Câu hỏi mở đầu (trang 93)

Đề bài: Bạn Lan vẽ một hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là $1$ và $3$ (đơn vị độ dài). Sau đó Lan đặt lên trục số đoạn $OM$ có độ dài bằng độ dài của đường chéo hình chữ nhật vừa vẽ (trục số nằm ngang và $M$ nằm bên phải gốc $O$). Hỏi điểm $M$ biểu diễn số thực nào?

Lời giải: Đáp án được trình bày chi tiết ở phần Vận dụng 1 bên dưới (sau khi đã học định lí Pythagore).

Định lí Pythagore

Hoạt động 1 (trang 93)

Đề bài: Cho tam giác vuông $ABC$ có hai cạnh góc vuông $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm (Hình 9.31). Hãy đo độ dài cạnh $BC$ và so sánh hai đại lượng $AB^2 + AC^2$ với $BC^2$.

Lời giải:

Dùng thước đo độ dài cạnh $BC$, ta được $BC = 5$ cm.

So sánh:

$$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25; \quad BC^2 = 5^2 = 25.$$

Vậy $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

Hoạt động 2 (trang 93)

Đề bài: Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau, hai cạnh góc vuông là $a$, $b$, cạnh huyền là $c$. Cắt hình vuông bằng tấm bìa cạnh $a + b$. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32. Tính diện tích phần bìa không bị che, tổng diện tích bốn tam giác, diện tích tấm bìa lớn rồi rút ra mối quan hệ giữa $c^2$ và $a^2 + b^2$.

Lời giải:

Diện tích phần bìa không bị che lấp. Dùng ê ke kiểm tra, phần bìa ở giữa là một hình vuông cạnh $c$ (vì bốn cạnh đều bằng $c$ và bốn góc đều bằng $90^\circ$). Do đó:

$$S_{\text{phần bìa giữa}} = c^2.$$

Tổng diện tích bốn tam giác vuông: mỗi tam giác có diện tích $\dfrac{ab}{2}$, nên:

$$S_{\text{4 tam giác}} = 4 \cdot \dfrac{ab}{2} = 2ab.$$

Diện tích tấm bìa hình vuông lớn:

$$S_{\text{lớn}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Mối quan hệ giữa $c^2$ và $a^2 + b^2$. Diện tích lớn = diện tích phần giữa + diện tích bốn tam giác, nên:

$$(a + b)^2 = c^2 + 2ab ;\Leftrightarrow; a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab ;\Leftrightarrow; c^2 = a^2 + b^2.$$

Kết luận: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông — đây chính là định lí Pythagore.

Câu hỏi trang 94 (Hình 9.34)

Đề bài: Tìm độ dài $x$ và $y$ trong Hình 9.34.

Lời giải:

Tam giác 1: Vuông với hai cạnh góc vuông là $1$ và $1$, cạnh huyền là $x$. Áp dụng định lí Pythagore:

$$x^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ;\Rightarrow; x = \sqrt{2}.$$

Tam giác 2: Vuông với một cạnh góc vuông là $1$, cạnh huyền là $\sqrt{5}$, cạnh còn lại là $y$. Áp dụng định lí Pythagore (với cạnh huyền $\sqrt{5}$):

$$(\sqrt{5})^2 = 1^2 + y^2 ;\Rightarrow; 5 = 1 + y^2 ;\Rightarrow; y^2 = 4 ;\Rightarrow; y = 2.$$

Kết luận: $x = \sqrt{2}$; $y = 2$.

Luyện tập 1 (trang 95)

Đề bài: Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng $1$ cm), cho các điểm $A$, $B$, $C$ như Hình 9.35. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Ý tưởng: Vẽ thêm các tam giác vuông phụ trợ (các cạnh dọc theo lưới ô vuông), rồi áp dụng định lí Pythagore để tính các cạnh nghiêng.

Tính $AC$: $AC$ là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $2$ ô (= $2$ cm) và $1$ ô (= $1$ cm):

$$AC^2 = 2^2 + 1^2 = 5 ;\Rightarrow; AC = \sqrt{5} \text{ (cm)}.$$

Tính $AB$: $AB$ là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $2$ cm và $3$ cm:

$$AB^2 = 2^2 + 3^2 = 13 ;\Rightarrow; AB = \sqrt{13} \text{ (cm)}.$$

Tính $BC$: $BC$ là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $1$ cm và $3$ cm:

$$BC^2 = 1^2 + 3^2 = 10 ;\Rightarrow; BC = \sqrt{10} \text{ (cm)}.$$

Kết luận: $AB = \sqrt{13}$ cm; $AC = \sqrt{5}$ cm; $BC = \sqrt{10}$ cm.

Vận dụng 1 (trang 95)

Đề bài: Giải bài toán mở đầu.

Lời giải:

Hình chữ nhật có chiều rộng $1$, chiều dài $3$. Đường chéo của hình chữ nhật là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $1$ và $3$. Áp dụng định lí Pythagore, độ dài đường chéo $d$ thỏa mãn:

$$d^2 = 1^2 + 3^2 = 10 ;\Rightarrow; d = \sqrt{10}.$$

Vì $OM = d = \sqrt{10}$ và $M$ nằm bên phải gốc $O$ trên trục số, nên:

Kết luận: Điểm $M$ biểu diễn số thực $\sqrt{10}$.

Ứng dụng của định lí Pythagore

Luyện tập 2 (trang 95)

Đề bài: Cho các tam giác vuông với kích thước như Hình 9.37. Hãy tính độ dài $x$ và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Bước 1: Tính các cạnh chưa biết của ba tam giác bằng định lí Pythagore.

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2$, suy ra $AB^2 = 13^2 – 12^2 = 169 – 144 = 25$, hay $x = AB = 5$ cm.

Trong $\triangle DEF$ vuông tại $E$: $FD^2 = DE^2 + EF^2$, suy ra $EF^2 = 13^2 – 5^2 = 144$, hay $EF = 12$ cm.

Trong $\triangle MNP$ vuông tại $M$: $NP^2 = MN^2 + MP^2 = 6^2 + 2{,}5^2 = 36 + 6{,}25 = 42{,}25$, hay $NP = 6{,}5$ cm.

Bước 2: Liệt kê độ dài ba cạnh của từng tam giác.

• $\triangle ABC$ (vuông tại $A$): $AB = 5$, $AC = 12$, $BC = 13$.
• $\triangle DEF$ (vuông tại $E$): $DE = 5$, $EF = 12$, $FD = 13$.
• $\triangle MNP$ (vuông tại $M$): $MP = 2{,}5$, $MN = 6$, $NP = 6{,}5$.

Bước 3: Xét các tỉ số.

$\triangle ABC$ và $\triangle EDF$: Đỉnh có góc vuông là $A$ và $E$. Tỉ số: $\dfrac{AB}{ED} = \dfrac{5}{5} = 1$; $\dfrac{AC}{EF} = \dfrac{12}{12} = 1$; $\dfrac{BC}{DF} = \dfrac{13}{13} = 1$. Vậy $\triangle ABC \backsim \triangle EDF$ (tỉ số $1$).

$\triangle ABC$ và $\triangle MPN$: Đỉnh có góc vuông là $A$ và $M$. Tỉ số: $\dfrac{AB}{MP} = \dfrac{5}{2{,}5} = 2$; $\dfrac{AC}{MN} = \dfrac{12}{6} = 2$; $\dfrac{BC}{PN} = \dfrac{13}{6{,}5} = 2$. Vậy $\triangle ABC \backsim \triangle MPN$ (tỉ số $2$).

Tương tự: $\triangle EDF \backsim \triangle MPN$ (tỉ số $2$).

Kết luận: $x = 5$ cm. Ba tam giác đôi một đồng dạng: $\triangle ABC \backsim \triangle EDF$, $\triangle ABC \backsim \triangle MPN$, $\triangle EDF \backsim \triangle MPN$.

Vận dụng 2 (trang 96)

Đề bài: Để đón một người khách, xe taxi xuất phát từ vị trí $A$, chạy dọc $3$ km đến $B$ thì rẽ vuông góc sang trái, chạy $3$ km đến $C$ thì tài xế rẽ vuông góc sang phải, chạy $1$ km nữa đến $D$ (Hình 9.38). Hỏi lúc đầu, khoảng cách $AD$ là bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Bước 1: Dựng điểm phụ. Kẻ $DH$ vuông góc với đường thẳng $AB$ kéo dài (về phía $B$), $H$ nằm trên đường thẳng đó.

Vì $AB \perp BC$ và $CD \perp BC$ (do tài xế rẽ vuông góc tại $B$, $C$), nên $AB \parallel CD$. Tứ giác $BHDC$ có $BH \parallel CD$, $BC \parallel HD$ và một góc vuông tại $B$ nên là hình chữ nhật. Do đó:

$$BH = CD = 1 \text{ km}; \quad HD = BC = 3 \text{ km}.$$

Bước 2: Tính $AH$. Vì $B$ nằm giữa $A$ và $H$ (do tài xế rẽ trái sau khi đi $AB$):

$$AH = AB + BH = 3 + 1 = 4 \text{ (km)}.$$

Bước 3: Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle AHD$ vuông tại $H$:

$$AD^2 = AH^2 + HD^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ;\Rightarrow; AD = 5 \text{ (km)}.$$

Kết luận: Khoảng cách lúc đầu giữa người lái xe và người khách là $5$ km.

Câu hỏi trang 96 (Hình 9.40)

Đề bài: Cho Hình 9.40, trong các đoạn thẳng $AC$, $AD$, $AE$, đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

Áp dụng nhận xét trong SGK: “Với cùng một đường cao $AH$, hình chiếu càng lớn thì đường xiên càng lớn.”

Vì $HD < HC < HE$ nên:

$$AD < AC < AE.$$

Kết luận: $AE$ có độ dài lớn nhất, $AD$ có độ dài nhỏ nhất.

Luyện tập 3 (trang 96)

Đề bài: Trước đây chúng ta thừa nhận: “Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.” Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh định lí trên.

Lời giải:

Giả thiết: $\triangle ABC$, $\triangle A’B’C’$ có $\widehat{A} = \widehat{A’} = 90^\circ$, $AB = A’B’$, $BC = B’C’$.

Kết luận: $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$.

Chứng minh:

Áp dụng định lí Pythagore cho hai tam giác vuông:

• Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 ;\Rightarrow; AC^2 = BC^2 – AB^2$.
• Trong $\triangle A’B’C’$ vuông tại $A’$: $B’C’^2 = A’B’^2 + A’C’^2 ;\Rightarrow; A’C’^2 = B’C’^2 – A’B’^2$.

Vì $BC = B’C’$ và $AB = A’B’$, từ hai đẳng thức trên: $AC^2 = A’C’^2$, do đó $AC = A’C’$.

Hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$ có $AB = A’B’$, $AC = A’C’$, $BC = B’C’$ (ba cặp cạnh bằng nhau từng đôi). Theo trường hợp c.c.c: $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$.

Thử thách nhỏ (trang 97)

Đề bài: Hãy tính chiều cao theo đơn vị centimét của một tam giác đều cạnh $2$ cm (Hình 9.42) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Trong tam giác đều $\triangle ABC$ cạnh $2$ cm, đường cao $AH$ (hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$ tại $H$) đồng thời là đường trung tuyến (tính chất tam giác đều), nên $H$ là trung điểm $BC$:

$$BH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \text{ (cm)}.$$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle ABH$ vuông tại $H$:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 ;\Rightarrow; AH^2 = AB^2 – BH^2 = 2^2 – 1^2 = 3 ;\Rightarrow; AH = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $AH \approx 1{,}73$ cm.

Kết luận: Chiều cao của tam giác đều cạnh $2$ cm là $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ cm.

Bài tập (trang 97)

Bài 9.17 (trang 97)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $AB^2 + BC^2 = AC^2$;

b) $BC^2 – AC^2 = AB^2$;

c) $AC^2 + BC^2 = AB^2$;

d) $BC^2 – AB^2 = AC^2$.

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC$ là cạnh huyền, $AB$ và $AC$ là hai cạnh góc vuông. Theo định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (\star).$$

Từ $(\star)$, chuyển vế ta cũng có $BC^2 – AC^2 = AB^2$ và $BC^2 – AB^2 = AC^2$.

• a) Sai — vì cạnh huyền là $BC$ (chứ không phải $AC$).
• b) Đúng — đây là $(\star)$ chuyển vế.
• c) Sai — vì cạnh huyền là $BC$ (chứ không phải $AB$).
• d) Đúng — đây cũng là $(\star)$ chuyển vế.

Kết luận: Các khẳng định đúng là b) và d).

Bài 9.18 (trang 97)

Đề bài: Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

a) $1$ cm, $1$ cm, $2$ cm; b) $2$ cm, $4$ cm, $20$ cm; c) $5$ cm, $4$ cm, $3$ cm; d) $2$ cm, $2$ cm, $2\sqrt{2}$ cm.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore đảo: bộ ba số là độ dài ba cạnh tam giác vuông khi và chỉ khi bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại (và ba cạnh thoả mãn bất đẳng thức tam giác).

• a) Cạnh lớn nhất là $2$. Có $1 + 1 = 2$ → không thoả bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh bằng cạnh thứ ba). Không là tam giác.
• b) Cạnh lớn nhất là $20$. Có $2 + 4 = 6 < 20$ → không thoả bất đẳng thức tam giác. Không là tam giác.
• c) Cạnh lớn nhất là $5$. Kiểm tra: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓ → là tam giác vuông.
• d) Cạnh lớn nhất là $2\sqrt{2}$. Kiểm tra: $2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2$ ✓ → là tam giác vuông.

Kết luận: Các bộ ba là cạnh tam giác vuông là c) và d).

Bài 9.19 (trang 97)

Đề bài: Tính các độ dài $x$, $y$, $z$, $t$ trong Hình 9.43.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho từng tam giác vuông.

Tính $x$: $x^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 ;\Rightarrow; x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Tính $y$: $5^2 = 4^2 + y^2 ;\Rightarrow; y^2 = 25 – 16 = 9 ;\Rightarrow; y = 3$.

Tính $z$: $z^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 ;\Rightarrow; z = 5$.

Tính $t$: $t^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 ;\Rightarrow; t = \sqrt{5}$.

Kết luận: $x = 2\sqrt{5}$; $y = 3$; $z = 5$; $t = \sqrt{5}$.

Bài 9.20 (trang 97)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$, chiều cao $AH = 3$ cm và cạnh đáy $BC = 10$ cm. Hãy tính độ dài các cạnh bên $AB$, $AC$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm $BH$. Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến, do đó $H$ là trung điểm của $BC$:

$$BH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle ABH$ vuông tại $H$:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 ;\Rightarrow; AB = \sqrt{34} \text{ (cm)}.$$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = \sqrt{34}$ cm.

Kết luận: $AB = AC = \sqrt{34}$ cm.

Bài 9.21 (trang 97)

Đề bài: Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng $8$ cm và đường chéo dài $17$ cm.

Lời giải:

Bước 1: Tìm chiều dài hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là chiều rộng và chiều dài. Gọi chiều dài là $a$ (cm). Áp dụng định lí Pythagore:

$$a^2 + 8^2 = 17^2 ;\Rightarrow; a^2 = 289 – 64 = 225 ;\Rightarrow; a = 15 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính diện tích:

$$S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = 15 \times 8 = 120 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích hình chữ nhật là $120$ cm².

Bài 9.22 (trang 97)

Đề bài: Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài $6$ m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm $A$, $B$, $E$, $F$, $D$ trong hình vuông $ABCD$ có cạnh $5$ m như Hình 9.44. Đầu xích buộc cố định tại điểm $A$. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không?

Lời giải:

Ý tưởng: Chú cún chạy được đến mọi điểm cách $A$ một khoảng không vượt quá $6$ m (= chiều dài dây xích). Ta cần kiểm tra xem điểm xa $A$ nhất trong mảnh vườn có cách $A$ quá $6$ m hay không.

Bước 1: Tính khoảng cách từ $A$ đến đỉnh $F$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $5$ m nên $AD = DC = 5$ m, $\widehat{ADC} = 90^\circ$. $F$ nằm trên $CD$ với $CF = 1$ m, suy ra $DF = DC – CF = 5 – 1 = 4$ m.

Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle ADF$ vuông tại $D$:

$$AF^2 = AD^2 + DF^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41 ;\Rightarrow; AF = \sqrt{41} \text{ (m)}.$$

Bước 2: So sánh $AF$ với $6$ m.

Vì $41 > 36 = 6^2$ nên $\sqrt{41} > 6$. Do đó $AF > 6$ m.

Kết luận: Chú cún không thể đến được điểm $F$ vì sợi dây chỉ dài $6$ m mà $AF \approx 6{,}40$ m. Do đó chú cún không thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du