1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Câu hỏi (trang 81)

Đề bài: Em hãy chỉ ra các đường trung bình của $\triangle DEF$ và $\triangle IHK$ trong Hình 4.14.

Lời giải:

Xét $\triangle DEF$: $M$ là trung điểm của $DE$, $N$ là trung điểm của $DF$. Theo định nghĩa, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh là đường trung bình. Vậy $\triangle DEF$ có một đường trung bình là $MN$.

Xét $\triangle IHK$: Cả ba điểm $A$, $B$, $C$ đều là trung điểm của ba cạnh ($A$ là trung điểm $HK$, $B$ là trung điểm $IH$, $C$ là trung điểm $IK$). Nối hai điểm trung điểm bất kỳ ta được một đường trung bình:

• $B$ là trung điểm $IH$, $C$ là trung điểm $IK$ → $BC$ là đường trung bình.
• $B$ là trung điểm $IH$, $A$ là trung điểm $HK$ → $AB$ là đường trung bình.
• $A$ là trung điểm $HK$, $C$ là trung điểm $IK$ → $AC$ là đường trung bình.

Vậy $\triangle IHK$ có ba đường trung bình là $AB$, $BC$, $AC$.

2. Tính chất đường trung bình của tam giác

Cho $DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ (tức $D$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm $AC$).

Hoạt động 1 (trang 82)

Đề bài: Sử dụng định lí Thales đảo, chứng minh rằng $DE \parallel BC$.

Lời giải:

Vì $D$ là trung điểm của $AB$ nên:

$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}.$$

Vì $E$ là trung điểm của $AC$ nên:

$$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}.$$

Suy ra:

$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}.$$

Xét $\triangle ABC$ có $D$ nằm trên cạnh $AB$, $E$ nằm trên cạnh $AC$ và $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$. Áp dụng định lí Thales đảo, ta được:

$$DE \parallel BC.$$

Hoạt động 2 (trang 82)

Đề bài: Gọi $F$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh tứ giác $DEFB$ là hình bình hành. Từ đó suy ra $DE = \dfrac{1}{2}BC$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $DE \parallel BF$.

Theo HĐ1, $DE \parallel BC$. Vì $F$ nằm trên cạnh $BC$ nên đoạn $BF$ thuộc đường thẳng $BC$. Do đó $DE \parallel BF$.

Bước 2: Chứng minh $EF \parallel BD$ (tức $EF \parallel AB$).

Vì $E$ là trung điểm của $AC$ nên $\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{1}{2}$.

Vì $F$ là trung điểm của $BC$ nên $\dfrac{CF}{CB} = \dfrac{1}{2}$.

Suy ra $\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CF}{CB} = \dfrac{1}{2}$.

Xét $\triangle ABC$ có $E$ trên cạnh $CA$, $F$ trên cạnh $CB$ và hai tỉ số bằng nhau, áp dụng định lí Thales đảo:

$$EF \parallel AB \quad \Rightarrow \quad EF \parallel BD.$$

Bước 3: Kết luận tứ giác $DEFB$ là hình bình hành.

Tứ giác $DEFB$ có $DE \parallel BF$ và $EF \parallel BD$ (hai cặp cạnh đối song song), nên $DEFB$ là hình bình hành.

Bước 4: Suy ra $DE = \dfrac{1}{2}BC$.

Trong hình bình hành $DEFB$, hai cạnh đối bằng nhau, nên $DE = BF$. Mà $F$ là trung điểm của $BC$ nên $BF = \dfrac{1}{2}BC$. Do đó:

$$DE = BF = \dfrac{1}{2}BC.$$

Luyện tập (trang 83)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Tứ giác $DECB$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Vì $D$ là trung điểm $AB$ và $E$ là trung điểm $AC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình, $DE \parallel BC$.

Tứ giác $DECB$ có hai cạnh $DE$ và $CB$ song song, nên $DECB$ là hình thang (với hai đáy $DE$ và $BC$).

Hai cạnh bên của hình thang $DECB$ là $DB$ và $EC$. Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$, mà $D$, $E$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$ nên:

$$DB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC = EC.$$

Hình thang $DECB$ có hai cạnh bên bằng nhau ($DB = EC$) nên $DECB$ là hình thang cân.

Vận dụng (trang 83)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu: Cho $B$ và $C$ là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước (Hình 4.12), $D$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Biết $DE = 500$ m, tính khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$.

Lời giải:

Vì $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trung điểm của $AC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình:

$$DE = \dfrac{1}{2}BC.$$

Suy ra:

$$BC = 2 \cdot DE = 2 \cdot 500 = 1000 \text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ là $1000$ m (hay $1$ km).

Bài tập (trang 83)

Bài 4.6 (trang 83)

Đề bài: Tính các độ dài $x$, $y$ trong Hình 4.18.

Lời giải:

a) Hình 4.18a. Ta có $DH = HF$ nên $H$ là trung điểm của $DF$; $EK = KF$ nên $K$ là trung điểm của $EF$.

Xét $\triangle DEF$ có $H$ là trung điểm $DF$, $K$ là trung điểm $EF$, nên $HK$ là đường trung bình của $\triangle DEF$. Theo tính chất:

$$HK = \dfrac{1}{2}DE \quad \text{hay} \quad 3 = \dfrac{1}{2}x.$$

Suy ra $x = 2 \cdot 3 = 6$.

b) Hình 4.18b. Ta có $MN \perp AB$ và $AC \perp AB$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$), nên $MN \parallel AC$.

Mặt khác, $BM = MA = 3$ nên $M$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\triangle ABC$ có $M$ là trung điểm cạnh $AB$ và đường thẳng qua $M$ song song với cạnh $AC$ (là $MN$) cắt $BC$ tại $N$. Theo chú ý (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba), $N$ là trung điểm của $BC$.

Do đó:

$$y = NC = BN = 5.$$

Vậy $x = 6$ và $y = 5$.

Bài 4.7 (trang 83)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$, $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang.

b) Tứ giác $MNPB$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

a) Chứng minh $BMNC$ là hình thang.

Xét $\triangle ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$, nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất:

$$MN \parallel BC.$$

Tứ giác $BMNC$ có hai cạnh $MN$ và $BC$ song song, nên $BMNC$ là hình thang.

b) Tứ giác $MNPB$ là hình gì?

Xét $\triangle ABC$:

• $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ → $MN$ là đường trung bình → $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$.

Vì $P$ là trung điểm $BC$ nên $BP = \dfrac{1}{2}BC$. Suy ra:

$$MN = BP \quad \text{và} \quad MN \parallel BP ; (\text{do } MN \parallel BC, ; P \in BC).$$

Tứ giác $MNPB$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($MN \parallel BP$ và $MN = BP$), nên $MNPB$ là hình bình hành.

Bài 4.8 (trang 83)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Lấy hai điểm $D$ và $E$ trên cạnh $AB$ sao cho $AD = DE = EB$ và $D$ nằm giữa hai điểm $A$, $E$.

a) Chứng minh $DC \parallel EM$.

b) $DC$ cắt $AM$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $AM$.

Lời giải:

a) Chứng minh $DC \parallel EM$.

Vì $AD = DE = EB$ nên $AB$ được chia thành ba đoạn bằng nhau. Khi đó:

• $BE = \dfrac{1}{3}AB$.
• $BD = DE + EB = \dfrac{1}{3}AB + \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{2}{3}AB$.

Suy ra $BE = \dfrac{1}{2}BD$, tức $E$ là trung điểm của $BD$.

Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ (do $AM$ là trung tuyến).

Xét $\triangle BDC$ có $E$ là trung điểm cạnh $BD$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$, nên $EM$ là đường trung bình của $\triangle BDC$. Theo tính chất:

$$EM \parallel DC.$$

Tức là $DC \parallel EM$ (điều phải chứng minh).

b) Chứng minh $I$ là trung điểm của $AM$.

Vì $AD = DE$ nên $D$ là trung điểm của $AE$.

$I$ là giao của $DC$ và $AM$, mà $DC \parallel EM$ (chứng minh ở câu a), nên $DI \parallel EM$.

Xét $\triangle AEM$ có $D$ là trung điểm cạnh $AE$ và đường thẳng qua $D$ song song với cạnh $EM$ (là $DI$) cắt $AM$ tại $I$. Theo chú ý (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba), $I$ là trung điểm của $AM$.

Bài 4.9 (trang 83)

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Chứng minh rằng tứ giác $AHOK$ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ (và cũng là trung điểm của $BD$).

Bước 1: Chứng minh $\angle AHO = 90^\circ$.

Xét $\triangle ABC$ có $H$ là trung điểm $AB$, $O$ là trung điểm $AC$, nên $HO$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Theo tính chất:

$$HO \parallel BC.$$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC \perp AB$. Mà $HO \parallel BC$, suy ra $HO \perp AB$, tức $HO \perp AH$. Vậy $\angle AHO = 90^\circ$.

Bước 2: Chứng minh $\angle AKO = 90^\circ$.

Xét $\triangle ACD$ có $O$ là trung điểm $AC$, $K$ là trung điểm $AD$, nên $OK$ là đường trung bình của $\triangle ACD$. Theo tính chất:

$$OK \parallel CD.$$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \perp AD$. Mà $OK \parallel CD$, suy ra $OK \perp AD$, tức $OK \perp AK$. Vậy $\angle AKO = 90^\circ$.

Bước 3: Kết luận.

Tứ giác $AHOK$ có:

• $\angle HAK = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật $ABCD$).
• $\angle AHO = 90^\circ$ (Bước 1).
• $\angle AKO = 90^\circ$ (Bước 2).

Tứ giác có ba góc vuông nên $AHOK$ là hình chữ nhật (điều phải chứng minh).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du