• Hình chóp tam giác đều có mặt đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung một đỉnh.
• Đường cao là đoạn nối đỉnh hình chóp với trọng tâm của tam giác đáy.
• Trung đoạn là đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên (đoạn từ đỉnh hình chóp đến trung điểm của một cạnh đáy).
• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = p \cdot d$, trong đó $p$ là nửa chu vi đáy, $d$ là trung đoạn.
• Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$, trong đó $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.

Hình chóp tam giác đều

Câu hỏi mở đầu (trang 112)

Đề bài: Đỉnh FANSIPAN (Lào Cai) cao $3\,143$ m, là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều cạnh đáy dài $60$ cm, cạnh bên dài khoảng $96{,}4$ cm (H.10.1). Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu?

Lời giải: Đáp án được trình bày chi tiết ở phần Vận dụng bên dưới (sau khi đã học công thức tính diện tích xung quanh $S_{xq} = p \cdot d$).

Câu hỏi trang 113 (Hình 10.2)

Đề bài: Hãy gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao, một trung đoạn của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ trong Hình 10.2.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.2:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SA$, $SB$, $SC$.
• Các mặt bên: $SAB$, $SBC$, $SCA$ (ba tam giác cân chung đỉnh $S$).
• Mặt đáy: tam giác $ABC$ (tam giác đều).
• Đường cao: $SO$ (đoạn nối $S$ với trọng tâm $O$ của tam giác đáy).
• Một trung đoạn: $SH$ (đoạn từ $S$ đến trung điểm $H$ của một cạnh đáy, ở đây là $H$ trên cạnh đáy).

Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều

HĐ1 (trang 114)

Đề bài: Quan sát hình chóp tam giác đều và hình khai triển của nó (H.10.6). Hãy tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Lời giải:

Hình chóp tam giác đều có ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau.

Mỗi mặt bên có:

• Cạnh đáy $= 5$ cm.
• Đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống cạnh đáy (chính là trung đoạn) $= 6$ cm.

Diện tích một mặt bên (tam giác cân) là:

$$S_{\text{mặt bên}} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Tổng diện tích ba mặt bên:

$$S_{xq} = 3 \cdot 15 = 45 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp là $45$ cm².

HĐ2 (trang 114)

Đề bài: Hãy tính tích của nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn của hình chóp tam giác đều. So sánh kết quả vừa tính với tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi mặt đáy.

Mặt đáy là tam giác đều cạnh $5$ cm, chu vi $= 3 \cdot 5 = 15$ cm. Nửa chu vi:

$$p = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tích nửa chu vi với trung đoạn.

Trung đoạn $d = 6$ cm. Tích:

$$p \cdot d = 7{,}5 \cdot 6 = 45 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 3: So sánh.

Từ HĐ1, tổng diện tích các mặt bên cũng bằng $45$ cm². Vậy:

$$p \cdot d = S_{xq} = 45 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Tích nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn bằng tổng diện tích các mặt bên của hình chóp. Đây chính là công thức $S_{xq} = p \cdot d$ đã học trong bài.

Luyện tập (trang 114)

Đề bài: Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.MNP$ trong Hình 10.8, biết $IP = 3$ cm và cạnh bên $SP = 5$ cm.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh đáy.

Vì $I$ là trung điểm của cạnh đáy $MP$ nên:

$$MP = 2 \cdot IP = 2 \cdot 3 = 6 \text{ (cm)}.$$

Mà mặt đáy $MNP$ là tam giác đều nên ba cạnh đáy đều bằng $6$ cm.

Bước 2: Tính trung đoạn $SI$ bằng định lí Pythagore.

Trong tam giác $SIP$ vuông tại $I$ ($SI \perp MP$ tại $I$ vì $SI$ là trung đoạn), cạnh huyền là $SP$:

$$SP^2 = SI^2 + IP^2 ;\Rightarrow; SI^2 = SP^2 – IP^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16.$$

Suy ra $SI = 4$ cm.

Bước 3: Tính diện tích xung quanh.

Nửa chu vi mặt đáy:

$$p = \dfrac{3 \cdot 6}{2} = 9 \text{ (cm)}.$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 9 \cdot 4 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.MNP$ là $36$ cm².

Vận dụng (trang 116)

Đề bài: Hình 10.11 mô tả hình chóp trong tình huống mở đầu. Dựa vào đó, em hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

(Nhắc lại: đỉnh FANSIPAN có một chóp inox hình chóp tam giác đều cạnh đáy $60$ cm, cạnh bên $96{,}4$ cm. Tính tổng diện tích các mặt bên — làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

Lời giải:

Bước 1: Tính $HC$.

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên:

$$HC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{60}{2} = 30 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính trung đoạn $SH$ bằng định lí Pythagore.

Trong tam giác $SHC$ vuông tại $H$ ($SH \perp BC$ tại $H$), cạnh huyền là $SC$:

$$SC^2 = SH^2 + HC^2 ;\Rightarrow; SH^2 = SC^2 – HC^2 = 96{,}4^2 – 30^2 = 9\,292{,}96 – 900 = 8\,392{,}96.$$

Suy ra $SH = \sqrt{8\,392{,}96}$ cm.

Bước 3: Tính diện tích xung quanh.

Nửa chu vi mặt đáy:

$$p = \dfrac{3 \cdot 60}{2} = 90 \text{ (cm)}.$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 90 \cdot \sqrt{8\,392{,}96} \approx 8\,245{,}18 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $S_{xq} \approx 8\,245$ cm².

Kết luận: Tổng diện tích các mặt bên của chóp inox trên đỉnh FANSIPAN khoảng $8\,245$ cm².

Bài tập (trang 116)

Bài 10.1 (trang 116)

Đề bài: Gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.12.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.12:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SD$, $SE$, $SF$.
• Các mặt bên: $SDE$, $SEF$, $SFD$.
• Mặt đáy: tam giác $DEF$ (tam giác đều).
• Đường cao: $SO$.
• Một trung đoạn: $SI$.

Bài 10.2 (trang 116)

Đề bài: Vẽ và cắt một tam giác đều có cạnh $10$ cm (H.10.13) rồi gấp theo đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.14).

Lời giải:

Đây là bài thực hành. Học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Trên bìa cứng, vẽ một tam giác đều cạnh $10$ cm (Hình 10.13).

Bước 2: Xác định trung điểm của mỗi cạnh, sau đó nối ba trung điểm này lại để được một tam giác đều nhỏ ở giữa (các đường nối là đường màu cam như Hình 10.14). Tam giác nhỏ ở giữa có cạnh $5$ cm (mỗi đoạn nối trung điểm là đường trung bình của tam giác lớn).

Bước 3: Cắt theo viền của tam giác lớn.

Bước 4: Gấp ba tam giác con ở ba góc của tam giác lớn lên trên theo các đường màu cam. Ba đỉnh của ba tam giác con này sẽ gặp nhau ở phía trên, tạo thành đỉnh của hình chóp tam giác đều.

Kết quả: Hình chóp tam giác đều thu được có cạnh đáy $5$ cm và cạnh bên cũng bằng $5$ cm (do mỗi cạnh của ba tam giác con đều bằng $5$ cm — bằng nửa cạnh của tam giác đều ban đầu).

Bài 10.3 (trang 116)

Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều $S.MNP$ có độ dài cạnh đáy bằng $6$ cm, chiều cao bằng $5$ cm (H.10.15).

a) Tính diện tích tam giác $MNP$.

b) Tính thể tích hình chóp $S.MNP$, biết $\sqrt{27} \approx 5{,}2$.

Lời giải:

a) Tính diện tích tam giác $MNP$.

Tam giác $MNP$ là tam giác đều cạnh $6$ cm.

Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $MP$. Trong tam giác đều, đường trung tuyến từ đỉnh $N$ cũng là đường cao, nên $NK \perp MP$.

Khi đó:

$$MK = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}.$$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle NKM$ vuông tại $K$:

$$NM^2 = NK^2 + KM^2 ;\Rightarrow; NK^2 = NM^2 – KM^2 = 6^2 – 3^2 = 36 – 9 = 27.$$

Suy ra $NK = \sqrt{27}$ cm.

Diện tích tam giác $MNP$:

$$S_{MNP} = \dfrac{1}{2} \cdot MP \cdot NK = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{27} = 3\sqrt{27} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Với $\sqrt{27} \approx 5{,}2$:

$$S_{MNP} \approx 3 \cdot 5{,}2 = 15{,}6 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

b) Tính thể tích hình chóp $S.MNP$.

Áp dụng công thức thể tích hình chóp tam giác đều:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h,$$

trong đó $S = S_{MNP} = 3\sqrt{27}$ cm² và $h = 5$ cm.

Thay số:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{27} \cdot 5 = 5\sqrt{27} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Với $\sqrt{27} \approx 5{,}2$:

$$V \approx 5 \cdot 5{,}2 = 26 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận:

• Diện tích tam giác $MNP$ là $3\sqrt{27} \approx 15{,}6$ cm².
• Thể tích hình chóp $S.MNP$ là $5\sqrt{27} \approx 26$ cm³.

Bài 10.4 (trang 116)

Đề bài: Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.16. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng $20$ cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết $\sqrt{300} \approx 17{,}32$.

Lời giải:

Bước 1: Nhận xét về các mặt bên.

“Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng $20$ cm” — nghĩa là cả $3$ cạnh đáy lẫn $3$ cạnh bên đều bằng $20$ cm.

Mỗi mặt bên là tam giác có ba cạnh đều bằng $20$ cm, tức là tam giác đều cạnh $20$ cm.

Bước 2: Tính diện tích một mặt bên (tam giác đều cạnh $20$ cm).

Gọi $h$ là độ dài đường cao của tam giác đều cạnh $20$ cm (kẻ từ một đỉnh xuống trung điểm cạnh đối diện). Trong tam giác vuông tạo bởi đường cao này, một cạnh góc vuông là nửa cạnh đáy ($10$ cm), cạnh huyền là cạnh tam giác ($20$ cm). Áp dụng định lí Pythagore:

$$h^2 = 20^2 – 10^2 = 400 – 100 = 300 ;\Rightarrow; h = \sqrt{300} \text{ (cm)}.$$

Diện tích một mặt bên:

$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot \sqrt{300} = 10\sqrt{300} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 3: Tính diện tích giấy dán $3$ mặt bên.

$$S_{\text{giấy}} = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot 10\sqrt{300} = 30\sqrt{300} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Với $\sqrt{300} \approx 17{,}32$:

$$S_{\text{giấy}} \approx 30 \cdot 17{,}32 = 519{,}6 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích giấy bạn Thu sử dụng để dán $3$ mặt bên của đèn khoảng $519{,}6$ cm².

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du