Cách trình bày bám sát ba định lí đã học:

• Định lí 1: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
• Định lí 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
• Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt): Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Câu hỏi mở đầu (trang 98)

Đề bài: Nam và Việt muốn đo chiều cao của cột cờ ở sân trường mà hai bạn không trèo lên được. Vào buổi chiều, Nam đo thấy bóng của cột cờ dài $6$ m và bóng của Việt dài $70$ cm. Nam hỏi Việt cao bao nhiêu, Việt trả lời là cao $1{,}4$ m. Nam liền reo lên: “Tớ biết cột cờ cao bao nhiêu rồi đấy!”. Vậy cột cờ cao bao nhiêu và làm sao bạn Nam biết được?

Lời giải: Đáp án được trình bày chi tiết ở phần Luyện tập 1 bên dưới (sau khi đã học Định lí 1).

Câu hỏi trang 98 (Hình 9.46)

Đề bài: Hãy chỉ ra hai cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 9.46.

Lời giải:

Cặp 1: $\triangle ABC$ và $\triangle XZY$.

Hai tam giác vuông $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle XZY$ (vuông tại $X$) có $\widehat{B} = \widehat{Z} = 60^\circ$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Theo Định lí 1: $\triangle ABC \backsim \triangle XZY$.

Cặp 2: $\triangle DEF$ và $\triangle GKH$.

Xét hai tam giác vuông $\triangle DEF$ (vuông tại $D$) và $\triangle GKH$ (vuông tại $G$). So sánh hai cặp cạnh góc vuông:

$$\dfrac{DE}{GK} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{DF}{GH} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy $\dfrac{DE}{GK} = \dfrac{DF}{GH}$ — hai cạnh góc vuông tỉ lệ.

Theo Định lí 2: $\triangle DEF \backsim \triangle GKH$.

Kết luận: Hai cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 9.46 là:

$$\triangle ABC \backsim \triangle XZY \quad \text{và} \quad \triangle DEF \backsim \triangle GKH.$$

(Tam giác $\triangle PMN$ với góc $N = 50^\circ$ không có cặp đồng dạng tương ứng trong hình.)

Luyện tập 1 (trang 99)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, ta thấy chiếc cột cùng với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$, bạn Việt và bóng của mình cũng được xem là hai cạnh góc vuông của tam giác $A’B’C’$ vuông tại đỉnh $A’$ (H.9.48). Vì các tia sáng Mặt Trời tạo với hai cái bóng các góc bằng nhau nên $\widehat{B} = \widehat{B’}$.

a) Hai tam giác vuông $ABC$ và $A’B’C’$ có đồng dạng với nhau không?

b) Bạn Nam đã tính chiều cao cột cờ, tức là độ dài đoạn thẳng $AC$ như thế nào và kết quả là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Hai tam giác vuông $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle A’B’C’$ (vuông tại $A’$) có $\widehat{B} = \widehat{B’}$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Theo Định lí 1: $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

b) Tính chiều cao cột cờ $AC$.

Đổi đơn vị: $A’B’ = 70 \text{ cm} = 0{,}7 \text{ m}$.

Từ $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$, tỉ số đồng dạng cho ta:

$$\dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{AB}{A’B’}.$$

Suy ra:

$$AC = A’C’ \cdot \dfrac{AB}{A’B’} = 1{,}4 \cdot \dfrac{6}{0{,}7} = 1{,}4 \cdot \dfrac{60}{7} = 12 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Cột cờ cao $12$ m. Cách bạn Nam dùng là so sánh hai tam giác vuông đồng dạng tạo bởi cột cờ với bóng của nó và bạn Việt với bóng của mình.

Thử thách nhỏ (trang 100)

Đề bài: Một người đo chiều cao của một cái cây bằng cách cắm một chiếc cọc xuống đất, cọc cao $2{,}4$ m và cách vị trí gốc cây $19$ m. Người đó đứng cách xa chiếc cọc $1$ m và nhìn thấy đỉnh cọc thẳng với đỉnh của cây. Hãy tính chiều cao của cây, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là $1{,}6$ m (H.9.49).

Lời giải:

Bước 1: Mô tả lại bài toán bằng các đoạn thẳng.

Vì người nhìn thấy đỉnh cọc thẳng với đỉnh cây nên ba điểm $M$, $C$, $A$ thẳng hàng.

Kẻ tia $MY$ nằm ngang ($MY$ song song với mặt đất), tia này cắt cọc tại $X$ và cắt cây tại $Y$. Khi đó:

• $MX$ là khoảng cách ngang từ mắt đến cọc, $MX = DX = 1$ m.
• $MY$ là khoảng cách ngang từ mắt đến cây, $MY = MX + XY = 1 + 19 = 20$ m.
• $X$ ở độ cao $1{,}6$ m, $C$ ở độ cao $2{,}4$ m, nên $XC = 2{,}4 – 1{,}6 = 0{,}8$ m.
• $Y$ ở độ cao $1{,}6$ m, $A$ là đỉnh cây, nên $YA$ = chiều cao cây $- 1{,}6$ m.

Bước 2: Hai tam giác vuông đồng dạng.

Vì $XC$ và $YA$ thẳng đứng còn $MX$, $MY$ nằm ngang nên $\triangle MXC$ vuông tại $X$ và $\triangle MYA$ vuông tại $Y$.

Hai tam giác vuông này có $\widehat{XMC} = \widehat{YMA}$ (do $M$, $C$, $A$ thẳng hàng nên đây chỉ là một góc chung tại $M$).

Theo Định lí 1: $\triangle MXC \backsim \triangle MYA$.

Bước 3: Lập tỉ lệ và tính.

$$\dfrac{MX}{MY} = \dfrac{XC}{YA} ;\Rightarrow; \dfrac{1}{20} = \dfrac{0{,}8}{YA} ;\Rightarrow; YA = 20 \cdot 0{,}8 = 16 \text{ (m)}.$$

Chiều cao của cây $= YA + 1{,}6 = 16 + 1{,}6 = 17{,}6$ m.

Kết luận: Cây cao $17{,}6$ m.

Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông

HĐ1 (trang 100)

Đề bài: Các tam giác vuông $AHB$ và $A’H’B’$ trong Hình 9.50 mô tả hai con dốc có chiều dài lần lượt là $AB = 13$ m, $A’B’ = 6{,}5$ m và độ cao lần lượt là $BH = 5$ m, $B’H’ = 2{,}5$ m. Độ dốc của hai con dốc lần lượt được tính bởi số đo các góc $HAB$ và $H’A’B’$.

• Nhận xét về hai đại lượng $\dfrac{A’B’}{AB}$ và $\dfrac{B’H’}{BH}$.
• Dùng định lí Pythagore để tính $AH$ và $A’H’$.
• So sánh các đại lượng $\dfrac{A’H’}{AH}$ và $\dfrac{B’H’}{BH}$.
• Hai tam giác vuông $A’H’B’$ và $AHB$ có đồng dạng không? Từ đó rút ra kết luận gì về độ dốc của hai con dốc.

Lời giải:

Ý 1: So sánh hai tỉ số.

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{6{,}5}{13} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{B’H’}{BH} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’H’}{BH} = \dfrac{1}{2}$.

Ý 2: Tính $AH$ và $A’H’$ bằng định lí Pythagore.

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$, suy ra:

$$AH^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144 ;\Rightarrow; AH = 12 \text{ (m)}.$$

Trong $\triangle A’H’B’$ vuông tại $H’$: $A’B’^2 = A’H’^2 + B’H’^2$, suy ra:

$$A’H’^2 = 6{,}5^2 – 2{,}5^2 = 42{,}25 – 6{,}25 = 36 ;\Rightarrow; A’H’ = 6 \text{ (m)}.$$

Ý 3: So sánh $\dfrac{A’H’}{AH}$ và $\dfrac{B’H’}{BH}$.

$$\dfrac{A’H’}{AH} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{B’H’}{BH} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy $\dfrac{A’H’}{AH} = \dfrac{B’H’}{BH} = \dfrac{1}{2}$.

Ý 4: Đồng dạng và kết luận về độ dốc.

Hai tam giác vuông $\triangle A’H’B’$ (vuông tại $H’$) và $\triangle AHB$ (vuông tại $H$) có:

$$\dfrac{A’H’}{AH} = \dfrac{B’H’}{BH} = \dfrac{1}{2}.$$

Theo Định lí 2 (hai cạnh góc vuông tỉ lệ): $\triangle A’H’B’ \backsim \triangle AHB$.

Do đó $\widehat{H’A’B’} = \widehat{HAB}$. Vậy hai con dốc có độ dốc bằng nhau.

Câu hỏi trang 101 (Hình 9.52)

Đề bài: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông đồng dạng với nhau trong Hình 9.52, viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

Xét cặp $\triangle ACB$ và $\triangle DEF$.

Hai tam giác vuông $\triangle ACB$ (vuông tại $A$) và $\triangle DEF$ (vuông tại $D$) có:

$$\dfrac{AC}{DE} = \dfrac{3}{2}; \quad \dfrac{CB}{EF} = \dfrac{4{,}5}{3} = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy $\dfrac{AC}{DE} = \dfrac{CB}{EF}$ — cạnh góc vuông và cạnh huyền tỉ lệ.

Theo Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt): $\triangle ACB \backsim \triangle DEF$ (tỉ số $\dfrac{3}{2}$).

Xét các cặp còn lại.

• $\triangle ABC$ có cạnh huyền $BC = 4{,}5$ là cạnh dài nhất. $\triangle PMN$ có hai cạnh góc vuông là $4{,}5$ và $3$, nên cạnh huyền $PN > 4{,}5$. Hai tam giác có “vai trò” của các cạnh khác nhau (cùng số $4{,}5$ nhưng ở vị trí cạnh huyền và cạnh góc vuông) nên kiểm tra trực tiếp: $\dfrac{AC}{MN} = \dfrac{3}{3} = 1$ nhưng $\dfrac{AB}{MP} \ne 1$. Không đồng dạng.
• Tương tự, $\triangle DEF$ và $\triangle PMN$ không có cặp tỉ số nào bằng nhau giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng. Không đồng dạng.

Kết luận: Trong Hình 9.52 chỉ có một cặp tam giác vuông đồng dạng:

$$\triangle ACB \backsim \triangle DEF.$$

Luyện tập 2 (trang 102)

Đề bài: Một ngôi nhà với hai mái lệch $AB$, $CD$ được thiết kế như Hình 9.54 sao cho $CD = 6$ m, $AB = 4$ m, $HA = 2$ m, $AC = 1$ m. Chứng tỏ rằng $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hai tam giác vuông và tính $HC$.

Vì $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $BD$, ba điểm $H$, $A$, $C$ thẳng hàng và $CH \perp BD$ tại $H$. Do đó:

• $\triangle ABH$ vuông tại $H$, có cạnh góc vuông $AH = 2$ m và cạnh huyền $AB = 4$ m.
• $\triangle CDH$ vuông tại $H$, có cạnh góc vuông $CH = HA + AC = 2 + 1 = 3$ m và cạnh huyền $CD = 6$ m.

Bước 2: Lập tỉ số cạnh huyền và cạnh góc vuông.

$$\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{2}{3}; \quad \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$

Vậy $\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{AB}{CD}$ — cạnh góc vuông và cạnh huyền tỉ lệ.

Bước 3: Đồng dạng và suy ra góc bằng nhau.

Theo Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt): $\triangle ABH \backsim \triangle CDH$ (tỉ số $\dfrac{2}{3}$).

Do đó $\widehat{ABH} = \widehat{CDH}$ (hai góc tương ứng).

Vì $H$ nằm trên đoạn $BD$ nên:

$$\widehat{ABH} = \widehat{ABD}; \quad \widehat{CDH} = \widehat{CDB}.$$

Kết luận: $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$. (đpcm)

Vận dụng (trang 102)

Đề bài: Bác Minh muốn thay chiếc ti vi có chiều ngang của màn hình là $72$ cm (loại $32$ inch) bằng chiếc ti vi mới loại $55$ inch có cùng tỉ lệ khung hình (tỉ lệ giữa hai kích thước màn hình). Hỏi nếu khoảng trống đặt ti vi là một hình vuông cạnh $1$ m thì có thể đặt chiếc ti vi mới vào đó không?

Lời giải:

Bước 1: Phân tích hai màn hình bằng đường chéo.

“Loại $32$ inch” có nghĩa là đường chéo của màn hình dài $32$ inch; tương tự, loại $55$ inch có đường chéo dài $55$ inch.

Mỗi màn hình ti vi là một hình chữ nhật; đường chéo chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông bằng nhau. Hai màn hình có cùng tỉ lệ khung hình nên hai tam giác vuông này đồng dạng với nhau (cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ với cùng một tỉ số $k$ = tỉ số đường chéo).

Bước 2: Tính tỉ số đồng dạng.

Tỉ số giữa hai đường chéo:

$$k = \dfrac{\text{đường chéo TV mới}}{\text{đường chéo TV cũ}} = \dfrac{55}{32}.$$

Đây cũng chính là tỉ số giữa hai chiều ngang của hai màn hình (do hai tam giác vuông đồng dạng).

Bước 3: Tính chiều ngang TV mới.

Gọi chiều ngang của TV mới là $a$ (cm). Ta có:

$$\dfrac{a}{72} = \dfrac{55}{32} ;\Rightarrow; a = 72 \cdot \dfrac{55}{32} = \dfrac{72 \cdot 55}{32} = 123{,}75 \text{ (cm)}.$$

Bước 4: So sánh với cạnh hình vuông $1$ m.

Cạnh khoảng trống = $1$ m = $100$ cm. Ta thấy $123{,}75 > 100$, tức chiều ngang TV mới lớn hơn cạnh hình vuông.

Kết luận: Không thể đặt chiếc ti vi mới vào khoảng trống hình vuông cạnh $1$ m, vì chiều ngang của nó ($123{,}75$ cm) lớn hơn cạnh hình vuông ($100$ cm).

Bài tập (trang 102–103)

Bài 9.23 (trang 102)

Đề bài: Điều kiện nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác vuông đồng dạng?

a) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.

b) Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.

c) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.

d) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

Lời giải:

Ta đối chiếu từng điều kiện với ba định lí đã học:

• a) Đúng — đây chính là Định lí 1: hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.
• b) Đúng — đây chính là Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt): cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ thì đồng dạng.
• c) Sai — chỉ biết một cạnh góc vuông của hai tam giác bằng nhau (chứ chưa biết quan hệ với cạnh còn lại hoặc với góc) thì chưa đủ kết luận đồng dạng. Ví dụ: tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $3$ và $4$ với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $3$ và $5$ đều có một cạnh góc vuông là $3$ nhưng hai tam giác này có hình dạng khác nhau, không đồng dạng.
• d) Đúng — đây chính là Định lí 2: hai cạnh góc vuông tỉ lệ thì đồng dạng.

Kết luận: Các điều kiện đúng là a), b), d).

Bài 9.24 (trang 103)

Đề bài: Cặp tam giác vuông nào đồng dạng với nhau trong Hình 9.55?

Lời giải:

Xét trường hợp a). Tam giác nhỏ có hai cạnh góc vuông bằng nhau (đều bằng $1$), nên là tam giác vuông cân, hai góc nhọn đều $45^\circ$. Tam giác lớn có hai cạnh góc vuông $4$ và $2$, các góc nhọn lần lượt là $\arctan\dfrac{2}{4}$ và $\arctan\dfrac{4}{2}$ — khác $45^\circ$. Không đồng dạng.

Xét trường hợp b). Tam giác nhỏ: cạnh huyền $2$, một cạnh góc vuông $1$. Tỉ số (cạnh góc vuông) / (cạnh huyền) $= \dfrac{1}{2}$. Tam giác lớn: hai cạnh góc vuông $4$ và $2$, cạnh huyền bằng $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$. Các tỉ số (cạnh góc vuông) / (cạnh huyền) ở tam giác lớn là $\dfrac{2}{\sqrt{20}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ và $\dfrac{4}{\sqrt{20}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$, đều khác $\dfrac{1}{2}$. Không đồng dạng.

Xét trường hợp c). Tam giác nhỏ có góc nhọn $60^\circ$ (góc nhọn còn lại là $30^\circ$). Tam giác lớn có góc nhọn $70^\circ$ (góc nhọn còn lại là $20^\circ$). Không có cặp góc nhọn nào bằng nhau. Không đồng dạng.

Xét trường hợp d). Tam giác nhỏ: cạnh góc vuông $1$, cạnh huyền $3$. Tam giác lớn: cạnh góc vuông $1{,}5$, cạnh huyền $4{,}5$. So sánh tỉ số:

$$\dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{2}{3}; \quad \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}.$$

Vậy cạnh góc vuông và cạnh huyền tỉ lệ — theo Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt), hai tam giác vuông này đồng dạng với nhau (tỉ số $\dfrac{2}{3}$).

Kết luận: Cặp tam giác vuông đồng dạng là cặp ở trường hợp d).

Bài 9.25 (trang 103)

Đề bài: Cho góc nhọn $xOy$, các điểm $A$, $N$ nằm trên tia $Ox$, các điểm $B$, $M$ nằm trên tia $Oy$ sao cho $AM$, $BN$ lần lượt vuông góc với $Oy$, $Ox$. Chứng minh rằng $\triangle OAM \backsim \triangle OBN$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hai tam giác vuông.

Vì $AM \perp Oy$ tại $M$ nên $\widehat{OMA} = 90^\circ$. Suy ra $\triangle OAM$ vuông tại $M$.

Vì $BN \perp Ox$ tại $N$ nên $\widehat{ONB} = 90^\circ$. Suy ra $\triangle OBN$ vuông tại $N$.

Bước 2: Chỉ ra góc nhọn chung.

Cả hai tam giác $\triangle OAM$ và $\triangle OBN$ đều có góc nhọn chung tại $O$ (chính là góc $xOy$):

$$\widehat{AOM} = \widehat{BON} = \widehat{xOy}.$$

Bước 3: Áp dụng Định lí 1.

Hai tam giác vuông $\triangle OAM$ (vuông tại $M$) và $\triangle OBN$ (vuông tại $N$) có một cặp góc nhọn bằng nhau (góc $O$ chung).

Theo Định lí 1: $\triangle OAM \backsim \triangle OBN$. (đpcm)

Bài 9.26 (trang 103)

Đề bài: Cho hai hình chữ nhật $ABCD$ và $A’B’C’D’$ thoả mãn $AC = 3AB$, $B’D’ = 3A’B’$.

a) Chứng minh rằng $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

b) Nếu $A’B’ = 2AB$ và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $2$ m² thì diện tích hình chữ nhật $A’B’C’D’$ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$, do đó $\triangle ABC$ vuông tại $B$ với cạnh huyền là $AC$ (đường chéo của hình chữ nhật).

Tương tự, $\triangle A’B’C’$ vuông tại $B’$ với cạnh huyền là $A’C’$. Vì $A’B’C’D’$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau:

$$A’C’ = B’D’ = 3A’B’.$$

Xét hai tam giác vuông $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$:

$$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AB}{A’B’}; \quad \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{3AB}{3A’B’} = \dfrac{AB}{A’B’}.$$

Vậy $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}$ — cạnh góc vuông và cạnh huyền tỉ lệ.

Theo Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt): $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$. (đpcm)

b) Tính diện tích hình chữ nhật $A’B’C’D’$.

Từ câu a), $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{2AB}{AB} = 2 ;\Rightarrow; \text{tỉ số đồng dạng } k = 2.$$

Do tỉ số đồng dạng bằng $2$ nên cạnh tương ứng kia cũng tỉ lệ với $2$:

$$\dfrac{B’C’}{BC} = 2 ;\Rightarrow; B’C’ = 2 \cdot BC.$$

Diện tích hai hình chữ nhật:

• $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2$ (m²).
• $S_{A’B’C’D’} = A’B’ \cdot B’C’ = (2 \cdot AB)(2 \cdot BC) = 4 \cdot AB \cdot BC = 4 \cdot 2 = 8$ (m²).

Kết luận: Diện tích hình chữ nhật $A’B’C’D’$ là $8$ m².

Bài 9.27 (trang 103)

Đề bài: Cho $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$. Gọi $A’H’$ và $AH$ lần lượt là các đường cao đỉnh $A’$ và $A$ của tam giác $A’B’C’$ và tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{A’H’}{AH} = k$;

b) Diện tích tam giác $A’B’C’$ bằng $k^2$ lần diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Chứng minh $\dfrac{A’H’}{AH} = k$.

Vì $A’H’ \perp B’C’$ tại $H’$ và $AH \perp BC$ tại $H$ nên:

• $\triangle A’B’H’$ vuông tại $H’$.
• $\triangle ABH$ vuông tại $H$.

Vì $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ nên $\widehat{A’B’C’} = \widehat{ABC}$, tức $\widehat{B’} = \widehat{B}$. Mà $H’$ nằm trên $B’C’$, $H$ nằm trên $BC$ nên:

$$\widehat{A’B’H’} = \widehat{A’B’C’} = \widehat{B’}; \quad \widehat{ABH} = \widehat{ABC} = \widehat{B}.$$

Suy ra $\widehat{A’B’H’} = \widehat{ABH}$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Hai tam giác vuông $\triangle A’B’H’$ và $\triangle ABH$ có một cặp góc nhọn bằng nhau, nên theo Định lí 1: $\triangle A’B’H’ \backsim \triangle ABH$.

Do đó:

$$\dfrac{A’H’}{AH} = \dfrac{A’B’}{AB} = k. \quad \text{(đpcm)}$$

b) Chứng minh $S_{A’B’C’} = k^2 \cdot S_{ABC}$.

Từ $\triangle A’B’C’ \backsim \triangle ABC$ tỉ số $k$, suy ra $B’C’ = k \cdot BC$.

Từ câu a), $A’H’ = k \cdot AH$.

Diện tích hai tam giác:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH.$$

$$S_{A’B’C’} = \dfrac{1}{2} \cdot B’C’ \cdot A’H’ = \dfrac{1}{2} \cdot (k \cdot BC) \cdot (k \cdot AH) = k^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = k^2 \cdot S_{ABC}.$$

Kết luận: $S_{A’B’C’} = k^2 \cdot S_{ABC}$. (đpcm)

Bài 9.28 (trang 103)

Đề bài: Một người ở vị trí điểm $A$ muốn đo khoảng cách đến điểm $B$ ở bên kia sông mà không thể qua sông được. Sử dụng giác kế, người đó xác định được một điểm $M$ trên bờ sông sao cho $AM = 2$ m, $AM$ vuông góc với $AB$ và đo được số đo góc $AMB$. Tiếp theo, người đó vẽ trên giấy tam giác $A’M’B’$ vuông tại $A’$, có $A’M’ = 1$ cm, $\widehat{A’M’B’} = \widehat{AMB}$ và đo được $A’B’ = 5$ cm (H.9.56). Hỏi khoảng cách từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Bước 1: Hai tam giác vuông đồng dạng.

Theo đề bài:

• $\triangle ABM$ vuông tại $A$ (do $AM \perp AB$).
• $\triangle A’B’M’$ vuông tại $A’$.
• $\widehat{AMB} = \widehat{A’M’B’}$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Theo Định lí 1: $\triangle ABM \backsim \triangle A’B’M’$.

Bước 2: Lập tỉ số và tính $AB$.

Đổi đơn vị: $AM = 2$ m $= 200$ cm.

Từ đồng dạng:

$$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AM}{A’M’} ;\Rightarrow; \dfrac{AB}{5} = \dfrac{200}{1} = 200.$$

Suy ra:

$$AB = 5 \cdot 200 = 1000 \text{ (cm)} = 10 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $10$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du