Câu hỏi mở đầu (trang 83)

Đề bài: Trong môn Bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là $7{,}32$ m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là $10{,}98$ m và $14{,}64$ m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Lời giải:

Có. Ta vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba độ dài $7{,}32$ m; $10{,}98$ m; $14{,}64$ m. Theo trường hợp đồng dạng c.c.c, tam giác vẽ được sẽ đồng dạng với tam giác thực tế (gồm trái bóng và hai chân cột gôn), nên các góc tương ứng bằng nhau. Dùng thước đo độ đo góc đối diện cạnh ứng với khung thành ($7{,}32$ m) trên tam giác đã vẽ, đó chính là góc sút. Cách làm cụ thể được trình bày ở phần Vận dụng bên dưới.

Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác (c.c.c)

Hoạt động 1 (trang 83)

Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{B’C’}{BC}$.

a) Nếu $A’B’ = AB$ thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Nếu $A’B’ < AB$ như Hình 9.11. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = A’B’$. Kẻ đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ và cắt $AC$ tại $N$.

• Hãy giải thích vì sao $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$.
• Hãy chứng tỏ rằng $AN = A’C’$, $MN = B’C’$ để suy ra $\triangle AMN = \triangle A’B’C’$ (c.c.c).
• Hai tam giác $A’B’C’$ và $ABC$ có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

c) Nếu $A’B’ > AB$ thì tam giác $A’B’C’$ có đồng dạng với tam giác $ABC$ không? Vì sao?

Lời giải:

a) Nếu $A’B’ = AB$ thì $\dfrac{A’B’}{AB} = 1$. Mà $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{B’C’}{BC}$, suy ra ba tỉ số đều bằng $1$, do đó $A’C’ = AC$ và $B’C’ = BC$. Hai tam giác có ba cặp cạnh bằng nhau nên $\triangle A’B’C’ = \triangle ABC$ (c.c.c). Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau (theo tỉ số $k = 1$). Vậy $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$.

b) Ta giải ba ý lần lượt.

Giải thích $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$:

Vì $MN \parallel BC$ và $M \in AB$, $N \in AC$ nên theo định lí đã học ở Bài 33: $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$. Khi đó:

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}. \quad (1)$$

Chứng tỏ $AN = A’C’$ và $MN = B’C’$:

Vì $AM = A’B’$ nên $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{A’B’}{AB}$. Mà theo giả thiết $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{B’C’}{BC}$, kết hợp $(1)$:

$$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{A’C’}{AC} ;\Rightarrow; AN = A’C’; \quad \dfrac{MN}{BC} = \dfrac{B’C’}{BC} ;\Rightarrow; MN = B’C’.$$

Hai tam giác $\triangle AMN$ và $\triangle A’B’C’$ có $AM = A’B’$, $AN = A’C’$, $MN = B’C’$ nên $\triangle AMN = \triangle A’B’C’$ (c.c.c).

Kết luận về $\triangle A’B’C’$ và $\triangle ABC$:

Từ $\triangle AMN = \triangle A’B’C’$ và $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$, suy ra $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$.

c) Nếu $A’B’ > AB$, ta đổi vai trò hai tam giác: lấy điểm $M’$ trên $A’B’$ sao cho $A’M’ = AB$, kẻ qua $M’$ đường thẳng song song với $B’C’$ cắt $A’C’$ tại $N’$. Lập luận tương tự câu b) (với hai tam giác $A’B’C’$ và $ABC$ đổi vai trò), ta được $\triangle A’M’N’ = \triangle ABC$ và $\triangle A’M’N’ \backsim \triangle A’B’C’$. Suy ra $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$, hay $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$.

Kết luận chung: Trong cả ba trường hợp, nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng — đây chính là trường hợp đồng dạng c.c.c.

Câu hỏi trang 84 (Hình 9.13)

Đề bài: Những cặp tam giác nào dưới đây (Hình 9.13) là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét.) Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Xét tỉ số ba cặp cạnh tương ứng (sắp theo thứ tự độ dài tăng dần để dễ so sánh):

Cặp 1: $\triangle ABC$ và $\triangle HGK$:

$$\dfrac{AB}{HG} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{BC}{GK} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{AC}{HK} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

Ba tỉ số bằng nhau, theo trường hợp c.c.c: $\triangle ABC \backsim \triangle HGK$ với tỉ số $\dfrac{1}{2}$.

Cặp 2: $\triangle DEF$ và $\triangle MNP$:

$$\dfrac{DE}{MN} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{EF}{NP} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{DF}{MP} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.$$

Ba tỉ số bằng nhau, theo trường hợp c.c.c: $\triangle DEF \backsim \triangle MNP$ với tỉ số $\dfrac{1}{2}$.

(Các cặp khác như $\triangle ABC$ với $\triangle DEF$, $\triangle ABC$ với $\triangle MNP$… không cho ba tỉ số bằng nhau nên không đồng dạng.)

Luyện tập 1 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $18$ cm và tam giác $DEF$ có chu vi bằng $27$ cm. Biết rằng $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm, $DE = 6$ cm, $FD = 12$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm các cạnh còn thiếu.

• Trong $\triangle ABC$: $CA = 18 – AB – BC = 18 – 4 – 6 = 8$ (cm).
• Trong $\triangle DEF$: $EF = 27 – DE – FD = 27 – 6 – 12 = 9$ (cm).

Bước 2: Lập tỉ số ba cặp cạnh tương ứng.

$$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}; \quad \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}; \quad \dfrac{CA}{FD} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}.$$

Ba tỉ số bằng nhau, theo trường hợp c.c.c: $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ với tỉ số $\dfrac{2}{3}$.

Vận dụng (trang 84)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ. Bạn áo xanh nói tỉ lệ $(7{,}32 : 10{,}98 : 14{,}64) = (1 : 1{,}5 : 2)$; bạn áo vàng nói $= (2 : 3 : 4)$.

Lời giải:

Cả hai bạn đều đúng, vì:

$$\dfrac{7{,}32}{2} = \dfrac{10{,}98}{3} = \dfrac{14{,}64}{4} = 3{,}66 \quad \text{và} \quad \dfrac{7{,}32}{1} = \dfrac{10{,}98}{1{,}5} = \dfrac{14{,}64}{2} = 7{,}32,$$

nên $(7{,}32 : 10{,}98 : 14{,}64)$ thật sự đồng thời bằng $(2 : 3 : 4)$ và $(1 : 1{,}5 : 2)$.

Cách đo góc sút:

• Bước 1: Vẽ một tam giác $A’B’C’$ có ba cạnh dài $2$ cm, $3$ cm, $4$ cm (tỉ lệ với $7{,}32$ m; $10{,}98$ m; $14{,}64$ m).
• Bước 2: Theo trường hợp c.c.c, tam giác $A’B’C’$ đồng dạng với tam giác thực tế (gồm trái bóng và hai chân cột gôn). Do đó các góc tương ứng bằng nhau.
• Bước 3: Dùng thước đo độ đo góc đối diện cạnh $2$ cm (cạnh tỉ lệ với khung thành $7{,}32$ m). Đó chính là góc sút cần tìm.

Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác (c.g.c)

Hoạt động 2 (trang 85)

Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có độ dài các cạnh (cm) như Hình 9.15: $AB = 3$, $AC = 2$, $A’B’ = 4{,}5$, $A’C’ = 3$ và $\widehat{A} = \widehat{A’} = 60^\circ$.

• So sánh các tỉ số $\dfrac{A’B’}{AB}$, $\dfrac{A’C’}{AC}$.
• Dùng thước có vạch chia đo độ dài $BC$, $B’C’$ và tính tỉ số $\dfrac{B’C’}{BC}$.
• Theo em, tam giác $A’B’C’$ có đồng dạng với tam giác $ABC$ không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Lời giải:

So sánh hai tỉ số cạnh:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{4{,}5}{3} = \dfrac{3}{2}; \quad \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{3}{2}$.

Đo $BC$, $B’C’$ và lập tỉ số: Dùng thước có vạch chia (trên hình SGK) đo được $BC \approx 2{,}65$ cm và $B’C’ \approx 3{,}97$ cm. Khi đó:

$$\dfrac{B’C’}{BC} \approx \dfrac{3{,}97}{2{,}65} \approx \dfrac{3}{2}.$$

Kết luận: Ba tỉ số bằng nhau và $\widehat{A} = \widehat{A’}$, do đó $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ (theo c.c.c) với tỉ số đồng dạng $\dfrac{3}{2}$.

Nhận xét quan trọng: trong trường hợp này, chỉ cần hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau là đủ để hai tam giác đồng dạng — đây là trường hợp đồng dạng c.g.c.

Câu hỏi trang 86 (Hình 9.17)

Đề bài: Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét.) Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Cả ba tam giác đều có một góc $70^\circ$ ở đỉnh đầu tiên (xen giữa hai cạnh đã biết). Ta xét tỉ số hai cặp cạnh xen quanh góc đó.

Cặp 1: $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$:

$$\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{AC}{MP} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}; \quad \widehat{A} = \widehat{M} = 70^\circ.$$

Theo c.g.c: $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$ với tỉ số $\dfrac{1}{2}$.

Cặp $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$: $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{3}{4}$; $\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{2}{3}$ — không bằng nhau, nên không đồng dạng.

Cặp $\triangle DEF$ và $\triangle MNP$: $\dfrac{DE}{MN} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{DF}{MP} = \dfrac{3}{4}$ — không bằng nhau, nên không đồng dạng.

Kết luận: Chỉ có $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$.

Luyện tập 2 (trang 86)

Đề bài: Cho $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$. Trên tia đối của các tia $CB$, $C’B’$ lần lượt lấy các điểm $M$, $M’$ sao cho $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{M’C’}{M’B’}$. Chứng minh rằng $\triangle A’B’M’ \backsim \triangle ABM$.

Lời giải:

Bước 1: Khai thác giả thiết tỉ số.

Vì $M$ trên tia đối của tia $CB$ nên $C$ nằm giữa $B$ và $M$, suy ra $MB = MC + CB$, hay $\dfrac{MC}{MB} = 1 – \dfrac{BC}{MB}$. Tương tự $\dfrac{M’C’}{M’B’} = 1 – \dfrac{B’C’}{M’B’}$. Từ $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{M’C’}{M’B’}$, ta suy ra:

$$\dfrac{BC}{MB} = \dfrac{B’C’}{M’B’} ;\Rightarrow; \dfrac{MB}{M’B’} = \dfrac{BC}{B’C’}. \quad (\star)$$

Bước 2: Đặt $k$ là tỉ số đồng dạng.

Vì $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ nên $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = k$ và $\widehat{ABC} = \widehat{A’B’C’}$.

Từ $(\star)$: $\dfrac{M’B’}{MB} = \dfrac{B’C’}{BC} = k = \dfrac{A’B’}{AB}$.

Vậy $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{M’B’}{MB}$.

Bước 3: Áp dụng c.g.c.

Vì $M$ thuộc tia $BC$ kéo dài qua $C$ nên $\widehat{ABM} = \widehat{ABC}$. Tương tự $\widehat{A’B’M’} = \widehat{A’B’C’}$. Do đó $\widehat{ABM} = \widehat{A’B’M’}$.

Hai tam giác $\triangle ABM$ và $\triangle A’B’M’$ có:

• $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{M’B’}{MB}$ (hai cặp cạnh tỉ lệ),
• $\widehat{ABM} = \widehat{A’B’M’}$ (góc xen giữa bằng nhau).

Theo c.g.c: $\triangle A’B’M’ \backsim \triangle ABM$.

Tranh luận (trang 86)

Đề bài: Bạn Lan nhận xét rằng nếu hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}$ và $\widehat{B’} = \widehat{B}$ thì chúng đồng dạng. Theo em, bạn Lan nhận xét có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Lan nhận xét sai. Trong trường hợp c.g.c, góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ — tức góc tại $A$ (giữa $AB$ và $AC$) chứ không phải góc tại $B$.

Phản ví dụ: Vẽ $\triangle ABC$ với $\widehat{ACB}$ tù. Trên tia $BC$ (kéo dài qua $C$), lấy điểm $M$ sao cho $AM = AC$. Khi đó $\triangle AMC$ cân tại $A$, có:

$$\widehat{AMC} = \widehat{ACM} = 180^\circ – \widehat{ACB} \quad (\text{vì } \widehat{ACM} \text{ kề bù với } \widehat{ACB}).$$

Vì $\widehat{ACB}$ tù nên $\widehat{AMC}$ nhọn.

So sánh $\triangle ABM$ và $\triangle ABC$:

• Cạnh $AB$ chung; góc $\widehat{ABM} = \widehat{ABC}$ (vì $M$ trên tia $BC$); $AM = AC$.
• Vậy hai cặp cạnh tỉ lệ ($AB:AB = 1$, $AM:AC = 1$) và một cặp góc bằng nhau ($\widehat{B}$).

Theo nhận xét của Lan, hai tam giác này phải đồng dạng (với tỉ số $1$, tức bằng nhau). Nhưng $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (vì $M$ ngoài $C$, tia $MB$ và tia $MC$ cùng phương) là góc nhọn, trong khi $\widehat{ACB}$ là góc tù. Hai tam giác không có các góc tương ứng bằng nhau, nên không đồng dạng. Vậy nhận xét của Lan sai.

Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác (g.g)

Hoạt động 3 (trang 87)

Đề bài: Bạn Tròn đứng ở vị trí $A$ bên bờ sông và nhờ anh Pi tính khoảng cách từ đó đến chân cột cờ $C$ bên kia sông. Anh Pi lấy vị trí $B$ sao cho $AB = 10$ m, $\widehat{ABC} = 70^\circ$, $\widehat{BAC} = 80^\circ$ rồi vẽ $\triangle A’B’C’$ trên giấy với $A’B’ = 2$ cm, $\widehat{A’B’C’} = 70^\circ$, $\widehat{B’A’C’} = 80^\circ$. Em hãy dự đoán $\triangle A’B’C’$ có đồng dạng với $\triangle ABC$ không. Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Lời giải:

Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau:

$$\widehat{B’A’C’} = \widehat{BAC} = 80^\circ; \quad \widehat{A’B’C’} = \widehat{ABC} = 70^\circ.$$

Theo trường hợp g.g: $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$. Tỉ số đồng dạng:

$$k = \dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{2 \text{ cm}}{10 \text{ m}} = \dfrac{2 \text{ cm}}{1000 \text{ cm}} = \dfrac{1}{500}.$$

Hoạt động 4 (trang 87)

Đề bài: Nếu $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ và anh Pi đo được $A’C’ = 3{,}76$ cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Theo HĐ3, tỉ số đồng dạng $\dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{1}{500}$. Suy ra:

$$AC = A’C’ \cdot 500 = 3{,}76 \cdot 500 = 1880 \text{ (cm)} = 18{,}8 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là $18{,}8$ m.

Câu hỏi trang 88 (Hình 9.22)

Đề bài: Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Bước 1: Tính góc còn lại của mỗi tam giác (tổng ba góc bằng $180^\circ$):

• $\triangle ABC$: $\widehat{C} = 180^\circ – 60^\circ – 50^\circ = 70^\circ$.
• $\triangle DEF$: $\widehat{F} = 180^\circ – 60^\circ – 50^\circ = 70^\circ$.
• $\triangle MNP$: $\widehat{P} = 180^\circ – 60^\circ – 70^\circ = 50^\circ$.

Bước 2: So sánh các bộ góc:

• $\triangle ABC$: $(60^\circ; 50^\circ; 70^\circ)$ với đỉnh $(A; B; C)$.
• $\triangle DEF$: $(60^\circ; 50^\circ; 70^\circ)$ với đỉnh $(D; E; F)$.
• $\triangle MNP$: $(60^\circ; 70^\circ; 50^\circ)$ với đỉnh $(M; N; P)$ — sắp lại theo thứ tự đỉnh $(M; P; N)$ thì các góc là $(60^\circ; 50^\circ; 70^\circ)$.

Bước 3: Viết các cặp đồng dạng (theo trường hợp g.g):

• $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ (tương ứng $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$).
• $\triangle ABC \backsim \triangle MPN$ (tương ứng $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow P$, $C \leftrightarrow N$).
• $\triangle DEF \backsim \triangle MPN$ (tương tự).

Luyện tập 3 (trang 88)

Đề bài: Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ như Hình 9.24. Biết rằng $\widehat{ABC} = \widehat{ADB}$. Hãy chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$ và $AB^2 = AD \cdot AC$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$.

Xét hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ADB$:

• $\widehat{BAC} = \widehat{DAB}$ — đây là góc chung tại đỉnh $A$ (vì $C$ nằm trên đoạn $AD$ nên tia $AC$ trùng tia $AD$).
• $\widehat{ABC} = \widehat{ADB}$ — theo giả thiết.

Theo trường hợp g.g: $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$.

Bước 2: Suy ra $AB^2 = AD \cdot AC$.

Từ $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Đối chiếu thứ tự đỉnh $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow B$:

$$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AB}.$$

Nhân chéo: $AB \cdot AB = AD \cdot AC$, hay $AB^2 = AD \cdot AC$.

Thử thách nhỏ (trang 89)

Đề bài:

1. Biết rằng ba đường phân giác của $\triangle ABC$ đồng quy tại $I$, ba đường phân giác của $\triangle A’B’C’$ đồng quy tại $I’$. Hãy chứng tỏ rằng nếu $\widehat{A’I’B’} = \widehat{AIB}$ và $\widehat{A’I’C’} = \widehat{AIC}$ thì $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$.
2. Với hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ trong phần Tranh luận, nếu thêm giả thiết các góc $C$ và $C’$ nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Lời giải:

1) Tính $\widehat{AIB}$ trong $\triangle AIB$. Vì $AI$, $BI$ là phân giác trong, ta có $\widehat{IAB} = \dfrac{\widehat{A}}{2}$ và $\widehat{IBA} = \dfrac{\widehat{B}}{2}$. Tổng ba góc trong $\triangle AIB$ bằng $180^\circ$:

$$\widehat{AIB} = 180^\circ – \dfrac{\widehat{A}}{2} – \dfrac{\widehat{B}}{2} = 180^\circ – \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2} = 180^\circ – \dfrac{180^\circ – \widehat{C}}{2} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{C}}{2}.$$

Tương tự: $\widehat{AIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{B}}{2}$; trong $\triangle A’B’C’$: $\widehat{A’I’B’} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{C’}}{2}$, $\widehat{A’I’C’} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{B’}}{2}$.

Từ giả thiết:

• $\widehat{A’I’B’} = \widehat{AIB}$ $\Rightarrow$ $90^\circ + \dfrac{\widehat{C’}}{2} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{C}}{2}$ $\Rightarrow$ $\widehat{C’} = \widehat{C}$.
• $\widehat{A’I’C’} = \widehat{AIC}$ $\Rightarrow$ $\widehat{B’} = \widehat{B}$.

Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau ($\widehat{B’} = \widehat{B}$, $\widehat{C’} = \widehat{C}$), theo g.g: $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$.

2) Có, hai tam giác đồng dạng. Lập luận:

Đặt $k = \dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}$. Trên tia $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $\dfrac{BM}{B’C’} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{1}{k}$. Khi đó $\triangle ABM$ và $\triangle A’B’C’$ có $\widehat{B} = \widehat{B’}$ (giả thiết) và hai cặp cạnh xen quanh góc đó tỉ lệ ($\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BM} = k$). Theo c.g.c: $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABM$. Đặc biệt $\dfrac{A’C’}{AM} = k$, suy ra $AM = \dfrac{A’C’}{k} = AC$.

• Nếu $M \equiv C$: $\triangle ABC = \triangle ABM \backsim \triangle A’B’C’$. Xong.
• Nếu $M \neq C$: $\triangle AMC$ cân tại $A$ ($AM = AC$), suy ra $\widehat{AMC} = \widehat{ACM}$.
  • Nếu $M$ nằm giữa $B$ và $C$: $\widehat{AMB}$ kề bù với $\widehat{AMC}$, mà $\widehat{AMC} = \widehat{ACM} = \widehat{C}$, nên $\widehat{AMB} = 180^\circ – \widehat{C}$. Theo $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABM$ thì $\widehat{AMB} = \widehat{C’}$, suy ra $\widehat{C} + \widehat{C’} = 180^\circ$. Nhưng $\widehat{C}$, $\widehat{C’}$ nhọn nên $\widehat{C} + \widehat{C’} < 180^\circ$ — mâu thuẫn.
  • Nếu $C$ nằm giữa $B$ và $M$: $\widehat{ACM}$ kề bù với $\widehat{ACB} = \widehat{C}$, nên $\widehat{ACM} = 180^\circ – \widehat{C}$. Đồng thời $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = \widehat{ACM} = 180^\circ – \widehat{C}$. Tương tự suy ra $\widehat{C} + \widehat{C’} = 180^\circ$ — mâu thuẫn.

Vậy chỉ có $M \equiv C$, dẫn đến $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

Bài tập (trang 89–90)

Bài 9.5 (trang 89)

Đề bài: Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia;

b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau;

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia;

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

Lời giải:

• a) Đúng — trường hợp đồng dạng c.c.c.
• b) Sai — cần thêm điều kiện cặp góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ (tức trường hợp c.g.c đúng nghĩa).
• c) Đúng — trường hợp đồng dạng g.g.
• d) Sai — hai cạnh bằng nhau không đủ để khẳng định ba cạnh tỉ lệ hoặc có góc xen giữa.

Kết luận: Các giả thiết đúng là a) và c).

Bài 9.6 (trang 89)

Đề bài: Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là $4$ cm, $8$ cm và $10$ cm. Tam giác thứ hai có chu vi là $33$ cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) $6$ cm, $12$ cm, $15$ cm; b) $8$ cm, $16$ cm, $20$ cm; c) $6$ cm, $9$ cm, $18$ cm; d) $8$ cm, $10$ cm, $15$ cm.

Lời giải:

Chu vi tam giác thứ nhất $= 4 + 8 + 10 = 22$ (cm). Vì hai tam giác đồng dạng nên tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng:

$$k = \dfrac{33}{22} = \dfrac{3}{2}.$$

Ba cạnh của tam giác thứ hai $= 4 \cdot \dfrac{3}{2}; ; 8 \cdot \dfrac{3}{2}; ; 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 6; 12; 15$ (cm).

Đáp án: a) $6$ cm, $12$ cm, $15$ cm.

Bài 9.7 (trang 89)

Đề bài: Cho $AM$, $BN$, $CP$ là các đường trung tuyến của $\triangle ABC$. Cho $A’M’$, $B’N’$, $C’P’$ là các đường trung tuyến của $\triangle A’B’C’$. Biết rằng $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$. Chứng minh rằng $\dfrac{A’M’}{AM} = \dfrac{B’N’}{BN} = \dfrac{C’P’}{CP}$.

Lời giải:

Đặt $k = \dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{C’A’}{CA}$ là tỉ số đồng dạng.

Áp dụng kết quả ở Ví dụ 2 trang 85 (đã chứng minh trong SGK): nếu $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ và $M$, $M’$ là trung điểm $BC$, $B’C’$ thì $\triangle A’B’M’ \backsim \triangle ABM$, suy ra:

$$\dfrac{A’M’}{AM} = \dfrac{A’B’}{AB} = k.$$

Lập luận hoàn toàn tương tự cho hai cặp đường trung tuyến còn lại (chỉ thay vai trò $A$ bởi $B$ rồi $C$):

$$\dfrac{B’N’}{BN} = k; \quad \dfrac{C’P’}{CP} = k.$$

Vậy $\dfrac{A’M’}{AM} = \dfrac{B’N’}{BN} = \dfrac{C’P’}{CP} = k$.

Bài 9.8 (trang 89)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 12$ cm, $AC = 15$ cm. Trên các tia $AB$, $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $AM = 10$ cm, $AN = 8$ cm. Chứng minh rằng $\triangle ABC \backsim \triangle ANM$.

Lời giải:

Xét hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ANM$:

• $\widehat{BAC} = \widehat{NAM}$ (vì $M$ trên tia $AB$, $N$ trên tia $AC$ nên góc tại $A$ là cùng một góc).
• Lập tỉ số hai cặp cạnh xen quanh góc $\widehat{A}$ (lưu ý tương ứng $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow M$):

$$\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}; \quad \dfrac{AC}{AM} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{AC}{AM}$ và $\widehat{BAC} = \widehat{NAM}$ (góc xen giữa). Theo trường hợp c.g.c:

$$\triangle ABC \backsim \triangle ANM \quad \text{với tỉ số } \dfrac{3}{2}.$$

Bài 9.9 (trang 89)

Đề bài: Cho góc $BAC$ và các điểm $M$, $N$ lần lượt trên các đoạn thẳng $AB$, $AC$ sao cho $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$.

a) Chứng minh rằng $\triangle ABN \backsim \triangle ACM$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Chứng minh rằng $IB \cdot IN = IC \cdot IM$.

Lời giải:

a) Chứng minh $\triangle ABN \backsim \triangle ACM$.

Xét hai tam giác $\triangle ABN$ và $\triangle ACM$:

• $\widehat{BAN} = \widehat{CAM}$ (cùng là $\widehat{BAC}$, vì $M$ trên $AB$, $N$ trên $AC$).
• $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$ (giả thiết).

Theo g.g: $\triangle ABN \backsim \triangle ACM$.

b) Chứng minh $IB \cdot IN = IC \cdot IM$.

Xét hai tam giác $\triangle IBM$ và $\triangle ICN$:

• $\widehat{BIM} = \widehat{CIN}$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{IBM} = \widehat{ABN}$ (cùng là góc tại $B$ trên đường $BN$) $= \widehat{ACM} = \widehat{ICN}$ (giả thiết và cùng là góc tại $C$ trên đường $CM$).

Theo g.g: $\triangle IBM \backsim \triangle ICN$. Suy ra:

$$\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{IM}{IN} ;\Rightarrow; IB \cdot IN = IC \cdot IM.$$

Bài 9.10 (trang 90)

Đề bài: Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là $3$ m và $2$ m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (Hình 9.25). Hãy tính độ cao $h$ của điểm đó so với mặt đất.

Lời giải:

Bước 1: Đặt tên các điểm. Gọi $AB$ là cột cao $3$ m ($A$ là đỉnh, $B$ là chân); $CD$ là cột cao $2$ m ($C$ là đỉnh, $D$ là chân); $B$ và $D$ cùng nằm trên mặt đất. Hai sợi dây là $AD$ và $BC$, cắt nhau tại $E$. Gọi $F$ là chân đường vuông góc hạ từ $E$ xuống $BD$. Khi đó $EF = h$.

Bước 2: Lập hai cặp tam giác đồng dạng.

Vì $AB$, $CD$, $EF$ cùng vuông góc với $BD$ nên $AB \parallel CD \parallel EF$.

Cặp 1: Trong $\triangle DAB$, đoạn $EF \parallel AB$ ($E \in AD$, $F \in DB$). Theo định lí về tam giác có đường thẳng song song với một cạnh:

$$\triangle DEF \backsim \triangle DAB ;\Rightarrow; \dfrac{EF}{AB} = \dfrac{DF}{DB} ;\Rightarrow; \dfrac{h}{3} = \dfrac{DF}{DB}. \quad (1)$$

Cặp 2: Trong $\triangle BCD$, đoạn $EF \parallel CD$ ($E \in BC$, $F \in BD$). Tương tự:

$$\triangle BEF \backsim \triangle BCD ;\Rightarrow; \dfrac{EF}{CD} = \dfrac{BF}{BD} ;\Rightarrow; \dfrac{h}{2} = \dfrac{BF}{BD}. \quad (2)$$

Bước 3: Tính $h$. Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế:

$$\dfrac{h}{3} + \dfrac{h}{2} = \dfrac{DF}{DB} + \dfrac{BF}{BD} = \dfrac{DF + BF}{BD} = \dfrac{BD}{BD} = 1.$$

(Vì $F$ nằm giữa $B$ và $D$ nên $BF + FD = BD$.)

Giải phương trình $\dfrac{h}{3} + \dfrac{h}{2} = 1$:

$$\dfrac{2h + 3h}{6} = 1 ;\Rightarrow; 5h = 6 ;\Rightarrow; h = \dfrac{6}{5} = 1{,}2 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Độ cao của điểm giao so với mặt đất là $h = 1{,}2$ m. (Đáng chú ý: kết quả này không phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai chân cột.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du