1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hoạt động 1 (trang 77)

Đề bài: Cho Hình 4.2, hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ nếu chọn đoạn $MN$ làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$.

Lời giải:

Chọn $MN$ làm đơn vị độ dài, tức $MN = 1$ (đvđd). Quan sát Hình 4.2, ta thấy:

• $AB$ bằng $2$ lần $MN$, nên $AB = 2$ (đvđd).
• $CD$ bằng $6$ lần $MN$, nên $CD = 6$ (đvđd).

Tỉ số:

$$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

Hoạt động 2 (trang 77)

Đề bài: Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$.

Lời giải:

Dùng thước thẳng đo trên hình, ta được (kết quả có thể chênh lệch nhỏ tuỳ theo bản in):

• $AB = 4{,}8$ cm.
• $CD = 14{,}4$ cm.

Tỉ số:

$$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{4{,}8}{14{,}4} = \dfrac{1}{3}.$$

Hoạt động 3 (trang 77)

Đề bài: So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên.

Lời giải:

Tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ ở HĐ1 và HĐ2 đều bằng $\dfrac{1}{3}$. Vậy hai tỉ số bằng nhau. Điều này minh hoạ nhận xét: khi ta thay đổi đơn vị đo, tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ không thay đổi.

Luyện tập 1 (trang 78)

Đề bài: Tính tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) $MN = 3$ cm và $PQ = 9$ cm;

b) $EF = 25$ cm và $HK = 10$ dm.

Lời giải:

a) Hai đoạn thẳng đã cùng đơn vị cm, áp dụng định nghĩa tỉ số:

$$\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}; \qquad \dfrac{PQ}{MN} = \dfrac{9}{3} = 3.$$

b) Vì hai đoạn thẳng đang khác đơn vị nên ta đổi cùng đơn vị trước:

$$10 \text{ dm} = 100 \text{ cm}.$$

Bây giờ tính tỉ số:

$$\dfrac{EF}{HK} = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}; \qquad \dfrac{HK}{EF} = \dfrac{100}{25} = 4.$$

Luyện tập 2 (trang 78)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $B’$ nằm trên cạnh $AB$. Qua điểm $B’$, ta vẽ một đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $C’$ (Hình 4.4). Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:

a) $\dfrac{AB’}{AB}$ và $\dfrac{AC’}{AC}$;

b) $\dfrac{AB’}{B’B}$ và $\dfrac{AC’}{C’C}$;

c) $\dfrac{B’B}{AB}$ và $\dfrac{C’C}{AC}$.

Lời giải:

Đếm số ô vuông trong Hình 4.4, ta có: $AB’ = 4$; $B’B = 2$ (do đó $AB = 6$); $AC’ = 4$; $C’C = 2$ (do đó $AC = 6$).

a) Tính các tỉ số:

$$\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{AC’}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$

So sánh: $\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC}$.

b) Tính các tỉ số:

$$\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{4}{2} = 2; \qquad \dfrac{AC’}{C’C} = \dfrac{4}{2} = 2.$$

So sánh: $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$.

c) Tính các tỉ số:

$$\dfrac{B’B}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}; \qquad \dfrac{C’C}{AC} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

So sánh: $\dfrac{B’B}{AB} = \dfrac{C’C}{AC}$.

2. Định lí Thales trong tam giác

Luyện tập 3 (trang 79)

Đề bài: Tìm các độ dài $x$, $y$ trong Hình 4.6.

Lời giải:

a) Trong tam giác $ABC$ có $MN \parallel BC$ ($M$ trên $AB$, $N$ trên $AC$). Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC} \quad \text{hay} \quad \dfrac{6{,}5}{x} = \dfrac{4}{2}.$$

Suy ra:

$$x = \dfrac{6{,}5 \cdot 2}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25 \text{ (đvđd)}.$$

b) Trong tam giác $PHQ$ có $EF \parallel HQ$ ($E$ trên $PH$, $F$ trên $PQ$), với:

$$PQ = PF + FQ = 5 + 3{,}5 = 8{,}5.$$

Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{PE}{PH} = \dfrac{PF}{PQ} \quad \text{hay} \quad \dfrac{4}{y} = \dfrac{5}{8{,}5}.$$

Suy ra:

$$y = \dfrac{4 \cdot 8{,}5}{5} = 6{,}8 \text{ (đvđd)}.$$

Vậy $x = 3{,}25$ và $y = 6{,}8$.

Hoạt động 4 (trang 79)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $B’$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $C’$ sao cho $AB’ = 4$ cm, $AC’ = 6$ cm (Hình 4.7).

• So sánh các tỉ số $\dfrac{AB’}{AB}$ và $\dfrac{AC’}{AC}$.
• Vẽ đường thẳng $a$ đi qua $B’$ và song song với $BC$, đường thẳng $a$ cắt $AC$ tại điểm $C”$. Tính độ dài đoạn thẳng $AC”$.
• Nhận xét gì về hai điểm $C’$, $C”$ và hai đường thẳng $B’C’$, $BC$?

Lời giải:

Ý 1: So sánh hai tỉ số.

$$\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{AC’}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.$$

Vậy $\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC} = \dfrac{2}{3}$.

Ý 2: Tính $AC”$.

Đường thẳng $a$ qua $B’$ và song song với $BC$, $a$ cắt $AC$ tại $C”$, nên $B’C” \parallel BC$. Áp dụng định lí Thales vào $\triangle ABC$:

$$\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC”}{AC} \quad \text{hay} \quad \dfrac{4}{6} = \dfrac{AC”}{9}.$$

Suy ra:

$$AC” = \dfrac{4 \cdot 9}{6} = 6 \text{ (cm)}.$$

Ý 3: Nhận xét.

Ta có $AC’ = 6$ cm và vừa tính được $AC” = 6$ cm, hơn nữa cả $C’$ và $C”$ đều nằm trên cạnh $AC$. Vậy hai điểm $C’$ và $C”$ trùng nhau.

Do đó đường thẳng $B’C’$ chính là đường thẳng $B’C”$, mà $B’C” \parallel BC$, nên $B’C’ \parallel BC$.

Vận dụng (trang 80)

Đề bài: Trả lời câu hỏi ở tình huống mở đầu: Cây cầu $AB$ bắc qua một con sông có chiều rộng $300$ m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm $C$ và $D$ trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm $E$ trên đường thẳng $AB$ sao cho ba điểm $E$, $C$, $D$ thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được $AE = 400$ m, $EC = 500$ m. Hỏi khoảng cách $CD$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hai điểm $A$, $C$ cùng nằm trên bờ gần của con sông; hai điểm $B$, $D$ cùng nằm trên bờ xa. Vì hai bờ sông song song với nhau nên $AC \parallel BD$.

Xét tam giác $EBD$ có $A$ nằm trên cạnh $EB$, $C$ nằm trên cạnh $ED$, và $AC \parallel BD$. Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{EA}{AB} = \dfrac{EC}{CD} \quad \text{hay} \quad \dfrac{400}{300} = \dfrac{500}{CD}.$$

Suy ra:

$$CD = \dfrac{300 \cdot 500}{400} = 375 \text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $C$ và $D$ là $375$ m.

Bài tập (trang 80)

Bài 4.1 (trang 80)

Đề bài: Tìm độ dài $x$, $y$ trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Hình 4.9a. Trong tam giác $PQE$ có $HK \parallel QE$ ($H$ trên $PQ$, $K$ trên $PE$). Áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{PH}{HQ} = \dfrac{PK}{KE} \quad \text{hay} \quad \dfrac{6}{4} = \dfrac{8}{x}.$$

Suy ra:

$$x = \dfrac{8 \cdot 4}{6} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}3 \text{ (đvđd)}.$$

b) Hình 4.9b. Hai góc $\angle AMN$ và $\angle ABC$ ở vị trí đồng vị và bằng nhau nên $MN \parallel BC$.

Ta có $AB = AM + MB = y + 6{,}5$. Trong tam giác $ABC$ có $MN \parallel BC$, áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \quad \text{hay} \quad \dfrac{y}{y + 6{,}5} = \dfrac{8}{11}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$11y = 8(y + 6{,}5) = 8y + 52.$$

Chuyển vế:

$$11y – 8y = 52 \quad \Rightarrow \quad 3y = 52 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{52}{3} \approx 17{,}3 \text{ (đvđd)}.$$

Vậy $x \approx 5{,}3$ và $y \approx 17{,}3$.

Bài 4.2 (trang 80)

Đề bài: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích tại sao chúng song song với nhau.

Lời giải:

a) Hình 4.10a. Trong tam giác $MNP$, ta tính:

$$\dfrac{ME}{EN} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{MF}{FP} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}.$$

Vì $\dfrac{ME}{EN} = \dfrac{MF}{FP}$, $E$ nằm trên $MN$ và $F$ nằm trên $MP$, theo định lí Thales đảo ta có:

$$EF \parallel NP.$$

b) Hình 4.10b. Trong tam giác $HKQ$, lần lượt kiểm tra các cặp đoạn thẳng:

Xét đường thẳng $FM$ và cạnh $KQ$:

$$\dfrac{HF}{FK} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}; \qquad \dfrac{HM}{MQ} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}.$$

Vì $\dfrac{7}{6} \neq \dfrac{3}{2}$, nên $FM$ không song song với $KQ$.

Xét đường thẳng $ME$ và cạnh $HK$: xét tam giác $HKQ$ với $M$ trên $QH$, $E$ trên $QK$:

$$\dfrac{QM}{MH} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{QE}{EK} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}.$$

Vì $\dfrac{QM}{MH} = \dfrac{QE}{EK}$, theo định lí Thales đảo ta có:

$$ME \parallel HK.$$

Vậy cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10b là $ME$ và $HK$.

Bài 4.3 (trang 80)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$, từ điểm $D$ trên cạnh $BC$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $F$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = 1.$$

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$:

Bước 1: Vì $DE \parallel AC$ ($D$ trên $BC$, $E$ trên $AB$), áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{CD}{BC}.$$

Bước 2: Vì $DF \parallel AB$ ($D$ trên $BC$, $F$ trên $AC$), áp dụng định lí Thales:

$$\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{BD}{BC}.$$

Bước 3: Cộng hai tỉ số vừa tìm được:

$$\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{CD}{BC} + \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{BD + DC}{BC} = \dfrac{BC}{BC} = 1.$$

Vậy $\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = 1$ (điều phải chứng minh).

Bài 4.4 (trang 80)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có trọng tâm $G$. Vẽ đường thẳng $d$ qua $G$ và song song với $AB$, $d$ cắt $BC$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng $BM = \dfrac{1}{3}BC$.

Lời giải:

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$, và vì $G$ là trọng tâm nên $G$ nằm trên $AD$ với:

$$\dfrac{AG}{AD} = \dfrac{2}{3}.$$

Xét tam giác $ABD$ có $G$ nằm trên cạnh $AD$, $M$ nằm trên cạnh $BD$ và $GM \parallel AB$. Áp dụng định lí Thales (dạng “đoạn ở phía xa đỉnh trên tỉ lệ với toàn cạnh”):

$$\dfrac{BM}{BD} = \dfrac{AG}{AD} = \dfrac{2}{3}.$$

Suy ra $BM = \dfrac{2}{3} BD$.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ nên $BD = \dfrac{1}{2} BC$. Do đó:

$$BM = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{1}{3} BC.$$

Vậy $BM = \dfrac{1}{3} BC$ (điều phải chứng minh).

Bài 4.5 (trang 80)

Đề bài: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí $A$, $F$, $C$ cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm $C$, $E$, $B$ thẳng hàng, ba điểm $C$, $F$, $A$ thẳng hàng và $AB \parallel EF$ (Hình 4.11). Bác An đo được $AF = 40$ m, $FC = 20$ m, $EC = 30$ m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Vì ba điểm $C$, $F$, $A$ thẳng hàng và ba điểm $C$, $E$, $B$ thẳng hàng, ta xét tam giác $CAB$ với $F$ nằm trên cạnh $CA$, $E$ nằm trên cạnh $CB$ và $EF \parallel AB$.

Tính độ dài $CA$:

$$CA = CF + FA = 20 + 40 = 60 \text{ (m)}.$$

Áp dụng định lí Thales vào tam giác $CAB$ (với $EF \parallel AB$):

$$\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CE}{CB} \quad \text{hay} \quad \dfrac{20}{60} = \dfrac{30}{CB}.$$

Suy ra:

$$CB = \dfrac{30 \cdot 60}{20} = 90 \text{ (m)}.$$

Khoảng cách giữa $B$ và $E$ là:

$$BE = CB – CE = 90 – 30 = 60 \text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ là $60$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du