y^2) = -(2x – y)(2x + y)$. Đổi dấu phân thức thứ ba:

$$\dfrac{3xy}{y^2 – 4x^2} = \dfrac{-3xy}{(2x – y)(2x + y)}.$$

MTC $= (2x – y)(2x + y) = 4x^2 – y^2$. Quy đồng:

$$\dfrac{x}{2x – y} = \dfrac{x(2x + y)}{(2x – y)(2x + y)} = \dfrac{2x^2 + xy}{4x^2 – y^2};$$

$$\dfrac{y}{2x + y} = \dfrac{y(2x – y)}{(2x – y)(2x + y)} = \dfrac{2xy – y^2}{4x^2 – y^2}.$$

Cộng các tử thức:

$$(2x^2 + xy) + (2xy – y^2) + (-3xy) = 2x^2 + (xy + 2xy – 3xy) – y^2 = 2x^2 – y^2.$$

Vậy:

$$\dfrac{x}{2x – y} + \dfrac{y}{2x + y} + \dfrac{3xy}{y^2 – 4x^2} = \dfrac{2x^2 – y^2}{4x^2 – y^2}.$$

Bài 6.32 (trang 24)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{4x – 6}{5x^2 – x} \cdot \dfrac{25x^2 – 10x + 1}{27 – 8x^3}$;

b) $\dfrac{2x + 10}{(x – 3)^2} : \dfrac{(x + 5)^3}{x^2 – 9}$.

Lời giải:

a) Phân tích từng đa thức:

• $4x – 6 = 2(2x – 3)$;
• $5x^2 – x = x(5x – 1)$;
• $25x^2 – 10x + 1 = (5x – 1)^2$;
• $27 – 8x^3 = 3^3 – (2x)^3 = (3 – 2x)(9 + 6x + 4x^2)$ (hiệu hai lập phương).

Lưu ý $2x – 3 = -(3 – 2x)$:

$$\dfrac{4x – 6}{5x^2 – x} \cdot \dfrac{25x^2 – 10x + 1}{27 – 8x^3} = \dfrac{-2(3 – 2x)(5x – 1)^2}{x(5x – 1)(3 – 2x)(4x^2 + 6x + 9)}.$$

Rút gọn các nhân tử chung $(3 – 2x)$ và $(5x – 1)$:

$$= \dfrac{-2(5x – 1)}{x(4x^2 + 6x + 9)} = \dfrac{2 – 10x}{x(4x^2 + 6x + 9)}.$$

b) Nhân với phân thức nghịch đảo và phân tích:

• $2x + 10 = 2(x + 5)$;
• $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$.

$$\dfrac{2x + 10}{(x – 3)^2} : \dfrac{(x + 5)^3}{x^2 – 9} = \dfrac{2(x + 5)}{(x – 3)^2} \cdot \dfrac{(x – 3)(x + 3)}{(x + 5)^3} = \dfrac{2(x + 5)(x – 3)(x + 3)}{(x – 3)^2 (x + 5)^3}.$$

Rút gọn nhân tử chung $(x + 5)$ và $(x – 3)$:

$$= \dfrac{2(x + 3)}{(x – 3)(x + 5)^2}.$$

Bài 6.33 (trang 24)

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $\dfrac{4x^2 – 1}{16x^2 – 1} \left(\dfrac{1}{2x + 1} + \dfrac{1}{2x – 1} + \dfrac{1}{1 – 4x^2}\right)$;

b) $\left(\dfrac{x + y}{xy} – \dfrac{2}{x}\right) \cdot \dfrac{x^3 y^3}{x^3 – y^3}$.

Lời giải:

a) Tính tổng trong ngoặc trước. Phân tích: $1 – 4x^2 = -(4x^2 – 1) = -(2x – 1)(2x + 1)$. Đổi dấu phân thức thứ ba:

$$\dfrac{1}{1 – 4x^2} = \dfrac{-1}{(2x – 1)(2x + 1)}.$$

MTC $= (2x – 1)(2x + 1)$:

$$\dfrac{1}{2x + 1} + \dfrac{1}{2x – 1} + \dfrac{-1}{(2x – 1)(2x + 1)} = \dfrac{(2x – 1) + (2x + 1) – 1}{(2x – 1)(2x + 1)} = \dfrac{4x – 1}{4x^2 – 1}.$$

Nhân với phân thức ngoài. Lưu ý $16x^2 – 1 = (4x – 1)(4x + 1)$:

$$\dfrac{4x^2 – 1}{16x^2 – 1} \cdot \dfrac{4x – 1}{4x^2 – 1} = \dfrac{4x – 1}{16x^2 – 1} = \dfrac{4x – 1}{(4x – 1)(4x + 1)} = \dfrac{1}{4x + 1}.$$

b) Tính hiệu trong ngoặc trước. MTC $= xy$:

$$\dfrac{x + y}{xy} – \dfrac{2}{x} = \dfrac{x + y}{xy} – \dfrac{2y}{xy} = \dfrac{x + y – 2y}{xy} = \dfrac{x – y}{xy}.$$

Phân tích $x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2)$. Nhân:

$$\dfrac{x – y}{xy} \cdot \dfrac{x^3 y^3}{(x – y)(x^2 + xy + y^2)} = \dfrac{(x – y) \cdot x^3 y^3}{xy \cdot (x – y)(x^2 + xy + y^2)} = \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + xy + y^2}.$$

(Rút gọn nhân tử chung $(x – y)$ và $xy$.)

Bài 6.34 (trang 24)

Đề bài: Cho biểu thức $P = \dfrac{x^2 – 6x + 9}{9 – x^2} + \dfrac{4x + 8}{x + 3}$.

a) Rút gọn $P$;

b) Tính giá trị của $P$ tại $x = 7$;

c) Chứng tỏ $P = 3 + \dfrac{2}{x + 3}$. Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Rút gọn $P$. Phân tích:

• $x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2$;
• $9 – x^2 = -(x^2 – 9) = -(x – 3)(x + 3)$.

Rút gọn phân thức thứ nhất:

$$\dfrac{x^2 – 6x + 9}{9 – x^2} = \dfrac{(x – 3)^2}{-(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{-(x – 3)}{x + 3} = \dfrac{3 – x}{x + 3}.$$

Hai phân thức trong $P$ giờ cùng mẫu $(x + 3)$, cộng các tử thức:

$$P = \dfrac{3 – x}{x + 3} + \dfrac{4x + 8}{x + 3} = \dfrac{(3 – x) + (4x + 8)}{x + 3} = \dfrac{3x + 11}{x + 3}.$$

b) Tính tại $x = 7$. ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$; giá trị $x = 7$ thỏa mãn. Thay vào:

$$P = \dfrac{3 \cdot 7 + 11}{7 + 3} = \dfrac{32}{10} = \dfrac{16}{5}.$$

c) Chứng tỏ $P = 3 + \dfrac{2}{x + 3}$.

Tách tử thức $3x + 11 = 3(x + 3) + 2$:

$$P = \dfrac{3x + 11}{x + 3} = \dfrac{3(x + 3) + 2}{x + 3} = \dfrac{3(x + 3)}{x + 3} + \dfrac{2}{x + 3} = 3 + \dfrac{2}{x + 3}. ;\checkmark$$

Tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên. Vì $3$ đã là số nguyên, $P$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{2}{x + 3}$ là số nguyên, tức $(x + 3)$ là ước của $2$:

$$x + 3 \in {-2; -1; 1; 2}.$$

Suy ra $x \in {-5; -4; -2; -1}$. Đối chiếu ĐKXĐ ($x \neq \pm 3$): cả $4$ giá trị đều thoả mãn.

Kết luận: $x \in {-5; -4; -2; -1}$.

Bài 6.35 (trang 24)

Đề bài: Một xưởng may lập kế hoạch may $80\,000$ bộ quần áo trong $x$ (ngày). Nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm $11$ ngày và may vượt kế hoạch $100$ bộ quần áo.

a) Hãy viết phân thức theo biến $x$ biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được theo kế hoạch;

b) Viết phân thức biểu thị số bộ quần áo thực tế xưởng may được mỗi ngày;

c) Viết biểu thức biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch;

d) Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may $800$ bộ quần áo thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo?

Lời giải:

a) Số bộ may mỗi ngày theo kế hoạch:

$$\dfrac{80\,000}{x} \text{ (bộ/ngày)}.$$

b) Thực tế xưởng hoàn thành sớm $11$ ngày (làm trong $x – 11$ ngày) và may được tổng cộng $80\,000 + 100 = 80\,100$ bộ. Số bộ may mỗi ngày trong thực tế:

$$\dfrac{80\,100}{x – 11} \text{ (bộ/ngày)}.$$

c) Số bộ mỗi ngày nhiều hơn so với kế hoạch:

$$\dfrac{80\,100}{x – 11} – \dfrac{80\,000}{x}.$$

Quy đồng với MTC $= x(x – 11)$:

$$= \dfrac{80\,100 \cdot x}{x(x – 11)} – \dfrac{80\,000(x – 11)}{x(x – 11)} = \dfrac{80\,100x – 80\,000(x – 11)}{x(x – 11)}.$$

Khai triển tử thức:

$$80\,100x – 80\,000(x – 11) = 80\,100x – 80\,000x + 880\,000 = 100x + 880\,000.$$

Vậy:

$$\dfrac{80\,100}{x – 11} – \dfrac{80\,000}{x} = \dfrac{100x + 880\,000}{x(x – 11)} \text{ (bộ/ngày)}.$$

d) Theo kế hoạch mỗi ngày may $800$ bộ, ta có $\dfrac{80\,000}{x} = 800$, suy ra $x = 100$ (ngày).

Thay $x = 100$ vào biểu thức ở câu c:

$$\dfrac{100 \cdot 100 + 880\,000}{100 \cdot (100 – 11)} = \dfrac{10\,000 + 880\,000}{100 \cdot 89} = \dfrac{890\,000}{8\,900} = 100.$$

Kết luận: Nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch $100$ bộ quần áo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du