Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Hệ số góc của đường thẳng
Hoạt động 1 (trang 51)
Đề bài: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ hai đường thẳng sau: $(d): y = 2x + 1$ và $(d’): y = -2x + 1$.
a) So sánh góc tạo bởi đường thẳng $(d)$ và trục $Ox$ với $90^\circ$.
b) So sánh góc tạo bởi đường thẳng $(d’)$ và trục $Ox$ với $90^\circ$.
Lời giải:
Vẽ hai đường thẳng:
- $(d): y = 2x + 1$ đi qua hai điểm $(0; 1)$ và $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$.
- $(d’): y = -2x + 1$ đi qua hai điểm $(0; 1)$ và $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$.
a) Đường thẳng $(d): y = 2x + 1$ có hệ số $a = 2 > 0$ nên đi lên từ trái sang phải. Góc tạo bởi $(d)$ và trục $Ox$ là góc nhọn, nhỏ hơn $90^\circ$.
b) Đường thẳng $(d’): y = -2x + 1$ có hệ số $a = -2 < 0$ nên đi xuống từ trái sang phải. Góc tạo bởi $(d’)$ và trục $Ox$ là góc tù, lớn hơn $90^\circ$.
Hoạt động 2 (trang 52)
Đề bài: Từ kết quả của HĐ1, em có nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số $a$ của đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) với góc tạo bởi đường thẳng này và trục $Ox$?
Lời giải:
Quan sát kết quả HĐ1:
- Khi $a > 0$ ($a = 2$ ở đường $(d)$): góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$ là góc nhọn (nhỏ hơn $90^\circ$).
- Khi $a < 0$ ($a = -2$ ở đường $(d’)$): góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$ là góc tù (lớn hơn $90^\circ$).
Nhận xét: Có sự liên quan giữa hệ số $a$ và góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$. Dấu của $a$ quyết định loại góc (nhọn hay tù). Vì vậy, $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Câu hỏi (trang 52)
Đề bài: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:
$$y = 3x – 1;\quad y = 2 – x;\quad y = \dfrac{1}{2}(x – 1).$$
Lời giải:
Đưa mỗi đường thẳng về dạng $y = ax + b$ rồi xác định $a$:
- $y = 3x – 1$: hệ số góc $a = 3$.
- $y = 2 – x = -x + 2$: hệ số góc $a = -1$.
- $y = \dfrac{1}{2}(x – 1) = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{2}$: hệ số góc $a = \dfrac{1}{2}$.
Luyện tập 1 (trang 52)
Đề bài: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là $3$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$.
Lời giải:
Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó:
- Hệ số góc $a = 3$.
- Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$ nghĩa là khi $x = 0$ thì $y = -1$, suy ra $b = -1$.
Vậy hàm số cần tìm là $y = 3x – 1$.
Tranh luận (trang 52)
Đề bài: Đường thẳng $y = \dfrac{2x + 1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu? Bạn Tròn nói “đường thẳng này có hệ số góc $a = 2$”, bạn Vuông nói “không đúng, đường thẳng này có hệ số góc $a = 1$”. Theo em, bạn nào trả lời đúng, bạn nào trả lời sai? Vì sao?
Lời giải:
Biến đổi biểu thức về dạng $y = ax + b$:
$$y = \dfrac{2x + 1}{2} = \dfrac{2x}{2} + \dfrac{1}{2} = x + \dfrac{1}{2}.$$
Vậy hệ số góc của đường thẳng là $a = 1$.
Kết luận: Bạn Vuông trả lời đúng, bạn Tròn trả lời sai.
Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Hoạt động 3 (trang 53)
Đề bài: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ hai đường thẳng $y = 2x$ và $y = 2x + 1$. Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng này?
Lời giải:
Vẽ hai đường thẳng:
- $y = 2x$ đi qua $O(0; 0)$ và điểm $(1; 2)$.
- $y = 2x + 1$ đi qua $(0; 1)$ và $\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$.
Quan sát đồ thị thấy hai đường thẳng song song với nhau (không có điểm chung). Hai đường thẳng này có cùng hệ số góc $a = 2$ nhưng khác hạng tử tự do ($0$ và $1$).
Câu hỏi (trang 53) — Tìm các cặp đường thẳng song song
Đề bài: Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:
a) $y = 2x + 1$; ; b) $y = -1 – 2x$; ; c) $y = 2 + 2x$; ; d) $y = -1 + 2x$.
Lời giải:
Đưa mỗi đường thẳng về dạng $y = ax + b$ rồi xác định $a$ và $b$:
| Đường thẳng | Dạng $y = ax + b$ | $a$ | $b$ |
|---|---|---|---|
| a | $y = 2x + 1$ | $2$ | $1$ |
| b | $y = -2x – 1$ | $-2$ | $-1$ |
| c | $y = 2x + 2$ | $2$ | $2$ |
| d | $y = 2x – 1$ | $2$ | $-1$ |
Hai đường thẳng song song khi cùng $a$ và khác $b$. Các đường có cùng $a = 2$ là a), c), d); $b$ của ba đường này lần lượt là $1; 2; -1$ — khác nhau từng đôi một.
Kết luận: Có 3 cặp đường thẳng song song là (a; c), (a; d), (c; d).
Hoạt động 4 (trang 53)
Đề bài: Cho hai đường thẳng $y = 2x – 1$ và $y = x – 3$. Bằng cách so sánh hai hệ số góc, hãy cho biết hai đường thẳng này có song song hay trùng nhau không.
Lời giải:
Hệ số góc của hai đường thẳng lần lượt là $a = 2$ và $a’ = 1$. Vì $a \neq a’$ nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau.
Câu hỏi (trang 53) — Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau
Đề bài: Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:
a) $y = 2x + 1$; ; b) $y = 2x$; ; c) $y = 2 + 2x$; ; d) $y = 1 – 2x$.
Lời giải:
Hệ số góc của các đường thẳng:
| Đường thẳng | Dạng $y = ax + b$ | $a$ |
|---|---|---|
| a | $y = 2x + 1$ | $2$ |
| b | $y = 2x$ | $2$ |
| c | $y = 2x + 2$ | $2$ |
| d | $y = -2x + 1$ | $-2$ |
Hai đường thẳng cắt nhau khi $a \neq a’$. Đường d) có $a = -2$, các đường còn lại có $a = 2$.
Kết luận: Có 3 cặp đường thẳng cắt nhau là (a; d), (b; d), (c; d).
Luyện tập 2 (trang 54)
Đề bài: Cho hai hàm số bậc nhất $y = 2mx + 1$ và $y = (m – 1)x + 2$. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị của hai hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng song song với nhau.
b) Hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải:
Điều kiện để cả hai là hàm số bậc nhất: $2m \neq 0$ và $m – 1 \neq 0$, tức $m \neq 0$ và $m \neq 1$.
So sánh: $a = 2m$, $a’ = m – 1$, $b = 1$, $b’ = 2$. Lưu ý $b = 1 \neq 2 = b’$ luôn đúng.
a) Song song khi $a = a’$ và $b \neq b’$ (điều kiện $b \neq b’$ đã thỏa). Giải:
$$2m = m – 1 ;\Rightarrow; m = -1.$$
Kiểm tra với điều kiện hàm bậc nhất: $m = -1 \neq 0$ ✓; $m = -1 \neq 1$ ✓.
Vậy $m = -1$.
b) Cắt nhau khi $a \neq a’$, tức $2m \neq m – 1$, hay $m \neq -1$.
Kết hợp với điều kiện hàm bậc nhất, ta có $m \neq 0$, $m \neq 1$ và $m \neq -1$.
Thử thách nhỏ (trang 54)
Đề bài: Liệu hai đường thẳng phân biệt với cùng hệ số góc, có thể có:
a) Cùng giao điểm với trục $Ox$ không?
b) Cùng giao điểm với trục $Oy$ không?
Lời giải:
Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì hoặc song song (nếu khác $b$) hoặc trùng nhau (nếu cùng $b$). Đề bài cho biết hai đường thẳng phân biệt nên chúng song song — không có điểm chung.
a) Vì hai đường thẳng song song không có điểm chung nên không thể có cùng giao điểm với trục $Ox$.
b) Tương tự, không thể có cùng giao điểm với trục $Oy$.
Vận dụng (trang 54)
Đề bài: Em hãy trình bày cách làm của anh Pi để trả lời câu hỏi của bạn Vuông trong tình huống mở đầu (làm thế nào để biết hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ song song hay cắt nhau mà không cần vẽ hình).
Lời giải:
Cách làm của Pi: chỉ cần so sánh hai hệ số góc $a$ và $a’$ (và hạng tử tự do $b, b’$ khi cần) là biết được vị trí tương đối của hai đường thẳng:
- Nếu $a = a’$ và $b \neq b’$: hai đường thẳng song song.
- Nếu $a = a’$ và $b = b’$: hai đường thẳng trùng nhau.
- Nếu $a \neq a’$: hai đường thẳng cắt nhau.
Bài tập (trang 54)
Bài 7.30 (trang 54)
Đề bài: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm $(1; -2)$ và có hệ số góc là $3$.
Lời giải:
Hàm số bậc nhất có hệ số góc $a = 3$ nên có dạng $y = 3x + b$.
Đường thẳng đi qua $(1; -2)$ nên thay $x = 1$, $y = -2$ vào:
$$-2 = 3 \cdot 1 + b ;\Rightarrow; b = -5.$$
Vậy hàm số cần tìm là $y = 3x – 5$.
Bài 7.31 (trang 54)
Đề bài: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là $-2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$.
Lời giải:
Hàm số bậc nhất có hệ số góc $a = -2$ nên có dạng $y = -2x + b$.
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $3$, tức đi qua điểm $(3; 0)$. Thay $x = 3$, $y = 0$ vào:
$$0 = -2 \cdot 3 + b ;\Rightarrow; b = 6.$$
Vậy hàm số cần tìm là $y = -2x + 6$.
Bài 7.32 (trang 54)
Đề bài: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau và các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:
a) $y = -x + 1$; ; b) $y = -2x + 1$; ; c) $y = -2x + 2$; ; d) $y = -x$.
Lời giải:
Xác định hệ số $a$ và $b$ của mỗi đường thẳng:
| Đường thẳng | $a$ | $b$ |
|---|---|---|
| a | $-1$ | $1$ |
| b | $-2$ | $1$ |
| c | $-2$ | $2$ |
| d | $-1$ | $0$ |
Cặp đường thẳng song song (cùng $a$, khác $b$):
- (a; d): cùng $a = -1$, $b = 1 \neq 0$ → song song.
- (b; c): cùng $a = -2$, $b = 1 \neq 2$ → song song.
Cặp đường thẳng cắt nhau (khác $a$):
- (a; b): $-1 \neq -2$ → cắt nhau.
- (a; c): $-1 \neq -2$ → cắt nhau.
- (b; d): $-2 \neq -1$ → cắt nhau.
- (c; d): $-2 \neq -1$ → cắt nhau.
Kết luận: Có $2$ cặp song song và $4$ cặp cắt nhau.
Bài 7.33 (trang 54)
Đề bài: Cho hai hàm số bậc nhất $y = mx – 5$ và $y = (2m + 1)x + 3$. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị của hai hàm số là:
a) Hai đường thẳng song song với nhau.
b) Hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải:
Điều kiện hàm bậc nhất: $m \neq 0$ và $2m + 1 \neq 0$, tức $m \neq 0$ và $m \neq -\dfrac{1}{2}$.
So sánh: $a = m$, $a’ = 2m + 1$, $b = -5$, $b’ = 3$. Vì $b = -5 \neq 3 = b’$ luôn đúng.
a) Song song khi $a = a’$ (và $b \neq b’$ đã thỏa). Giải:
$$m = 2m + 1 ;\Rightarrow; m = -1.$$
Kiểm tra: $m = -1 \neq 0$ ✓; $m = -1 \neq -\dfrac{1}{2}$ ✓.
Vậy $m = -1$.
b) Cắt nhau khi $a \neq a’$, tức $m \neq 2m + 1$, hay $m \neq -1$.
Kết hợp với điều kiện hàm bậc nhất, ta có $m \neq 0$, $m \neq -\dfrac{1}{2}$ và $m \neq -1$.
Bài 7.34 (trang 54)
Đề bài: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng $y = -3x + 1$ và đi qua điểm $(2; 6)$.
Lời giải:
Đường thẳng song song với $y = -3x + 1$ nên có cùng hệ số góc $a = -3$ và $b \neq 1$. Hàm số có dạng $y = -3x + b$.
Đường thẳng đi qua $(2; 6)$ nên thay $x = 2$, $y = 6$ vào:
$$6 = -3 \cdot 2 + b ;\Rightarrow; b = 12.$$
Kiểm tra điều kiện song song: $b = 12 \neq 1$ ✓.
Vậy hàm số cần tìm là $y = -3x + 12$.
Bài 7.35 (trang 54)
Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $y = x$ và $y = -x + 2$.
a) Vẽ hai đường thẳng đã cho trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng đã cho.
c) Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $y = -x + 2$ và trục $Ox$. Chứng minh rằng tam giác $OAB$ vuông tại $A$, tức là hai đường thẳng $y = x$ và $y = -x + 2$ vuông góc với nhau.
d) Có nhận xét gì về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho?
Lời giải:
a) Vẽ hai đường thẳng:
- $y = x$ đi qua $O(0; 0)$ và điểm $(1; 1)$.
- $y = -x + 2$ đi qua $(0; 2)$ và $(2; 0)$.
b) Tìm hoành độ giao điểm $A$ bằng cách giải phương trình:
$$x = -x + 2 ;\Rightarrow; 2x = 2 ;\Rightarrow; x = 1.$$
Tung độ: $y = 1$ (thay vào $y = x$). Vậy $A(1; 1)$.
c) Tìm $B$ là giao điểm của $y = -x + 2$ với trục $Ox$: cho $y = 0$ ta được $-x + 2 = 0$, tức $x = 2$. Vậy $B(2; 0)$.
Có ba điểm $O(0; 0)$, $A(1; 1)$, $B(2; 0)$. Tính bình phương ba cạnh của tam giác $OAB$ (dùng định lý Pytago với khoảng cách theo hai trục):
- $OA^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ (khoảng cách theo $Ox$ là $1$, theo $Oy$ là $1$).
- $AB^2 = (2 – 1)^2 + (0 – 1)^2 = 1 + 1 = 2$.
- $OB^2 = 2^2 = 4$ ($O$ và $B$ cùng nằm trên trục $Ox$).
Ta có $OA^2 + AB^2 = 2 + 2 = 4 = OB^2$. Theo định lý Pytago đảo, tam giác $OAB$ vuông tại $A$. Suy ra hai đường thẳng $OA$ (là $y = x$) và $AB$ (là $y = -x + 2$) vuông góc với nhau.
d) Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a = 1$ và $a’ = -1$. Tích hai hệ số góc:
$$a \cdot a’ = 1 \cdot (-1) = -1.$$
Nhận xét: Tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho bằng $-1$. (Đây là dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng vuông góc với nhau.)
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du