Tính chất đường phân giác của tam giác

Tình huống mở đầu (trang 84)

Đề bài: Trong Hình 4.19, $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$. Hai tỉ số $\dfrac{DB}{DC}$ và $\dfrac{AB}{AC}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

Theo đề bài, $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ (xuất phát từ đỉnh $A$, $D$ thuộc cạnh $BC$). Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}.$$

Vậy hai tỉ số $\dfrac{DB}{DC}$ và $\dfrac{AB}{AC}$ bằng nhau.

Hoạt động 1 (trang 84)

Đề bài: Cho tia phân giác $At$ của góc $xAy$, lấy $B$ trên tia $Ax$, $C$ trên tia $Ay$, tia phân giác $At$ cắt $BC$ tại $D$ (Hình 4.20a). Khi $AB = AC$, hãy so sánh hai tỉ số $\dfrac{DB}{DC}$ và $\dfrac{AB}{AC}$.

Lời giải:

Vì $AB = AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Trong tam giác cân tại $A$, đường phân giác $AD$ kẻ từ đỉnh $A$ cũng đồng thời là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân đã học ở lớp 7). Do đó $D$ là trung điểm của $BC$, tức $DB = DC$.

Suy ra:

$$\dfrac{DB}{DC} = 1 \qquad \text{và} \qquad \dfrac{AB}{AC} = 1 ; (\text{do } AB = AC).$$

Vậy $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ (cùng bằng $1$).

Hoạt động 2 (trang 84)

Đề bài: Khi lấy $B$ và $C$ sao cho $AB = 2$ cm và $AC = 4$ cm (Hình 4.20b), hãy dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng $DB$, $DC$ rồi so sánh hai tỉ số $\dfrac{DB}{DC}$ và $\dfrac{AB}{AC}$.

Lời giải:

Dùng thước có vạch chia đến milimét đo trên hình, ta được (kết quả có thể chênh lệch nhỏ tuỳ bản in):

$$DB = 12 \text{ mm} = 1{,}2 \text{ cm}; \qquad DC = 24 \text{ mm} = 2{,}4 \text{ cm}.$$

Tính hai tỉ số:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{1{,}2}{2{,}4} = \dfrac{1}{2}; \qquad \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2}$ (hai tỉ số bằng nhau).

Hai hoạt động HĐ1 và HĐ2 minh hoạ kết quả tổng quát: tia phân giác $AD$ của tam giác $ABC$ luôn chia cạnh đối diện $BC$ thành hai đoạn $DB$, $DC$ tỉ lệ với hai cạnh kề $AB$, $AC$.

Luyện tập (trang 85)

Đề bài: Tính độ dài $x$ trong Hình 4.23.

Lời giải:

Trên Hình 4.23, $\widehat{DEM} = \widehat{MEF}$ nên $EM$ là tia phân giác của góc $\widehat{DEF}$ trong tam giác $DEF$ ($M$ thuộc cạnh $DF$).

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác:

$$\dfrac{MD}{MF} = \dfrac{ED}{EF} \quad \text{hay} \quad \dfrac{3{,}5}{5{,}6} = \dfrac{4{,}5}{x}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$3{,}5 \cdot x = 4{,}5 \cdot 5{,}6 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4{,}5 \cdot 5{,}6}{3{,}5} = \dfrac{25{,}2}{3{,}5} = 7{,}2.$$

Vậy $x = 7{,}2$ (đvđd).

Bài tập (trang 86)

Bài 4.10 (trang 86)

Đề bài: Tính độ dài $x$ trong Hình 4.24.

Lời giải:

Trên Hình 4.24, $\widehat{MPH} = \widehat{NPH}$ nên $PH$ là tia phân giác của góc $\widehat{MPN}$ trong tam giác $MNP$ ($H$ thuộc cạnh $MN$).

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác:

$$\dfrac{HM}{HN} = \dfrac{PM}{PN} \quad \text{hay} \quad \dfrac{3}{5{,}1} = \dfrac{5}{x}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$3x = 5 \cdot 5{,}1 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{5 \cdot 5{,}1}{3} = \dfrac{25{,}5}{3} = 8{,}5.$$

Vậy $x = 8{,}5$ (đvđd).

Bài 4.11 (trang 86)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $DC$ biết $AB = 4{,}5$ m; $AC = 7{,}0$ m và $CB = 3{,}5$ m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải:

Vì $AD$ là đường phân giác của góc $A$ trong tam giác $ABC$, áp dụng tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4{,}5}{7}.$$

Mặt khác, $D$ thuộc đoạn $BC$ nên $DB + DC = BC = 3{,}5$ m. Đặt $DC = x$ thì $DB = 3{,}5 – x$.

Thay vào tỉ lệ thức trên:

$$\dfrac{3{,}5 – x}{x} = \dfrac{4{,}5}{7}.$$

Nhân chéo hai vế:

$$7(3{,}5 – x) = 4{,}5 \cdot x$$

$$24{,}5 – 7x = 4{,}5x$$

$$24{,}5 = 4{,}5x + 7x = 11{,}5x$$

$$x = \dfrac{24{,}5}{11{,}5} \approx 2{,}13.$$

Làm tròn đến hàng phần chục: $DC \approx 2{,}1$ m.

Bài 4.12 (trang 86)

Đề bài: Nhà bạn Mai ở vị trí $M$, nhà bạn Dung ở vị trí $D$ (Hình 4.25), biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông và $M$ là trung điểm của $AB$. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường $MD$ để đến điểm $I$. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm $I$?

Lời giải:

Quan sát hình, $I$ là giao điểm của đoạn $MD$ với đường chéo $AC$ của hình vuông. Ta sẽ áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $MAD$.

Bước 1: Chứng minh $AC$ là đường phân giác của góc $\widehat{MAD}$ trong tam giác $MAD$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{BAD} = 90^\circ$, và đường chéo $AC$ chia góc vuông $\widehat{BAD}$ thành hai góc bằng nhau (mỗi góc $45^\circ$). Do đó $AC$ là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Vì $M$ nằm trên cạnh $AB$ nên tia $AM$ trùng tia $AB$, suy ra $\widehat{MAD} = \widehat{BAD}$. Do đó $AC$ cũng là tia phân giác của góc $\widehat{MAD}$.

Bước 2: Tính tỉ số $\dfrac{IM}{ID}$.

Trong tam giác $MAD$, $AC$ là đường phân giác của góc $\widehat{MAD}$ và cắt cạnh đối diện $MD$ tại $I$. Áp dụng tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{IM}{ID} = \dfrac{AM}{AD}.$$

Đặt cạnh hình vuông $AB = AD = a$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM = \dfrac{a}{2}$. Do đó:

$$\dfrac{IM}{ID} = \dfrac{a/2}{a} = \dfrac{1}{2}.$$

Suy ra $ID = 2 \cdot IM$, tức là quãng đường $DI$ gấp đôi quãng đường $MI$.

Bước 3: Tính giờ bạn Dung xuất phát.

Vì hai bạn đi bộ với cùng vận tốc nên thời gian đi tỉ lệ thuận với quãng đường:

• Bạn Mai đi từ $M$ đến $I$ (quãng đường $MI$) hết $7\text{h}30 – 7\text{h} = 30$ phút.
• Bạn Dung đi từ $D$ đến $I$ (quãng đường $DI = 2 \cdot MI$) nên hết $2 \cdot 30 = 60$ phút.

Để bạn Dung gặp bạn Mai tại $I$ vào lúc $7\text{h}30$, bạn Dung phải xuất phát trước đó $60$ phút, tức lúc:

$$7\text{h}30 – 60 \text{ phút} = 6\text{h}30.$$

Vậy bạn Dung phải xuất phát lúc 6h30.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du