Câu hỏi mở đầu (trang 78)

Đề bài: Có một chiếc bóng điện được mắc trên đỉnh (điểm $A$) của cột đèn thẳng đứng. Để tính chiều cao $AB$ của cột đèn, bác Dương cắm một chiếc cọc gỗ (đoạn $CD$) thẳng đứng trên mặt đất rồi đo chiều dài bóng của cọc gỗ do ánh đèn điện tạo ra và đo khoảng cách từ điểm $E$ đến chân cột đèn (điểm $B$). Theo em, bác Dương đã tính như thế nào để ra được chiều cao cột đèn?

Lời giải:

Bác Dương đã sử dụng hai tam giác đồng dạng. Vì cột đèn $AB$ và cọc gỗ $CD$ cùng vuông góc với mặt đất nên $AB \parallel CD$; từ đó $\triangle DEC \backsim \triangle AEB$. Lập tỉ số đồng dạng (so sánh các cạnh tương ứng), rồi từ độ dài $CD$, $EC$, $EB$ đo được, bác Dương tính được $AB$. Cách tính cụ thể được trình bày ở phần Vận dụng bên dưới.

Định nghĩa

Hoạt động 1 (trang 79)

Đề bài: Trong Hình 9.2, $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ là hai tam giác có các cạnh tương ứng song song và các góc tương ứng bằng nhau, tức là $AB \parallel DE$, $AC \parallel DF$, $BC \parallel EF$ và $\widehat{A} = \widehat{D}$, $\widehat{B} = \widehat{E}$, $\widehat{C} = \widehat{F}$. Nhìn hình vẽ, hãy cho biết giá trị các tỉ số: $\dfrac{AB}{DE}$; $\dfrac{BC}{EF}$; $\dfrac{AC}{DF}$.

Lời giải:

Đếm trên lưới ô vuông ở Hình 9.2, ta thấy mỗi cạnh của $\triangle ABC$ dài gấp đôi cạnh tương ứng của $\triangle DEF$. Vậy:

$$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = 2.$$

Luyện tập 1 (trang 80)

Đề bài: Trong các tam giác được vẽ trên ô lưới vuông (Hình 9.3), có một cặp tam giác đồng dạng. Hãy chỉ ra cặp tam giác đó, viết đúng kí hiệu đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.

Lời giải:

Đếm các cạnh trên ô lưới của $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$, ta thấy các cạnh tương ứng của $\triangle ABC$ đều dài gấp đôi các cạnh tương ứng của $\triangle DEF$, và các góc tương ứng bằng nhau. Vậy:

$$\triangle ABC \backsim \triangle DEF \quad \text{với tỉ số đồng dạng } k = 2.$$

Thử thách nhỏ (trang 80)

Đề bài: Cho $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì tam giác $MNP$ cân tại đỉnh $M$;

b) Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $MNP$ đều;

c) Nếu $AB \geq AC \geq BC$ thì $MN \geq MP \geq NP$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$ nên: $\widehat{A} = \widehat{M}$; $\widehat{B} = \widehat{N}$; $\widehat{C} = \widehat{P}$ $(\star)$.

a) $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$. Kết hợp với $(\star)$: $\widehat{N} = \widehat{P}$. Vậy $\triangle MNP$ cân tại $M$.

b) $\triangle ABC$ đều nên $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$. Kết hợp với $(\star)$: $\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = 60^\circ$. Vậy $\triangle MNP$ đều.

c) Trong $\triangle ABC$, áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện (góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn):

$$AB \geq AC \geq BC ;\Rightarrow; \widehat{C} \geq \widehat{B} \geq \widehat{A}$$

(vì $AB$ đối diện $\widehat{C}$, $AC$ đối diện $\widehat{B}$, $BC$ đối diện $\widehat{A}$).

Kết hợp với $(\star)$: $\widehat{P} \geq \widehat{N} \geq \widehat{M}$. Lại áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong $\triangle MNP$ (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn):

$$\widehat{P} \geq \widehat{N} \geq \widehat{M} ;\Rightarrow; MN \geq MP \geq NP.$$

Định lí

Hoạt động 2 (trang 80, 81)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ và các điểm $M$, $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$, $AC$ sao cho $MN \parallel BC$.

• Hãy viết các cặp góc bằng nhau của hai tam giác $ABC$ và $AMN$, giải thích vì sao chúng bằng nhau.
• Kẻ đường thẳng đi qua $N$ song song với $AB$ và cắt $BC$ tại $P$. Hãy chứng tỏ $MN = BP$ và suy ra $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$.
• Tam giác $ABC$ và tam giác $AMN$ có đồng dạng không? Nếu có hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Bước 1: Các cặp góc bằng nhau.

• $\widehat{A}$ là góc chung của hai tam giác.
• $\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị, vì $MN \parallel BC$, $AB$ là cát tuyến).
• $\widehat{ANM} = \widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị, vì $MN \parallel BC$, $AC$ là cát tuyến).

Bước 2: Chứng minh $MN = BP$.

Xét tứ giác $MNPB$:

• $MN \parallel BP$ (vì $MN \parallel BC$ và $P \in BC$);
• $MB \parallel NP$ (vì $NP \parallel AB$ và $M \in AB$).

Tứ giác $MNPB$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Do đó $MN = BP$.

Bước 3: Suy ra các tỉ số bằng nhau. Áp dụng định lí Thalès (đã học ở bài trước):

• Trong $\triangle ABC$, vì $MN \parallel BC$ nên $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ $(1)$.
• Trong $\triangle ABC$, vì $NP \parallel AB$ ($N \in CA$, $P \in CB$) nên $\dfrac{CN}{CA} = \dfrac{CP}{CB}$, suy ra $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{BP}{BC}$ $(2)$.

Vì $MN = BP$ nên $\dfrac{BP}{BC} = \dfrac{MN}{BC}$. Kết hợp $(1)$ và $(2)$:

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.$$

Bước 4: Kết luận. Hai tam giác $AMN$ và $ABC$ có ba cặp góc bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, nên theo định nghĩa:

$$\triangle AMN \backsim \triangle ABC.$$

Luyện tập 2 (trang 82)

Đề bài: Trong Hình 9.8, các đường thẳng $AB$, $CD$, $EF$ song song với nhau. Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng.

Lời giải:

Ba đường thẳng $AB$, $CD$, $EF$ song song với nhau, cùng đi qua các đoạn thẳng có chung đỉnh $O$. Khi đó, theo định lí (và Chú ý mở rộng cho đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh):

• $CD \parallel AB$ trong $\triangle OAB$ $;\Rightarrow; \triangle OCD \backsim \triangle OAB$.
• $EF \parallel CD$ trong $\triangle ODC$ (đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh) $;\Rightarrow; \triangle OEF \backsim \triangle ODC$.
• $EF \parallel AB$ tương tự $;\Rightarrow; \triangle OEF \backsim \triangle OBA$.

Vậy ba cặp tam giác đồng dạng là: $\triangle OCD \backsim \triangle OAB$; $;\triangle OEF \backsim \triangle ODC$; $;\triangle OEF \backsim \triangle OBA$.

Vận dụng (trang 82)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, hãy giải thích bác Dương đã tính được chiều cao cột đèn như thế nào, biết cọc gỗ cao $1$ m, $EC = 80$ cm và $EB = 4$ m.

Lời giải:

Đổi đơn vị: $CD = 1$ m $= 100$ cm; $EB = 4$ m $= 400$ cm; $EC = 80$ cm.

Bước 1: Lập hai tam giác đồng dạng. Vì cột đèn $AB$ và cọc gỗ $CD$ đều thẳng đứng nên $AB \parallel CD$. Trong $\triangle AEB$ có đường thẳng $CD$ cắt hai cạnh $EA$, $EB$ tại $D$, $C$ và song song với cạnh còn lại $AB$. Theo định lí:

$$\triangle DEC \backsim \triangle AEB.$$

Bước 2: Lập tỉ số đồng dạng. Từ $\triangle DEC \backsim \triangle AEB$:

$$\dfrac{DC}{AB} = \dfrac{EC}{EB} = \dfrac{80}{400} = \dfrac{1}{5}.$$

Bước 3: Tính $AB$. Thay $DC = 100$ cm:

$$\dfrac{100}{AB} = \dfrac{1}{5} ;\Rightarrow; AB = 100 \cdot 5 = 500 \text{ (cm)} = 5 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Cột đèn cao $5$ m.

Bài tập (trang 82)

Bài 9.1 (trang 82)

Đề bài: Cho $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$, khẳng định nào sau đây không đúng?

a) $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$;

b) $\triangle BCA \backsim \triangle NPM$;

c) $\triangle CAB \backsim \triangle PMN$;

d) $\triangle ACB \backsim \triangle MNP$.

Lời giải:

Khi viết kí hiệu đồng dạng, các đỉnh phải được viết theo đúng thứ tự tương ứng. Từ $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$, ta có sự tương ứng: $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$.

• a) Đảo cả hai vế: $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$ — vẫn đúng. ✓
• b) $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$, $A \leftrightarrow M$ — đúng (hoán vị vòng quanh). ✓
• c) $C \leftrightarrow P$, $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$ — đúng (hoán vị vòng quanh). ✓
• d) Vế trái đổi chỗ $B$ và $C$ ($A \leftrightarrow M$, $C \leftrightarrow N$, $B \leftrightarrow P$) nhưng vế phải vẫn giữ thứ tự $M$, $N$, $P$. Tương ứng $C \leftrightarrow N$, $B \leftrightarrow P$ mâu thuẫn với tương ứng ban đầu ($B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$). Sai. ✗

Kết luận: Khẳng định d) không đúng. Cách viết đúng phải là $\triangle ACB \backsim \triangle MPN$.

Bài 9.2 (trang 82)

Đề bài: Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau;

b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau;

c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau;

d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau;

e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.

Lời giải:

• a) Đúng. Hai tam giác bằng nhau có các góc bằng nhau và các cạnh bằng nhau, nên các cạnh tương ứng tỉ lệ với tỉ số $k = 1$ ⇒ đồng dạng.
• b) Sai. Phải có ba cặp góc bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ mới đồng dạng, không phải hai tam giác nào cũng vậy.
• c) Đúng. Mọi tam giác đều có ba góc bằng $60^\circ$, nên các cặp góc tương ứng luôn bằng nhau; ba cạnh của mỗi tam giác đều bằng nhau nên tỉ lệ ⇒ đồng dạng.
• d) Sai. Hai tam giác vuông mới có một cặp góc ($90^\circ$) bằng nhau, chưa đủ để khẳng định đồng dạng — cần thêm điều kiện về cạnh hoặc một góc nhọn khác bằng nhau.
• e) Sai. Hai tam giác đồng dạng chỉ cần tỉ số $k > 0$ bất kì, chứ không bắt buộc $k = 1$, nên không nhất thiết các cạnh bằng nhau.

Kết luận: Các khẳng định đúng là a) và c).

Bài 9.3 (trang 82)

Đề bài: Trong Hình 9.9, $ABC$ là tam giác không cân; $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Lời giải:

Năm tam giác đôi một đồng dạng là: $\triangle ABC$, $\triangle APN$, $\triangle PBM$, $\triangle NMC$, $\triangle MNP$.

Bước 1: Chứng minh ba tam giác nhỏ đồng dạng với $\triangle ABC$ (dùng định lí trong bài và tính chất đường trung bình).

• $P$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$ nên $PN$ là đường trung bình, suy ra $PN \parallel BC$. Theo định lí: $\triangle APN \backsim \triangle ABC$.
• $P$, $M$ là trung điểm $AB$, $BC$ nên $PM$ là đường trung bình, suy ra $PM \parallel AC$. Theo định lí: $\triangle PBM \backsim \triangle ABC$.
• $N$, $M$ là trung điểm $CA$, $CB$ nên $NM$ là đường trung bình, suy ra $NM \parallel AB$. Theo định lí: $\triangle NMC \backsim \triangle ABC$.

Bước 2: Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$MN = \dfrac{AB}{2} = AP; \quad MP = \dfrac{AC}{2} = AN; \quad NP = \dfrac{BC}{2}.$$

So sánh $\triangle MNP$ và $\triangle APN$: hai tam giác có $MN = AP$; $MP = AN$; $NP = NP$ (cạnh chung). Do đó $\triangle MNP = \triangle NPA$ (c.c.c). Vì $\triangle APN \backsim \triangle ABC$ (đã chứng minh) nên $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$.

Bước 3: Kết luận. Cả bốn tam giác $\triangle APN$, $\triangle PBM$, $\triangle NMC$, $\triangle MNP$ đều đồng dạng với $\triangle ABC$, nên năm tam giác $\triangle ABC$, $\triangle APN$, $\triangle PBM$, $\triangle NMC$, $\triangle MNP$ đôi một đồng dạng với nhau (do tính bắc cầu).

Bài 9.4 (trang 82)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ và tam giác $MNP$ cân tại đỉnh $M$. Biết rằng $\widehat{BAC} = \widehat{PMN}$, $AB = 2MN$. Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Ý tưởng: Dựng tam giác phụ $\triangle AB’C’$ bằng cách lấy trung điểm hai cạnh $AB$, $AC$. Khi đó $\triangle AB’C’ \backsim \triangle ABC$ (đường trung bình tạo tam giác đồng dạng), và sẽ chứng minh $\triangle AB’C’ = \triangle MNP$.

Bước 1: Dựng và xét $\triangle AB’C’$.

Gọi $B’$, $C’$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Khi đó $B’C’$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, suy ra $B’C’ \parallel BC$. Theo định lí:

$$\triangle AB’C’ \backsim \triangle ABC \quad \text{với tỉ số } \dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{1}{2}.$$

Bước 2: Chứng minh $\triangle AB’C’ = \triangle MNP$.

So sánh các yếu tố của hai tam giác:

• $AB’ = \dfrac{AB}{2} = MN$ (vì $AB = 2MN$).
• $\widehat{B’AC’} = \widehat{BAC} = \widehat{PMN}$ (theo giả thiết, và $B’$, $C’$ nằm trên $AB$, $AC$).
• $AC’ = \dfrac{AC}{2}$. Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB$, suy ra $AC’ = \dfrac{AB}{2} = MN$. Vì $\triangle MNP$ cân tại $M$ nên $MP = MN$. Do đó $AC’ = MP$.

Hai tam giác $AB’C’$ và $MNP$ có $AB’ = MN$, $AC’ = MP$ và góc xen giữa $\widehat{B’AC’} = \widehat{NMP}$. Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c):

$$\triangle AB’C’ = \triangle MNP.$$

Bước 3: Kết luận. Từ $\triangle AB’C’ = \triangle MNP$ và $\triangle AB’C’ \backsim \triangle ABC$, suy ra:

$$\triangle MNP \backsim \triangle ABC \quad \text{với tỉ số đồng dạng } k = \dfrac{1}{2}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du