Bài tập (trang 75)

Bài 8.14 (trang 75)

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc khác $6$”;

b) $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn $3$”;

c) $C$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn $2$”;

d) $D$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nguyên tố”.

Lời giải:

Khi gieo một con xúc xắc cân đối, số chấm xuất hiện có thể là $1, 2, 3, 4, 5$ hoặc $6$. Vì xúc xắc cân đối nên $6$ kết quả này là đồng khả năng. Ta áp dụng công thức $P(E) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{6}$ cho từng câu.

a) “Khác $6$” tức là số chấm thuộc ${1; 2; 3; 4; 5}$ — có $5$ kết quả thuận lợi.

$$P(A) = \dfrac{5}{6}.$$

b) “Bé hơn $3$” tức là số chấm thuộc ${1; 2}$ — có $2$ kết quả thuận lợi.

$$P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

c) “Lớn hơn $2$” tức là số chấm thuộc ${3; 4; 5; 6}$ — có $4$ kết quả thuận lợi.

$$P(C) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$

d) “Số nguyên tố” trong ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$: $2, 3, 5$ — có $3$ kết quả thuận lợi (lưu ý $1$ không phải số nguyên tố).

$$P(D) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

Bài 8.15 (trang 75)

Đề bài: Một túi đựng các quả bóng giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có $15$ quả bóng màu xanh, $13$ quả bóng màu đỏ và $17$ quả bóng màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

a) $C$: “Lấy được quả bóng màu xanh”;

b) $D$: “Lấy được quả bóng màu đỏ”;

c) $E$: “Không lấy được quả bóng màu trắng”.

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng số quả bóng.

$$n = 15 + 13 + 17 = 45 \text{ (quả)}.$$

Vì các quả bóng giống hệt nhau (chỉ khác màu) nên $45$ kết quả có thể là đồng khả năng.

Bước 2: Tính xác suất từng biến cố.

a) Có $15$ quả bóng xanh, nên có $15$ kết quả thuận lợi cho $C$:

$$P(C) = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}.$$

b) Có $13$ quả bóng đỏ, nên có $13$ kết quả thuận lợi cho $D$:

$$P(D) = \dfrac{13}{45}.$$

c) “Không lấy được quả bóng màu trắng” tức là lấy được quả xanh hoặc đỏ. Số quả: $15 + 13 = 28$.

$$P(E) = \dfrac{28}{45}.$$

Bài 8.16 (trang 75)

Đề bài: Trong trò chơi “Xúc xắc may mắn”, mỗi ván người chơi gieo đồng thời hai con xúc xắc và ghi lại tổng số chấm. Một người chơi $80$ ván, kết quả ghi trong bảng: Tổng số chấm $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ với số ván tương ứng $2, 5, 6, 8, 11, 14, 12, 9, 6, 4, 3$.

a) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm là $5$ hoặc $7$. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố $E$: “Người chơi thắng trong một ván chơi”.

b) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm từ $10$ trở lên. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố $F$: “Người chơi thắng trong một ván chơi”.

Lời giải:

Tổng số ván chơi $n = 80$.

a) “Thắng” khi tổng số chấm là $5$ hoặc $7$. Số ván thuận lợi:

$$8 \text{ (tổng } 5\text{)} + 14 \text{ (tổng } 7\text{)} = 22 \text{ (ván)}.$$

Xác suất thực nghiệm:

$$P(E) = \dfrac{22}{80} = \dfrac{11}{40} = 0{,}275.$$

b) “Thắng” khi tổng số chấm từ $10$ trở lên, tức tổng thuộc ${10; 11; 12}$. Số ván thuận lợi:

$$6 + 4 + 3 = 13 \text{ (ván)}.$$

Xác suất thực nghiệm:

$$P(F) = \dfrac{13}{80} = 0{,}1625.$$

Bài 8.17 (trang 75)

Đề bài: Thống kê số vụ tai nạn giao thông trong hai tháng $8$ và $9$ của thành phố X cho kết quả (cột “Số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày”: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \geq 8$; cột “Số ngày”: $4, 9, 15, 10, 8, 6, 4, 3, 2$). Từ bảng thống kê trên, hãy dự đoán xem trong ba tháng $10; 11; 12$ tới tại thành phố X:

a) Có bao nhiêu ngày có nhiều nhất $3$ vụ tai nạn giao thông;

b) Có bao nhiêu ngày có ít nhất $5$ vụ tai nạn giao thông.

Lời giải:

Bước 1: Xác định số ngày quan sát. Hai tháng $8$ và $9$ có $31 + 30 = 61$ ngày. Cộng tổng cột “Số ngày” trong bảng: $4 + 9 + 15 + 10 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 = 61$ ✓. Vậy $n = 61$.

Bước 2: Tính số ngày trong ba tháng cần dự đoán. Ba tháng $10$, $11$, $12$ có:

$$31 + 30 + 31 = 92 \text{ (ngày)}.$$

a) Số ngày có nhiều nhất $3$ vụ tai nạn.

“Nhiều nhất $3$ vụ” tức là số vụ thuộc ${0; 1; 2; 3}$. Số ngày quan sát thuộc nhóm này:

$$4 + 9 + 15 + 10 = 38 \text{ (ngày)}.$$

Xác suất thực nghiệm:

$$\dfrac{38}{61} \approx 0{,}623.$$

Gọi $k$ là số ngày cần dự đoán trong $92$ ngày. Ta có $\dfrac{k}{92} \approx 0{,}623$, suy ra:

$$k \approx 92 \cdot 0{,}623 \approx 57{,}3 \approx 57 \text{ (ngày)}.$$

Vậy dự đoán có khoảng $57$ ngày có nhiều nhất $3$ vụ tai nạn giao thông.

b) Số ngày có ít nhất $5$ vụ tai nạn.

“Ít nhất $5$ vụ” tức là số vụ thuộc ${5; 6; 7; \geq 8}$. Số ngày quan sát thuộc nhóm này:

$$6 + 4 + 3 + 2 = 15 \text{ (ngày)}.$$

Xác suất thực nghiệm:

$$\dfrac{15}{61} \approx 0{,}246.$$

Gọi $h$ là số ngày cần dự đoán trong $92$ ngày. Ta có $\dfrac{h}{92} \approx 0{,}246$, suy ra:

$$h \approx 92 \cdot 0{,}246 \approx 22{,}6 \approx 23 \text{ (ngày)}.$$

Vậy dự đoán có khoảng $23$ ngày có ít nhất $5$ vụ tai nạn giao thông.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du