Câu hỏi mở đầu (trang 33)

Đề bài: Một xe máy khởi hành từ một địa điểm ở Hà Nội đi Thanh Hoá lúc $6$ giờ với vận tốc $40$ km/h. Sau đó $1$ giờ, một ô tô cũng xuất phát từ điểm khởi hành của xe máy để đi Thanh Hoá với vận tốc $60$ km/h và đi cùng tuyến đường với xe máy. Hỏi vào lúc mấy giờ thì ô tô đuổi kịp xe máy?

Lời giải: Câu trả lời được trình bày qua các Hoạt động HĐ1, HĐ2, HĐ3 ngay sau đây. Kết quả cuối là ô tô đuổi kịp xe máy lúc $9$ giờ.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Hoạt động 1 (trang 33)

Đề bài: Gọi $x$ (giờ) ($x > 0$) là thời gian di chuyển của ô tô. Hãy biểu thị quãng đường đi được của ô tô theo $x$.

Lời giải:

Vận tốc của ô tô là $60$ km/h, thời gian là $x$ giờ. Quãng đường ô tô đi được là:

$$60x \text{ (km)}.$$

Hoạt động 2 (trang 33)

Đề bài: Hãy biểu thị thời gian di chuyển của xe máy theo $x$, từ đó tính quãng đường đi được của xe máy theo $x$.

Lời giải:

Xe máy xuất phát trước ô tô $1$ giờ, nên khi ô tô đi được $x$ giờ thì xe máy đã đi được $x + 1$ (giờ).

Vận tốc xe máy là $40$ km/h, nên quãng đường xe máy đi được là:

$$40(x + 1) \text{ (km)}.$$

Hoạt động 3 (trang 33)

Đề bài: Ô tô đuổi kịp xe máy khi quãng đường đi được của chúng bằng nhau. Viết phương trình ẩn $x$ thu được và giải phương trình này để tìm $x$ rồi kết luận.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Hai quãng đường bằng nhau:

$$60x = 40(x + 1).$$

Bước 2: Giải phương trình. Bỏ ngoặc, chuyển vế:

$$60x = 40x + 40 ;\Rightarrow; 60x – 40x = 40 ;\Rightarrow; 20x = 40 ;\Rightarrow; x = 2.$$

Bước 3: Đối chiếu và kết luận. Giá trị $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$. Vậy ô tô đi $2$ giờ thì đuổi kịp xe máy.

Ô tô xuất phát lúc $6 + 1 = 7$ giờ (sau xe máy $1$ giờ), nên ô tô đuổi kịp xe máy lúc:

$$7 + 2 = 9 \text{ (giờ)}.$$

Luyện tập (trang 35)

Đề bài: Bác Mai đi siêu thị mua một mặt hàng đang có chương trình khuyến mại giảm giá $20\%$. Vì có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên bác được giảm thêm $5\%$ trên giá đã giảm, do đó bác Mai chỉ phải trả $380$ nghìn đồng cho mặt hàng đó. Hỏi giá ban đầu của mặt hàng đó nếu không khuyến mại là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá ban đầu của mặt hàng ($x > 0$).

• Sau khi giảm $20\%$, giá còn lại là $x \cdot (100\% – 20\%) = 0{,}8x$ (nghìn đồng).
• Giảm thêm $5\%$ trên giá đã giảm, giá cuối là $0{,}8x \cdot (100\% – 5\%) = 0{,}8x \cdot 0{,}95 = 0{,}76x$ (nghìn đồng).

Theo đề bài, giá cuối là $380$ nghìn đồng:

$$0{,}76x = 380.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$x = \dfrac{380}{0{,}76} = 500.$$

Bước 3: Đối chiếu và kết luận. $x = 500$ thỏa mãn $x > 0$. Vậy giá ban đầu của mặt hàng là $500$ nghìn đồng.

Tranh luận (trang 35)

Đề bài: Xét bài toán: “Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc $40$ km/h. Sau đó $20$ phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Hải Phòng đi Hà Nội với vận tốc $60$ km/h. Biết quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng dài khoảng $120$ km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, thì hai xe gặp nhau?”

Bạn Vuông chọn ẩn $x$ (giờ) là thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau. Bạn Tròn chọn ẩn $x$ (km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe. Hãy viết phương trình theo mỗi cách chọn ẩn này. Theo em, cách nào sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn?

Lời giải:

Đổi $20$ phút $= \dfrac{1}{3}$ giờ.

Cách 1 (bạn Vuông): Gọi $x$ (giờ) là thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau, $x > \dfrac{1}{3}$.

• Quãng đường xe máy đã đi: $40x$ (km).
• Ô tô xuất phát sau $\dfrac{1}{3}$ giờ, nên thời gian ô tô đã đi là $x – \dfrac{1}{3}$ (giờ). Quãng đường ô tô đã đi: $60\left(x – \dfrac{1}{3}\right)$ (km).
• Hai xe đi ngược chiều, gặp nhau khi tổng quãng đường bằng quãng đường Hà Nội – Hải Phòng:

$$40x + 60\left(x – \dfrac{1}{3}\right) = 120.$$

Cách 2 (bạn Tròn): Gọi $x$ (km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau, $0 < x < 120$.

• Thời gian xe máy đi (đi quãng $x$ với vận tốc $40$): $\dfrac{x}{40}$ (giờ).
• Quãng đường ô tô đi (từ Hải Phòng đến điểm gặp): $120 – x$ (km). Thời gian ô tô đi: $\dfrac{120 – x}{60}$ (giờ).
• Vì xe máy xuất phát trước ô tô $\dfrac{1}{3}$ giờ:

$$\dfrac{x}{40} – \dfrac{120 – x}{60} = \dfrac{1}{3}.$$

So sánh: Cách 1 cho phương trình không có phân số ở mẫu chứa ẩn, biến đổi đơn giản. Cách 2 có phân số ở hai vế nên phải quy đồng, nhiều bước hơn.

Kết luận: Cách chọn ẩn của bạn Vuông (ẩn là thời gian) cho lời giải ngắn gọn hơn.

Bài tập (trang 35–36)

Bài 7.7 (trang 35)

Đề bài: Chị Linh làm việc trong một ngân hàng và được thưởng Tết bằng $2{,}5$ tháng lương. Tổng thu nhập một năm của chị Linh bao gồm lương $12$ tháng và thưởng Tết là $290$ triệu đồng. Hỏi lương hằng tháng của chị Linh là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (triệu đồng) là lương hằng tháng của chị Linh ($x > 0$).

• Lương $12$ tháng: $12x$ (triệu đồng).
• Thưởng Tết: $2{,}5x$ (triệu đồng).

Tổng thu nhập là $290$ triệu đồng:

$$12x + 2{,}5x = 290.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$14{,}5x = 290 ;\Rightarrow; x = \dfrac{290}{14{,}5} = 20.$$

Bước 3: $x = 20$ thỏa mãn $x > 0$. Vậy lương hằng tháng của chị Linh là $20$ triệu đồng.

Bài 7.8 (trang 35)

Đề bài: Bác Hưng đầu tư $300$ triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất $8\%$ một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất $6\%$ một năm. Cuối năm bác Hưng nhận được $22$ triệu đồng tiền lãi. Hỏi bác Hưng đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp, điều kiện $0 < x < 300$.

• Số tiền gửi tiết kiệm: $300 – x$ (triệu đồng).
• Lãi trái phiếu: $0{,}08x$ (triệu đồng).
• Lãi tiết kiệm: $0{,}06(300 – x)$ (triệu đồng).

Tổng tiền lãi là $22$ triệu đồng:

$$0{,}08x + 0{,}06(300 – x) = 22.$$

Bước 2: Giải phương trình. Bỏ ngoặc:

$$0{,}08x + 18 – 0{,}06x = 22 ;\Rightarrow; 0{,}02x = 4 ;\Rightarrow; x = 200.$$

Bước 3: $x = 200$ thỏa mãn $0 < x < 300$. Vậy bác Hưng đã đầu tư $200$ triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp và $300 – 200 = 100$ triệu đồng vào tiết kiệm ngân hàng.

Bài 7.9 (trang 36)

Đề bài: Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để thu hút khách hàng. Tổng giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A và một chiếc tủ lạnh loại B là $36{,}8$ triệu đồng. Trong dịp này, ti vi loại A được giảm giá $30\%$ và tủ lạnh loại B được giảm giá $25\%$ nên bác Cường đã mua một chiếc ti vi và một chiếc tủ lạnh nói trên với tổng số tiền là $26{,}805$ triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi chiếc ti vi loại A và mỗi chiếc tủ lạnh loại B là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết của ti vi loại A, điều kiện $0 < x < 36{,}8$.

• Giá niêm yết tủ lạnh loại B: $36{,}8 – x$ (triệu đồng).
• Giá ti vi sau giảm $30\%$: $x \cdot (1 – 0{,}3) = 0{,}7x$ (triệu đồng).
• Giá tủ lạnh sau giảm $25\%$: $(36{,}8 – x)(1 – 0{,}25) = 0{,}75(36{,}8 – x)$ (triệu đồng).

Tổng số tiền bác Cường trả là $26{,}805$ triệu đồng:

$$0{,}7x + 0{,}75(36{,}8 – x) = 26{,}805.$$

Bước 2: Giải phương trình. Bỏ ngoặc:

$$0{,}7x + 27{,}6 – 0{,}75x = 26{,}805 ;\Rightarrow; -0{,}05x = -0{,}795 ;\Rightarrow; x = 15{,}9.$$

Bước 3: $x = 15{,}9$ thỏa mãn $0 < x < 36{,}8$. Vậy giá niêm yết của ti vi loại A là $15{,}9$ triệu đồng và tủ lạnh loại B là $36{,}8 – 15{,}9 = 20{,}9$ triệu đồng.

Bài 7.10 (trang 36)

Đề bài: Bạn Nam đi xe đạp rời nhà lúc $14$ giờ với vận tốc $12$ km/h. Khi Hùng đến nhà Nam vào lúc $14$ giờ $10$ phút thì mẹ Nam chỉ hướng đường đi của Nam cho Hùng và Hùng đi xe đạp đuổi theo với vận tốc $18$ km/h. Hỏi đến lúc mấy giờ thì Hùng đuổi kịp Nam?

Lời giải:

Hùng xuất phát sau Nam $10$ phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ.

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (giờ) là thời gian Hùng đi xe đạp từ nhà Nam đến lúc đuổi kịp Nam, $x > 0$.

• Thời gian Nam đã đi tính đến lúc bị đuổi kịp: $x + \dfrac{1}{6}$ (giờ).
• Quãng đường Nam đi: $12\left(x + \dfrac{1}{6}\right)$ (km).
• Quãng đường Hùng đi: $18x$ (km).

Hùng đuổi kịp Nam khi hai quãng đường bằng nhau:

$$18x = 12\left(x + \dfrac{1}{6}\right).$$

Bước 2: Giải phương trình. Bỏ ngoặc:

$$18x = 12x + 2 ;\Rightarrow; 6x = 2 ;\Rightarrow; x = \dfrac{1}{3} \text{ (giờ)} = 20 \text{ (phút)}.$$

Bước 3: $x = \dfrac{1}{3}$ thỏa mãn $x > 0$. Vậy Hùng cần $20$ phút để đuổi kịp Nam. Hùng bắt đầu đi lúc $14$ giờ $10$ phút, nên Hùng đuổi kịp Nam lúc:

$$14 \text{ giờ } 10 \text{ phút} + 20 \text{ phút} = 14 \text{ giờ } 30 \text{ phút}.$$

Bài 7.11 (trang 36)

Đề bài: Hai công ty viễn thông đưa ra hai gói cước cho điện thoại cố định như sau:

a) Gọi $x$ là số phút gọi trong tháng. Hãy biểu thị theo $x$, số tiền phải trả trong tháng (tính theo nghìn đồng) khi sử dụng mỗi gói cước nói trên.

b) Hỏi với bao nhiêu phút gọi thì số tiền phải trả trong tháng khi sử dụng dịch vụ của hai công ty viễn thông này là như nhau?

Lời giải:

a) Quy đổi: $32\,000$ đồng $= 32$ nghìn đồng; $900$ đồng $= 0{,}9$ nghìn đồng; $38\,000$ đồng $= 38$ nghìn đồng; $700$ đồng $= 0{,}7$ nghìn đồng.

Số tiền phải trả trong tháng (theo nghìn đồng) gồm cước thuê bao cộng với cước theo số phút gọi:

• Công ty A: $32 + 0{,}9x$ (nghìn đồng).
• Công ty B: $38 + 0{,}7x$ (nghìn đồng).

b) Lập phương trình. Số tiền hai công ty bằng nhau:

$$32 + 0{,}9x = 38 + 0{,}7x.$$

Giải: Chuyển vế:

$$0{,}9x – 0{,}7x = 38 – 32 ;\Rightarrow; 0{,}2x = 6 ;\Rightarrow; x = 30.$$

Kết luận: Với $30$ phút gọi trong tháng thì số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ của hai công ty là như nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du