1. Đo chiều cao bằng định lí Thalès

HĐ1 (trang 128)

Đề bài: Dùng định lí Thalès để đo chiều cao của ngọn cây (toà nhà, toà tháp).

Chuẩn bị: Cọc thẳng cắm được trên mặt đất hoặc dựng đứng được, thước ngắm thẳng gắn ở trên cọc có thể quay được, thước dây, thước kẻ; giấy, bút, máy tính cầm tay; địa điểm thực hiện: sân trường, nơi dã ngoại; chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm từ $6$ đến $8$ học sinh.

Hướng dẫn (H.T.1): – Dựng cọc $AC$ thẳng đứng trên mặt đất, chỉnh cho thước ngắm đi qua đỉnh $C’$ của ngọn cây. – Xác định giao điểm $B$ của đường thẳng $CC’$ (chứa thước ngắm) với mặt đất. – Gọi $A’$ là gốc cây thì $AC \parallel A’C’$. Theo định lí Thalès ta có $\dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BA}{BA’}$. – Đo các khoảng cách $AC$, $BA’$, $BA$ và tính chiều cao $A’C’$ của cây theo công thức $A’C’ = \dfrac{AC \cdot BA’}{BA}$. – Các nhóm cùng đo chiều cao của một cây nhưng ở các vị trí khác nhau và so sánh kết quả với nhau.

Lời giải (giải thích cách làm):

Cọc $AC$ dựng thẳng đứng, thân cây $A’C’$ cũng thẳng đứng nên $AC \parallel A’C’$.

Ba điểm $B$, $A$, $A’$ thẳng hàng trên mặt đất và ba điểm $B$, $C$, $C’$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường ngắm). Xét hai tam giác $BAC$ và $BA’C’$: chúng có chung góc $B$ và $AC \parallel A’C’$, nên $\triangle BAC$ và $\triangle BA’C’$ đồng dạng. Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:

$$\dfrac{BA}{BA’} = \dfrac{AC}{A’C’}.$$

Từ đây rút ra chiều cao cần tìm:

$$A’C’ = \dfrac{AC \cdot BA’}{BA}.$$

Như vậy chỉ cần đo ba đoạn dễ đo là chiều cao cọc $AC$, khoảng cách $BA$ (từ chỗ ngắm đến chân cọc) và $BA’$ (từ chỗ ngắm đến gốc cây) là tính được chiều cao cây $A’C’$ mà không cần trèo lên cây.

2. Đo khoảng cách bằng định lí Pythagore và tam giác đồng dạng

HĐ2 (trang 128, 129)

Đề bài: Dùng định lí Pythagore và tam giác đồng dạng để đo khoảng cách những điểm không tới được.

Chuẩn bị: Giác kế ngang (dụng cụ đo góc trên mặt đất), thước dây; giấy, bút, máy tính cầm tay; địa điểm: sân trường, nơi dã ngoại; chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm từ $6$ đến $8$ học sinh.

Hướng dẫn đo khoảng cách từ vị trí đang đứng (điểm $A$) đến vị trí khó đi đến được (điểm $B$) theo một trong hai phương pháp sau.

Phương pháp 1 (H.T.2): – Dùng giác kế chọn một điểm $C$ sao cho $AC \perp AB$, chọn điểm $D$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $AD \perp BC$. – Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{AD \cdot BC}{2}$. – Do đó $AD^2 = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2} = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{AB^2 + AC^2}$. – Suy ra $AB^2 = \dfrac{AC^2 \cdot AD^2}{AC^2 – AD^2}$. – Đo độ dài các đoạn thẳng $AC$, $AD$ và tính ra kết quả độ dài đoạn thẳng $AB$.

Phương pháp 2 (H.T.3): – Lấy một điểm $E$ tuỳ ý khác điểm $A$ và không nằm trên đường thẳng $AB$. – Sử dụng giác kế xác định số đo các góc $\widehat{BAE}$ và $\widehat{BEA}$. – Vẽ lên giấy tam giác $A’B’E’$ có các góc $A’$ và $E’$ tương ứng bằng các góc $A$ và $E$ của tam giác $ABE$. Như vậy tam giác $A’B’E’$ đồng dạng với tam giác $ABE$, suy ra $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’E’}{AE}$. – Đo độ dài đoạn thẳng $AE$ bằng thước dây và độ dài các đoạn thẳng $A’B’$, $A’E’$ bằng thước kẻ. – Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ theo công thức $AB = \dfrac{A’B’ \cdot AE}{A’E’}$.

Các nhóm khác nhau có thể xác định vị trí các điểm $C$, $D$, $E$ khác nhau và so sánh kết quả cuối cùng với nhau.

Lời giải (giải thích cách làm):

Phương pháp 1. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (vì $AC \perp AB$), có hai cạnh góc vuông là $AB$, $AC$ và $AD$ là đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh huyền $BC$.

• Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách: lấy hai cạnh góc vuông, hoặc lấy đáy $BC$ và đường cao $AD$:

$$S_{ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{AD \cdot BC}{2} {\;}\Rightarrow{\;} AB \cdot AC = AD \cdot BC.$$

• Từ đó $AD = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$, nên $AD^2 = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2}$. Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2$, thay vào được $AD^2 = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{AB^2 + AC^2}$.
• Giải phương trình này theo $AB^2$: nhân chéo rồi nhóm các hạng tử chứa $AB^2$:

$$AD^2(AB^2 + AC^2) = AB^2 \cdot AC^2 {\;}\Rightarrow{\;} AD^2 \cdot AC^2 = AB^2(AC^2 – AD^2) {\;}\Rightarrow{\;} AB^2 = \dfrac{AC^2 \cdot AD^2}{AC^2 – AD^2}.$$

Chỉ cần đo $AC$ và $AD$ là tính được $AB$ (khoảng cách cần tìm mà ta không đến được).

Phương pháp 2. Vì tam giác $A’B’E’$ có hai góc bằng hai góc của tam giác $ABE$ ($\widehat{A’} = \widehat{A}$, $\widehat{E’} = \widehat{E}$) nên hai tam giác đồng dạng (trường hợp góc – góc). Suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’E’}{AE} {\;}\Rightarrow{\;} AB = \dfrac{A’B’ \cdot AE}{A’E’}.$$

Ở đây $AE$ đo được trực tiếp trên mặt đất, còn $A’B’$, $A’E’$ là các cạnh của tam giác nhỏ vẽ trên giấy nên đo bằng thước kẻ; từ đó tính được $AB$.

3. Luyện tập

Luyện tập (trang 129)

Đề bài: Trong Phương pháp 1 của HĐ2, chúng ta đã dùng định lí Pythagore để tính độ dài đoạn thẳng $AB$. Em hãy tính độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng một cách khác thông qua độ dài các đoạn thẳng $AC$, $AD$, $CD$.

Lời giải:

Ta dùng tam giác đồng dạng thay cho định lí Pythagore.

Trong Hình T.2, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AD \perp BC$ tại $D$. Xét hai tam giác vuông $ACD$ và $BCA$:

• $\widehat{ADC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ (vì $AD \perp BC$ và $AC \perp AB$);
• $\widehat{C}$ là góc chung.

Do đó $\triangle ACD$ và $\triangle BCA$ đồng dạng (trường hợp góc – góc). Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau, trong đó $AD$ và $BA$ là hai cạnh đối diện với góc chung $\widehat{C}$, còn $CD$ và $CA$ là hai cạnh tương ứng còn lại:

$$\dfrac{AD}{BA} = \dfrac{CD}{CA}.$$

Nhân chéo: $AD \cdot CA = BA \cdot CD$, từ đó rút ra:

$$AB = \dfrac{AC \cdot AD}{CD}.$$

Vậy chỉ cần đo ba đoạn $AC$, $AD$, $CD$ là tính được $AB$.

Nhận xét: Kết quả này khớp với công thức ở Phương pháp 1, vì trong tam giác vuông $ACD$ (vuông tại $D$) ta có $CD^2 = AC^2 – AD^2$, tức $CD = \sqrt{AC^2 – AD^2}$. Thay vào $AB = \dfrac{AC \cdot AD}{CD}$ sẽ được đúng $AB = \dfrac{AC \cdot AD}{\sqrt{AC^2 – AD^2}}$ như đã suy ra bằng định lí Pythagore.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du