Câu hỏi mở đầu (trang 67)

Đề bài: Liệu ta có thể tính được xác suất của biến cố “Tắc đường vào giờ cao điểm buổi chiều ở đường Nguyễn Trãi” hay không?

Lời giải: Có thể. Vì các kết quả ở đây không đồng khả năng nên không dùng công thức xác suất bằng tỉ số đã học ở Bài 31 được. Tuy nhiên, ta có thể ước lượng xác suất của biến cố này bằng cách quan sát thống kê trong nhiều ngày, sau đó áp dụng công thức xác suất thực nghiệm. Cách làm cụ thể được trình bày ở Luyện tập 2 bên dưới.

Xác suất thực nghiệm của một biến cố

Hoạt động 1 (trang 67)

Đề bài: Ông An theo dõi số cuộc điện thoại gọi đến trong $59$ ngày, kết quả như bảng (cột “Số cuộc điện thoại gọi đến trong một ngày”: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$; cột “Số ngày”: $5, 9, 15, 10, 5, 6, 4, 2, 3$). Gọi $A$ là biến cố “Trong một ngày ông An nhận được nhiều hơn $6$ cuộc gọi”. Hỏi trong $59$ ngày, có bao nhiêu ngày biến cố $A$ xuất hiện?

Lời giải:

“Nhiều hơn $6$ cuộc gọi” nghĩa là số cuộc gọi là $7$ hoặc $8$. Theo bảng:

• Số ngày có $7$ cuộc gọi: $2$ ngày;
• Số ngày có $8$ cuộc gọi: $3$ ngày.

Vậy biến cố $A$ xuất hiện $2 + 3 = 5$ ngày trong $59$ ngày theo dõi.

Luyện tập 1 (trang 68)

Đề bài: Một cửa hàng thống kê số lượng các loại điện thoại bán được trong một năm: loại A: $712$ chiếc, loại B: $1\,035$ chiếc, loại C: $1\,085$ chiếc. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố $E$: “Chiếc điện thoại loại A được bán ra trong năm đó của cửa hàng”.

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng số điện thoại bán được.

$$n = 712 + 1\,035 + 1\,085 = 2\,832 \text{ (chiếc)}.$$

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất thực nghiệm. Số lần biến cố $E$ xảy ra là $k = 712$. Do đó:

$$P(E) = \dfrac{k}{n} = \dfrac{712}{2\,832} \approx 0{,}251.$$

Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố $E$ là $\dfrac{712}{2\,832} \approx 0{,}251$ (hay khoảng $25{,}1\%$).

Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất

Luyện tập 2 (trang 69)

Đề bài: Giả sử camera quan sát đường Nguyễn Trãi trong $365$ ngày ghi nhận được $217$ ngày tắc đường vào giờ cao điểm buổi chiều. Từ số liệu thống kê đó, hãy ước lượng xác suất của biến cố $E$: “Tắc đường vào giờ cao điểm buổi chiều ở đường Nguyễn Trãi”.

Lời giải:

Số lần quan sát $n = 365$, số lần $E$ xảy ra $k = 217$. Xác suất thực nghiệm:

$$\dfrac{217}{365} \approx 0{,}5945.$$

Vậy ước lượng xác suất của biến cố $E$ là $P(E) \approx 0{,}595$ (hay khoảng $59{,}5\%$).

Luyện tập 3 (trang 69)

Đề bài: Trong $240\,000$ trẻ sơ sinh chào đời, người ta thấy có $123\,120$ bé trai. Hãy ước lượng xác suất của biến cố “Trẻ sơ sinh là bé gái”.

Lời giải:

Bước 1: Tính số bé gái.

$$240\,000 – 123\,120 = 116\,880 \text{ (bé gái)}.$$

Bước 2: Tính xác suất thực nghiệm.

$$\dfrac{116\,880}{240\,000} = 0{,}487.$$

Vậy xác suất của biến cố “Trẻ sơ sinh là bé gái” được ước lượng là $0{,}487$ (hay $48{,}7\%$).

Ứng dụng

Luyện tập 4 (trang 71)

Đề bài: Thống kê điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của $100$ học sinh lớp $8$ thu được kết quả (cột “Điểm” từ $1$ đến $10$; cột “Số học sinh” lần lượt là $7, 9, 11, 11, 12, 12, 13, 9, 8, 8$).

a) Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp $8$ của trường $X$. Hãy ước lượng xác suất của:

• $A$: “Học sinh đó có điểm nhỏ hơn hoặc bằng $5$”;
• $B$: “Học sinh đó có điểm từ $4$ đến $9$”.

b) Dự đoán trong nhóm $80$ học sinh khác:

• Có bao nhiêu học sinh có số điểm không vượt quá $5$ điểm;
• Có bao nhiêu học sinh có số điểm từ $4$ đến $9$ điểm.

Lời giải:

a) Ước lượng xác suất. Tổng số học sinh được quan sát là $n = 100$.

Biến cố $A$ — điểm $\leq 5$ (gồm điểm $1, 2, 3, 4, 5$):

Số học sinh thuận lợi: $7 + 9 + 11 + 11 + 12 = 50$.

$$P(A) \approx \dfrac{50}{100} = 0{,}5.$$

Biến cố $B$ — điểm từ $4$ đến $9$ (gồm điểm $4, 5, 6, 7, 8, 9$):

Số học sinh thuận lợi: $11 + 12 + 12 + 13 + 9 + 8 = 65$.

$$P(B) \approx \dfrac{65}{100} = 0{,}65.$$

b) Dự đoán trong nhóm $80$ học sinh khác.

Số học sinh có điểm không vượt quá $5$: gọi $k$ là số học sinh cần tìm. Ta có $\dfrac{k}{80} \approx P(A) \approx 0{,}5$, suy ra:

$$k \approx 80 \cdot 0{,}5 = 40 \text{ (học sinh)}.$$

Số học sinh có điểm từ $4$ đến $9$: gọi $h$ là số học sinh cần tìm. Ta có $\dfrac{h}{80} \approx P(B) \approx 0{,}65$, suy ra:

$$h \approx 80 \cdot 0{,}65 = 52 \text{ (học sinh)}.$$

Vậy dự đoán có khoảng $40$ học sinh có điểm không vượt quá $5$ và khoảng $52$ học sinh có điểm từ $4$ đến $9$.

Bài tập (trang 71–72)

Bài 8.8 (trang 71)

Đề bài: Tung một chiếc kẹp giấy $145$ lần xuống sàn nhà lát gạch đá hoa hình vuông. Quan sát thấy có $113$ lần chiếc kẹp nằm hoàn toàn bên trong hình vuông và $32$ lần chiếc kẹp nằm trên cạnh hình vuông. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố:

a) $E$: “Chiếc kẹp giấy nằm hoàn toàn trong hình vuông”;

b) $F$: “Chiếc kẹp giấy nằm trên cạnh của hình vuông”.

Lời giải:

Tổng số lần tung $n = 145$.

a) Số lần $E$ xảy ra: $k = 113$. Vậy:

$$P(E) = \dfrac{113}{145} \approx 0{,}779.$$

b) Số lần $F$ xảy ra: $k = 32$. Vậy:

$$P(F) = \dfrac{32}{145} \approx 0{,}221.$$

Bài 8.9 (trang 71)

Đề bài: Một nhân viên ghi lại số phế phẩm trong $20$ ngày (cột “Số phế phẩm”: $0, 1, 2, 3, \geq 4$; cột “Số ngày”: $14, 3, 1, 1, 1$). Tính xác suất thực nghiệm của:

a) $M$: “Trong một ngày nhà máy đó không có phế phẩm”;

b) $N$: “Trong một ngày nhà máy đó chỉ có $1$ phế phẩm”;

c) $K$: “Trong một ngày nhà máy đó có ít nhất $2$ phế phẩm”.

Lời giải:

Tổng số ngày $n = 20$.

a) “Không có phế phẩm” nghĩa là $0$ phế phẩm. Số ngày thỏa mãn: $14$.

$$P(M) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7.$$

b) “Chỉ có $1$ phế phẩm”. Số ngày thỏa mãn: $3$.

$$P(N) = \dfrac{3}{20} = 0{,}15.$$

c) “Có ít nhất $2$ phế phẩm” nghĩa là số phế phẩm $\geq 2$, gồm các nhóm $2$, $3$ và $\geq 4$. Số ngày thỏa mãn: $1 + 1 + 1 = 3$.

$$P(K) = \dfrac{3}{20} = 0{,}15.$$

Bài 8.10 (trang 72)

Đề bài: Thống kê thời gian của $78$ chương trình quảng cáo trên Đài truyền hình tỉnh X cho kết quả: “Từ $0$ đến $19$ giây”: $17$ chương trình; “Từ $20$ đến $39$ giây”: $38$ chương trình; “Từ $40$ đến $59$ giây”: $19$ chương trình; “Trên $60$ giây”: $4$ chương trình. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố:

a) $E$: “Chương trình quảng cáo của Đài truyền hình tỉnh X kéo dài từ $20$ đến $39$ giây”;

b) $F$: “Chương trình quảng cáo của Đài truyền hình tỉnh X kéo dài trên $1$ phút”;

c) $G$: “Chương trình quảng cáo của Đài truyền hình tỉnh X kéo dài trong khoảng từ $20$ đến $59$ giây”.

Lời giải:

Tổng số chương trình quan sát $n = 78$.

a) Số chương trình kéo dài từ $20$ đến $39$ giây: $38$.

$$P(E) = \dfrac{38}{78} = \dfrac{19}{39} \approx 0{,}487.$$

b) “Trên $1$ phút” tức là trên $60$ giây. Số chương trình thỏa mãn: $4$.

$$P(F) = \dfrac{4}{78} = \dfrac{2}{39} \approx 0{,}051.$$

c) Khoảng $20$–$59$ giây gồm nhóm “$20$–$39$ giây” và “$40$–$59$ giây”. Số chương trình thỏa mãn: $38 + 19 = 57$.

$$P(G) = \dfrac{57}{78} = \dfrac{19}{26} \approx 0{,}731.$$

Bài 8.11 (trang 72)

Đề bài: Thống kê về số ca nhiễm và số ca tử vong: SARS — $8\,437$ ca nhiễm, $813$ ca tử vong; EBOLA — $34\,453$ ca nhiễm, $15\,158$ ca tử vong. Hãy ước lượng xác suất một người tử vong khi nhiễm bệnh SARS, bệnh EBOLA.

Lời giải:

Với bệnh SARS: số người quan sát (nhiễm bệnh) là $8\,437$, số lần biến cố “tử vong” xảy ra là $813$.

$$P(\text{tử vong khi nhiễm SARS}) \approx \dfrac{813}{8\,437} \approx 0{,}096.$$

Vậy ước lượng xác suất một người tử vong khi nhiễm SARS là khoảng $9{,}6\%$.

Với bệnh EBOLA: số người nhiễm là $34\,453$, số người tử vong là $15\,158$.

$$P(\text{tử vong khi nhiễm EBOLA}) \approx \dfrac{15\,158}{34\,453} \approx 0{,}440.$$

Vậy ước lượng xác suất một người tử vong khi nhiễm EBOLA là khoảng $44\%$.

Bài 8.12 (trang 72)

Đề bài: Một nhà máy sản xuất máy điều hòa tiến hành kiểm tra chất lượng của $600$ chiếc thì thấy có $5$ chiếc bị lỗi. Trong một lô hàng có $1\,500$ chiếc, hãy dự đoán xem có khoảng bao nhiêu chiếc không bị lỗi (đề bài: “có khoảng bao nhiêu chiếc không bị lỗi”).

Lưu ý đề: đề SGK hỏi “có khoảng bao nhiêu chiếc không bị lỗi”.

Lời giải:

Bước 1: Ước lượng xác suất một chiếc bị lỗi. Trong $600$ chiếc kiểm tra có $5$ chiếc bị lỗi, nên:

$$P(\text{lỗi}) \approx \dfrac{5}{600}.$$

Do đó xác suất một chiếc không bị lỗi là:

$$P(\text{không lỗi}) \approx 1 – \dfrac{5}{600} = \dfrac{595}{600}.$$

Bước 2: Dự đoán trong lô $1\,500$ chiếc. Gọi $k$ là số chiếc không bị lỗi. Ta có:

$$\dfrac{k}{1\,500} \approx \dfrac{595}{600} ;;\Rightarrow;; k \approx 1\,500 \cdot \dfrac{595}{600} = 1\,487{,}5 \approx 1\,488.$$

Vậy trong lô $1\,500$ chiếc, dự đoán có khoảng $1\,488$ chiếc không bị lỗi.

Bài 8.13 (trang 72)

Đề bài: Hai bạn Mai và Việt lần lượt gieo đồng thời hai con xúc xắc; số điểm mỗi lần gieo bằng tổng số chấm trên hai con xúc xắc. Mai gieo $100$ lần và ghi lại kết quả (cột “Số điểm” từ $2$ đến $12$; cột “Số lần”: $3, 5, 9, 10, 14, 16, 13, 11, 8, 7, 4$). Việt gieo $120$ lần. Trước khi Việt gieo, hãy dự đoán xem trong $120$ lần đó có bao nhiêu lần số điểm Việt nhận được là:

a) Một số chẵn;

b) Một số nguyên tố;

c) Một số lớn hơn $7$.

Lời giải:

Tổng số lần gieo của Mai $n = 100$. Ta dùng dữ liệu của Mai để ước lượng xác suất, rồi nhân với $120$ để dự đoán cho Việt.

a) Số chẵn. Các số chẵn trong ${2, 3, \ldots, 12}$: $2, 4, 6, 8, 10, 12$. Tổng số lần Mai gieo được số chẵn:

$$3 + 9 + 14 + 13 + 8 + 4 = 51.$$

Xác suất thực nghiệm: $\dfrac{51}{100} = 0{,}51$.

Dự đoán số lần Việt gieo được số chẵn: $120 \cdot 0{,}51 = 61{,}2 \approx 61$ lần.

b) Số nguyên tố. Các số nguyên tố trong ${2, 3, \ldots, 12}$: $2, 3, 5, 7, 11$. Tổng số lần:

$$3 + 5 + 10 + 16 + 7 = 41.$$

Xác suất thực nghiệm: $\dfrac{41}{100} = 0{,}41$.

Dự đoán số lần Việt gieo được số nguyên tố: $120 \cdot 0{,}41 = 49{,}2 \approx 49$ lần.

c) Số lớn hơn $7$. Các số lớn hơn $7$ trong ${2, 3, \ldots, 12}$: $8, 9, 10, 11, 12$. Tổng số lần:

$$13 + 11 + 8 + 7 + 4 = 43.$$

Xác suất thực nghiệm: $\dfrac{43}{100} = 0{,}43$.

Dự đoán số lần Việt gieo được số lớn hơn $7$: $120 \cdot 0{,}43 = 51{,}6 \approx 52$ lần.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du