A. Trắc nghiệm (trang 110)

Bài 9.37 (trang 110)

Đề bài: Cho $ABC$ là tam giác không cân. Biết $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\triangle A’C’B’ \backsim \triangle ACB$.
B. $\triangle B’C’A’ \backsim \triangle BAC$.
C. $\triangle B’A’C’ \backsim \triangle BCA$.
D. $\triangle A’C’B’ \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

Từ $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$, các đỉnh tương ứng là: $A’ \leftrightarrow A$, $B’ \leftrightarrow B$, $C’ \leftrightarrow C$.

Khi viết kí hiệu đồng dạng dưới một thứ tự đỉnh khác, ta cần giữ đúng các cặp tương ứng:

• A. $\triangle A’C’B’ \backsim \triangle ACB$: $A’ \leftrightarrow A$, $C’ \leftrightarrow C$, $B’ \leftrightarrow B$ — vẫn đúng cặp tương ứng. ĐÚNG.
• B. $\triangle B’C’A’ \backsim \triangle BAC$: $B’ \leftrightarrow B$, $C’ \leftrightarrow A$, $A’ \leftrightarrow C$ — sai cặp ($C’ \ne A$). SAI.
• C. $\triangle B’A’C’ \backsim \triangle BCA$: $A’ \leftrightarrow C$ — sai. SAI.
• D. $\triangle A’C’B’ \backsim \triangle ABC$: $C’ \leftrightarrow B$ — sai. SAI.

Đáp án: A.

Bài 9.38 (trang 110)

Đề bài: Cho $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng bằng $2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\dfrac{AB}{A’B’} = 2$.
B. $\dfrac{AB}{A’C’} = 2$.
C. $\dfrac{A’B’}{AB} = 2$.
D. $\dfrac{A’B’}{AC} = 2$.

Lời giải:

Vì $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng bằng $2$, theo định nghĩa tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{C’A’}{CA} = 2.$$

• A. $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{1}{2} \ne 2$. SAI.
• B. So sánh không tương ứng ($AB$ ứng với $A’B’$, không phải $A’C’$). SAI.
• C. $\dfrac{A’B’}{AB} = 2$ — đúng theo định nghĩa. ĐÚNG.
• D. So sánh không tương ứng. SAI.

Đáp án: C.

Bài 9.39 (trang 110)

Đề bài: Trong các bộ ba số đo dưới đây, đâu là số đo ba cạnh của một tam giác vuông?

A. $3$ m; $5$ m; $6$ m.
B. $6$ m; $8$ m; $10$ m.
C. $1$ m; $0{,}5$ m; $1{,}25$ m.
D. $9$ m; $16$ m; $25$ m.

Lời giải:

Theo định lí Pythagore đảo (Bài 35): bộ ba độ dài $a$, $b$, $c$ (với $c$ là số lớn nhất) là ba cạnh tam giác vuông khi và chỉ khi $a^2 + b^2 = c^2$.

• A. Cạnh lớn nhất $6$. Kiểm tra: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$, mà $6^2 = 36$. Vì $34 \ne 36$ nên không là tam giác vuông.
• B. Cạnh lớn nhất $10$. Kiểm tra: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓ → là tam giác vuông.
• C. Cạnh lớn nhất $1{,}25$. Kiểm tra: $0{,}5^2 + 1^2 = 0{,}25 + 1 = 1{,}25$, mà $1{,}25^2 = 1{,}5625$. Vì $1{,}25 \ne 1{,}5625$ nên không là tam giác vuông.
• D. $9 + 16 = 25$ — không thoả mãn bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh bằng cạnh thứ ba), nên không phải tam giác.

Đáp án: B.

Bài 9.40 (trang 110)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB \ne AC$) và tam giác $DEF$ vuông tại $D$ ($DE \ne DF$). Điều nào dưới đây không suy ra $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$?

A. $\widehat{B} = \widehat{E}$.
B. $\widehat{C} = \widehat{F}$.
C. $\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F}$.
D. $\widehat{B} – \widehat{C} = \widehat{E} – \widehat{F}$.

Lời giải:

Cả hai tam giác đều vuông nên $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$. Tổng hai góc nhọn của mỗi tam giác bằng $90^\circ$:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F} = 90^\circ. \qquad (\star)$$

• A. $\widehat{B} = \widehat{E}$ → cùng có một cặp góc nhọn bằng nhau → theo Định lí 1 (Bài 36): $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$. Suy ra được.
• B. $\widehat{C} = \widehat{F}$ → tương tự, có một cặp góc nhọn bằng nhau → suy ra được.
• C. $\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F}$ — điều này luôn đúng với mọi tam giác vuông (đều bằng $90^\circ$) theo $(\star)$, nên không cung cấp thêm thông tin, không suy ra được đồng dạng.
• D. Có $\widehat{B} – \widehat{C} = \widehat{E} – \widehat{F}$ và $\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F}$ (theo $(\star)$). Cộng hai đẳng thức: $2\widehat{B} = 2\widehat{E}$, tức $\widehat{B} = \widehat{E}$ → suy ra được đồng dạng (như câu A).

Đáp án: C — điều kiện $\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F}$ không đủ để suy ra đồng dạng.

B. Tự luận (trang 110–111)

Bài 9.41 (trang 110)

Đề bài: Cho Hình 9.73, biết rằng $MN \parallel AB$, $MP \parallel AC$. Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng có trong hình.

Lời giải:

Áp dụng định lí (Bài 33): nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Cặp 1: Vì $MP \parallel AC$ với $M \in BC$, $P \in BA$, ta có $\triangle BPM \backsim \triangle BAC$ (đỉnh chung $B$).

Cặp 2: Vì $MN \parallel AB$ với $M \in CB$, $N \in CA$, ta có $\triangle CNM \backsim \triangle CAB$ (đỉnh chung $C$).

Cặp 3: Từ Cặp 1 và Cặp 2 (cùng đồng dạng với $\triangle ABC$), bằng tính chất bắc cầu: $\triangle BPM \backsim \triangle MNC$ (lưu ý thứ tự đỉnh phải khớp các góc tương ứng: góc $B = $ góc $M$, góc $P = $ góc $N$, góc $M = $ góc $C$).

Kết luận: Ba cặp tam giác đồng dạng là:

$$\triangle BPM \backsim \triangle BAC; \quad \triangle CNM \backsim \triangle CAB; \quad \triangle BPM \backsim \triangle MNC.$$

Bài 9.42 (trang 110)

Đề bài: Cho Hình 9.74, biết rằng $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$. Chứng minh rằng $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$ và $\triangle BOE \backsim \triangle COD$.

Lời giải:

Chứng minh $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$:

Hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

• $\widehat{A}$ chung ($\widehat{BAD} = \widehat{CAE}$ vì cùng là góc $\widehat{DAE}$ của tam giác lớn — do $B$ nằm trên $AE$ và $C$ nằm trên $AD$).
• $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (giả thiết).

Theo trường hợp đồng dạng g.g (Bài 34): $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$.

Chứng minh $\triangle BOE \backsim \triangle COD$:

Xét hai tam giác $\triangle BOE$ và $\triangle COD$.

• Góc $\widehat{BOE} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh tại $O$).
• Tính cặp góc nhọn còn lại: Vì $B$ nằm trên cạnh $AE$ nên ba điểm $A$, $B$, $E$ thẳng hàng. Hai góc $\widehat{ABD}$ và $\widehat{EBD}$ là hai góc kề bù (tạo bởi tia $BD$ với hai tia đối $BA$, $BE$), nên:

$$\widehat{EBD} = 180^\circ – \widehat{ABD}.$$

Tương tự, vì $A$, $C$, $D$ thẳng hàng, hai góc $\widehat{ACE}$ và $\widehat{DCE}$ kề bù:

$$\widehat{DCE} = 180^\circ – \widehat{ACE}.$$

Mà $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (giả thiết), nên $\widehat{EBD} = \widehat{DCE}$.

Lại có $\widehat{OBE} = \widehat{EBD}$ (do $O$ nằm trên đoạn $BD$, nên tia $BO$ trùng tia $BD$) và $\widehat{OCD} = \widehat{DCE}$ (do $O$ nằm trên đoạn $CE$).

Suy ra $\widehat{OBE} = \widehat{OCD}$.

• Kết luận đồng dạng: Hai tam giác $\triangle BOE$ và $\triangle COD$ có:
  • $\widehat{BOE} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh).
  • $\widehat{OBE} = \widehat{OCD}$ (chứng minh trên).

Theo trường hợp đồng dạng g.g: $\triangle BOE \backsim \triangle COD$. (đpcm)

Bài 9.43 (trang 110)

Đề bài: Hai đường trung tuyến $BM$, $CN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $G$ (H.9.75). Chứng minh rằng tam giác $GMN$ đồng dạng với tam giác $GBC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Bước 1: $MN$ là đường trung bình.

Theo giả thiết: $M$ là trung điểm $AC$ (vì $BM$ là trung tuyến) và $N$ là trung điểm $AB$ (vì $CN$ là trung tuyến).

Vậy $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ ứng với cạnh $BC$. Suy ra:

$$MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2} BC.$$

Bước 2: Chứng minh $\triangle GMN \backsim \triangle GBC$.

Xét hai tam giác $\triangle GMN$ và $\triangle GBC$:

• $\widehat{MGN} = \widehat{BGC}$ (hai góc đối đỉnh tại $G$, vì $M$, $G$, $B$ thẳng hàng trên trung tuyến $BM$ và $N$, $G$, $C$ thẳng hàng trên trung tuyến $CN$).
• $\widehat{GMN} = \widehat{GBC}$ (hai góc so le trong, do $MN \parallel BC$ và cát tuyến $BM$).

Theo trường hợp đồng dạng g.g: $\triangle GMN \backsim \triangle GBC$.

Bước 3: Tìm tỉ số đồng dạng.

Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác $\triangle GMN$ và $\triangle GBC$:

$$\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{2}.$$

Kết luận: $\triangle GMN \backsim \triangle GBC$ với tỉ số đồng dạng bằng $\dfrac{1}{2}$.

Bài 9.44 (trang 111)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm. Gọi $AH$, $HD$ lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ và đỉnh $H$ của tam giác $HAB$.

a) Chứng minh rằng $\triangle HDA \backsim \triangle AHC$.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $HA$, $HB$, $HC$, $HD$.

Lời giải:

Phân tích cấu hình: $\triangle ABC$ vuông tại $A$. $AH \perp BC$ tại $H$ nên $\triangle AHB$ vuông tại $H$. Trong tam giác vuông này, đường cao $HD$ kẻ từ đỉnh góc vuông $H$ phải vuông góc với cạnh đối diện, tức $HD \perp AB$ tại $D$ (với $D \in AB$).

a) Chứng minh $\triangle HDA \backsim \triangle AHC$.

Hai tam giác $\triangle HDA$ và $\triangle AHC$ đều là tam giác vuông:

• $\triangle HDA$ vuông tại $D$ (vì $HD \perp AB$, $D$ thuộc $AB$ nên $D$ là chân đường cao).
• $\triangle AHC$ vuông tại $H$ (vì $AH \perp BC$).

Tìm một cặp góc nhọn bằng nhau:

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.

Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $\widehat{HAC} + \widehat{HCA} = 90^\circ$. Mà $\widehat{HCA} = \widehat{C}$ nên $\widehat{HAC} = 90^\circ – \widehat{C} = \widehat{B}$.

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $\widehat{HAB} + \widehat{HBA} = 90^\circ$. Mà $\widehat{HBA} = \widehat{B}$ nên $\widehat{HAB} = 90^\circ – \widehat{B} = \widehat{C}$.

Trong $\triangle HDA$ vuông tại $D$: $\widehat{DAH} + \widehat{AHD} = 90^\circ$. Mà $\widehat{DAH} = \widehat{HAB} = \widehat{C}$ (do $D$ trên $AB$), nên:

$$\widehat{AHD} = 90^\circ – \widehat{C} = \widehat{B}.$$

Vậy $\widehat{AHD} = \widehat{HAC}$ (cùng bằng $\widehat{B}$).

Hai tam giác vuông $\triangle HDA$ (vuông tại $D$) và $\triangle AHC$ (vuông tại $H$) có cặp góc nhọn $\widehat{AHD} = \widehat{HAC}$.

Theo Định lí 1 (Bài 36): $\triangle HDA \backsim \triangle AHC$. (đpcm)

b) Tính $HA$, $HB$, $HC$, $HD$.

Bước 1: Tính $BC$ bằng định lí Pythagore.

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 25 + 16 = 41$, nên $BC = \sqrt{41}$ cm.

Bước 2: Tính $HB$ và $HC$ bằng tam giác đồng dạng.

Xét $\triangle HBA$ và $\triangle ABC$: cùng vuông (tại $H$ và $A$), có chung $\widehat{B}$.

Theo Định lí 1 (Bài 36): $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$, suy ra:

$$\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{AB}{BC} ;\Rightarrow; HB = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{25}{\sqrt{41}} = \dfrac{25\sqrt{41}}{41} \text{ (cm)}.$$

Tương tự, $\triangle HAC \backsim \triangle ABC$ (cùng vuông, chung $\widehat{C}$):

$$\dfrac{HC}{AC} = \dfrac{AC}{BC} ;\Rightarrow; HC = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{16}{\sqrt{41}} = \dfrac{16\sqrt{41}}{41} \text{ (cm)}.$$

Bước 3: Tính $HA$ bằng định lí Pythagore (hoặc đồng dạng).

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $AH^2 = AB^2 – HB^2$.

Hoặc dùng tỉ số đồng dạng từ $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$:

$$\dfrac{HA}{AC} = \dfrac{AB}{BC} ;\Rightarrow; HA = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{5 \cdot 4}{\sqrt{41}} = \dfrac{20}{\sqrt{41}} = \dfrac{20\sqrt{41}}{41} \text{ (cm)}.$$

Bước 4: Tính $HD$.

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, $HD$ là đường cao xuống cạnh huyền $AB$. Tính diện tích $\triangle AHB$ bằng hai cách:

$$S_{AHB} = \dfrac{1}{2} \cdot HA \cdot HB \quad \text{(hai cạnh góc vuông)}$$

$$S_{AHB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot HD \quad \text{(cạnh huyền và đường cao)}.$$

Cân bằng: $HA \cdot HB = AB \cdot HD$, suy ra:

$$HD = \dfrac{HA \cdot HB}{AB} = \dfrac{\dfrac{20}{\sqrt{41}} \cdot \dfrac{25}{\sqrt{41}}}{5} = \dfrac{\dfrac{500}{41}}{5} = \dfrac{100}{41} \text{ (cm)}.$$

Kết luận:

$$HA = \dfrac{20\sqrt{41}}{41} \text{ cm}; \quad HB = \dfrac{25\sqrt{41}}{41} \text{ cm}; \quad HC = \dfrac{16\sqrt{41}}{41} \text{ cm}; \quad HD = \dfrac{100}{41} \text{ cm}.$$

Bài 9.45 (trang 111)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$. Biết $AH = 12$ cm, $CH = 9$ cm, $BH = 16$ cm. Lấy $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AH$, $BH$ (H.9.76).

a) Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

b) Chứng minh rằng $MN \perp AC$ và $CM \perp AN$.

c) Tính diện tích tam giác $AMN$.

Lời giải:

a) Chứng minh $ABC$ vuông tại $A$.

Vì $AH \perp BC$ tại $H$ và $H$ nằm giữa $B$ và $C$, nên:

• Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$, suy ra $AB = 20$ cm.
• Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $AC^2 = AH^2 + CH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$, suy ra $AC = 15$ cm.
• $BC = BH + HC = 16 + 9 = 25$ cm.

Kiểm tra: $AB^2 + AC^2 = 400 + 225 = 625 = 25^2 = BC^2$.

Theo định lí Pythagore đảo (Bài 35): $\triangle ABC$ vuông tại $A$. (đpcm)

b1) Chứng minh $MN \perp AC$.

Trong $\triangle AHB$, $M$ là trung điểm $AH$, $N$ là trung điểm $HB$. Suy ra $MN$ là đường trung bình của $\triangle AHB$ ứng với cạnh $AB$, nên:

$$MN \parallel AB.$$

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ (theo câu a) nên $AB \perp AC$. Mà $MN \parallel AB$ nên:

$$MN \perp AC. \quad \text{(đpcm)}$$

b2) Chứng minh $CM \perp AN$.

Tính các độ dài: $HM = \dfrac{AH}{2} = 6$ cm; $HN = \dfrac{HB}{2} = 8$ cm.

Xét hai tam giác vuông $\triangle AHN$ (vuông tại $H$) và $\triangle CHM$ (vuông tại $H$):

$$\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}; \quad \dfrac{HN}{HM} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}.$$

Vậy $\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{HN}{HM}$ — hai cạnh góc vuông tỉ lệ.

Theo Định lí 2 (Bài 36): $\triangle AHN \backsim \triangle CHM$ (với $A \leftrightarrow C$, $H \leftrightarrow H$, $N \leftrightarrow M$).

Suy ra: $\widehat{HAN} = \widehat{HCM}$ (đặt $= \alpha$).

Xét tam giác tạo bởi giao điểm: Gọi $K$ là giao điểm của $AN$ và $CM$.

Trong $\triangle AKC$:

• $\widehat{KAC} = \widehat{NAC} = \widehat{HAN} + \widehat{HAC} = \alpha + \widehat{HAC}$ (do $N$ và $C$ ở hai phía của $AH$).
• $\widehat{KCA} = \widehat{MCA} = \widehat{HCA} – \widehat{HCM} = \widehat{HCA} – \alpha$ (do tia $CM$ nằm giữa hai tia $CH$ và $CA$).

Cộng lại:

$$\widehat{KAC} + \widehat{KCA} = (\alpha + \widehat{HAC}) + (\widehat{HCA} – \alpha) = \widehat{HAC} + \widehat{HCA}.$$

Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $\widehat{HAC} + \widehat{HCA} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat{KAC} + \widehat{KCA} = 90^\circ$, suy ra:

$$\widehat{AKC} = 180^\circ – (\widehat{KAC} + \widehat{KCA}) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ.$$

Do đó $AN \perp CM$ tại $K$, tức $CM \perp AN$. (đpcm)

c) Tính diện tích $\triangle AMN$.

Cách đơn giản: tính qua hiệu diện tích hai tam giác vuông tại $H$.

• $\triangle AHN$ vuông tại $H$ với hai cạnh góc vuông $AH = 12$ và $HN = 8$:

$$S_{AHN} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot HN = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

• $\triangle MHN$ vuông tại $H$ với hai cạnh góc vuông $MH = 6$ và $HN = 8$:

$$S_{MHN} = \dfrac{1}{2} \cdot MH \cdot HN = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vì $M$ nằm trên đoạn $AH$ nên:

$$S_{AMN} = S_{AHN} – S_{MHN} = 48 – 24 = 24 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích tam giác $AMN$ bằng $24$ cm².

Bài 9.46 (trang 111)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và các điểm $D$, $E$, $F$ như Hình 9.77 sao cho $AD$ là phân giác của góc $BAC$, $DE$ và $DF$ lần lượt vuông góc với $AC$ và $BC$. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AB}{AB + AC}$, từ đó suy ra $AE = \dfrac{AB \cdot AC}{AB + AC}$;

b) $\triangle DFC \backsim \triangle ABC$;

c) $DF = DB$.

Lời giải:

a) Chứng minh $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AB}{AB + AC}$.

Bước 1: Hai đường $DE$ và $AB$ song song.

Vì $DE \perp AC$ (giả thiết) và $AB \perp AC$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$) nên $DE \parallel AB$.

Bước 2: Áp dụng định lí (Bài 33) cho $DE \parallel AB$.

Trong $\triangle ABC$, đường thẳng $DE$ song song với cạnh $AB$, cắt $BC$ tại $D$ và cắt $AC$ tại $E$. Theo định lí: ba cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ:

$$\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CE}{CA} = \dfrac{DE}{AB}. \quad (\star)$$

Bước 3: Tam giác $ADE$ vuông cân.

$\triangle ADE$ có $\widehat{AED} = 90^\circ$ (vì $DE \perp AC$). $\widehat{DAE} = \widehat{DAC} = 45^\circ$ (vì $AD$ phân giác của $\widehat{BAC} = 90^\circ$). Suy ra $\widehat{ADE} = 45^\circ$.

Vậy $\triangle ADE$ là tam giác vuông cân tại $E$, do đó $AE = DE$. $(\star\star)$

Bước 4: Suy ra tỉ số $BD/BC$.

Từ $(\star)$: $CE = CA \cdot \dfrac{CD}{CB}$ và $DE = AB \cdot \dfrac{CD}{CB}$.

Tính $AE$:

$$AE = CA – CE = CA – CA \cdot \dfrac{CD}{CB} = CA \cdot \dfrac{CB – CD}{CB} = CA \cdot \dfrac{BD}{CB}.$$

Từ $(\star\star)$ $AE = DE$:

$$CA \cdot \dfrac{BD}{CB} = AB \cdot \dfrac{CD}{CB} ;\Rightarrow; CA \cdot BD = AB \cdot CD ;\Rightarrow; \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}.$$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức:

$$\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC} ;\Rightarrow; \dfrac{BD}{BD + CD} = \dfrac{AB}{AB + AC} ;\Rightarrow; \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AB}{AB + AC}. \quad \text{(đpcm)}$$

Suy ra $AE$:

Từ Bước 4: $AE = AC \cdot \dfrac{BD}{BC} = AC \cdot \dfrac{AB}{AB + AC} = \dfrac{AB \cdot AC}{AB + AC}$. $;\square$

b) Chứng minh $\triangle DFC \backsim \triangle ABC$.

Trong $\triangle DFC$ và $\triangle ABC$:

• $\widehat{FDC} = 90^\circ$ (vì $DF \perp BC$, mà $DC$ nằm trên $BC$).
• $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (giả thiết).

Suy ra $\widehat{FDC} = \widehat{BAC}$.

Mặt khác, vì $F$ nằm trên cạnh $AC$ (giữa $A$ và $C$), tia $CF$ trùng với tia $CA$, nên:

$$\widehat{DCF} = \widehat{BCA} \quad \text{(cùng là góc } \widehat{C} \text{ của } \triangle ABC\text{)}.$$

Vậy $\triangle DFC$ và $\triangle ABC$ có hai cặp góc tương ứng bằng nhau ($\widehat{FDC} = \widehat{BAC}$ và $\widehat{DCF} = \widehat{BCA}$).

Theo trường hợp đồng dạng g.g: $\triangle DFC \backsim \triangle ABC$ (với $D \leftrightarrow A$, $F \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow C$). (đpcm)

c) Chứng minh $DF = DB$.

Bước 1: Tính $DC$ và $DB$ theo $AB$, $AC$, $BC$.

Từ câu a): $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AB}{AB + AC}$, suy ra:

$$BD = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC}.$$

Và:

$$DC = BC – BD = BC – \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{BC(AB + AC – AB)}{AB + AC} = \dfrac{AC \cdot BC}{AB + AC}.$$

Bước 2: Tính $DF$ từ tỉ số đồng dạng (câu b).

Từ $\triangle DFC \backsim \triangle ABC$, các cạnh tương ứng tỉ lệ:

$$\dfrac{DF}{AB} = \dfrac{DC}{AC} ;\Rightarrow; DF = AB \cdot \dfrac{DC}{AC}.$$

Thay $DC = \dfrac{AC \cdot BC}{AB + AC}$:

$$DF = AB \cdot \dfrac{\dfrac{AC \cdot BC}{AB + AC}}{AC} = AB \cdot \dfrac{BC}{AB + AC} = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC}.$$

Bước 3: So sánh.

$$DF = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = BD.$$

Kết luận: $DF = DB$. (đpcm)

Bài 9.47 (trang 111)

Đề bài: Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta cắm một cây cọc cao $1$ m vuông góc với mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là $1{,}5$ m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là $208{,}2$ m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Bước 1: Hai tam giác đồng dạng.

Cây cọc và bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông (gọi là $\triangle_1$).

Kim tự tháp và bóng của nó cũng tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông (gọi là $\triangle_2$).

Vì các tia sáng Mặt Trời song song với nhau, nên hai tam giác này có một cặp góc nhọn bằng nhau (góc tạo bởi tia sáng với mặt đất).

Theo Định lí 1 (Bài 36): $\triangle_1 \backsim \triangle_2$ (hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau).

Bước 2: Lập tỉ số và tính.

Gọi chiều cao kim tự tháp là $h$ (m). Từ đồng dạng, tỉ số chiều cao trên chiều dài bóng là như nhau ở cả hai tam giác:

$$\dfrac{h}{208{,}2} = \dfrac{1}{1{,}5}.$$

Suy ra:

$$h = \dfrac{208{,}2}{1{,}5} = 138{,}8 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Kim tự tháp cao khoảng $138{,}8$ m.

Bài 9.48 (trang 111)

Đề bài: Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ $1$ m nhìn sang toà nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả $6$ tầng của toà nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao $80$ cm và mỗi tầng của toà nhà đối diện cao $4$ m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến toà nhà đối diện là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Đổi đơn vị và tính tổng chiều cao 6 tầng.

$80$ cm $= 0{,}8$ m. Tổng chiều cao $6$ tầng của toà nhà đối diện: $6 \cdot 4 = 24$ (m).

Bước 2: Lập hai tam giác đồng dạng.

Vì Lan vừa nhìn thấy đúng tất cả $6$ tầng nên hai tia nhìn từ mắt Lan đi qua mép trên và mép dưới của cửa sổ sẽ chạm vào mép trên và mép dưới của 6 tầng đối diện.

Khi đó hai tam giác được tạo bởi:

• Tam giác nhỏ: mắt Lan, mép trên cửa sổ, mép dưới cửa sổ — “đáy” là chiều cao cửa sổ $= 0{,}8$ m, khoảng cách từ Lan đến đáy này $= 1$ m.
• Tam giác lớn: mắt Lan, mép trên 6 tầng, mép dưới 6 tầng — “đáy” là chiều cao 6 tầng $= 24$ m, khoảng cách từ Lan đến đáy này $= 1 + x$ m (với $x$ là khoảng cách từ cửa sổ đến tòa nhà đối diện).

Vì cửa sổ và mặt tòa nhà đối diện cùng thẳng đứng (song song), hai tam giác này đồng dạng (theo định lí về đường thẳng song song với cạnh tam giác — Bài 33).

Bước 3: Lập tỉ số và tính $x$.

Tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{0{,}8}{1} = \dfrac{24}{1 + x}.$$

Giải:

$$0{,}8 \cdot (1 + x) = 24 \cdot 1 ;\Rightarrow; 1 + x = \dfrac{24}{0{,}8} = 30 ;\Rightarrow; x = 29 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến toà nhà đối diện (tính từ cửa sổ nhà Lan đến mặt tường tòa đối diện) là $29$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du