• Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là một hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
• Đường cao là đoạn nối đỉnh hình chóp với giao điểm hai đường chéo của mặt đáy (tâm hình vuông đáy).
• Trung đoạn là đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên (đoạn từ đỉnh hình chóp đến trung điểm của một cạnh đáy).
• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = p \cdot d$, trong đó $p$ là nửa chu vi đáy, $d$ là trung đoạn.
• Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$, trong đó $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.

Hình chóp tứ giác đều

Câu hỏi mở đầu (trang 117)

Đề bài: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng $2\,500$ năm trước Công nguyên, là một trong những công trình cổ nhất và duy nhất còn tồn tại trong số bảy kì quan thế giới cổ đại. Kim tự tháp này có dạng hình chóp tứ giác đều cao $147$ m, cạnh đáy dài $230$ m (H.10.17). Kim tự tháp Kheops có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải: Đáp án được trình bày chi tiết ở phần Vận dụng bên dưới (sau khi đã học công thức tính thể tích $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$).

HĐ1 (trang 117)

Đề bài: Gọi tên đỉnh, các cạnh bên của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ trong Hình 10.18.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.18:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ (bốn cạnh nối đỉnh $S$ với bốn đỉnh của hình vuông đáy).

HĐ2 (trang 117)

Đề bài: Gọi tên đường cao, một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ trong Hình 10.18.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.18:

• Đường cao: $SO$ — đoạn nối đỉnh $S$ với tâm $O$ của hình vuông đáy (giao điểm hai đường chéo).
• Một trung đoạn: $SH$ — đoạn từ đỉnh $S$ vuông góc xuống trung điểm $H$ của một cạnh đáy (ở đây là cạnh $CD$).

HĐ3 (trang 117)

Đề bài: Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ trong Hình 10.18.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.18:

• Các mặt bên: $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ (bốn tam giác cân bằng nhau, chung đỉnh $S$).
• Mặt đáy: $ABCD$ (hình vuông).

Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều

Luyện tập 1 (trang 119)

Đề bài: Bác Khôi làm một chiếc hộp gỗ có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy của hình chóp là $2$ m, trung đoạn của hình chóp là $3$ m. Bác Khôi muốn sơn bốn mặt xung quanh của hộp gỗ. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả $30\,000$ đồng (tiền sơn và tiền công). Hỏi bác Khôi phải trả chi phí là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi mặt đáy.

Mặt đáy là hình vuông cạnh $2$ m, chu vi đáy $= 4 \cdot 2 = 8$ m. Nửa chu vi:

$$p = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ (m)}.$$

Bước 2: Tính diện tích xung quanh.

Trung đoạn $d = 3$ m. Áp dụng công thức:

$$S_{xq} = p \cdot d = 4 \cdot 3 = 12 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Bước 3: Tính chi phí.

Vì mỗi mét vuông sơn cần trả $30\,000$ đồng nên tổng chi phí sơn bốn mặt xung quanh là:

$$12 \cdot 30\,000 = 360\,000 \text{ (đồng)}.$$

Kết luận: Bác Khôi phải trả $360\,000$ đồng để sơn bốn mặt xung quanh của hộp gỗ.

Luyện tập 2 (trang 119)

Đề bài: Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng $2$ m, chiều cao bằng $2$ m (H.10.23).

a) Thể tích không khí trong lều là bao nhiêu?

b) Chiếc lều được phủ vải bốn phía và cả mặt tiếp đất. Tính diện tích vải bạt cần dùng (coi mép nối không đáng kể), biết rằng người ta đo được chiều cao của mỗi mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là $2{,}24$ m.

Lời giải:

a) Thể tích không khí trong lều.

Mặt đáy là hình vuông cạnh $2$ m, nên diện tích đáy:

$$S = 2^2 = 4 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Chiều cao của hình chóp $h = 2$ m. Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \dfrac{8}{3} \text{ (m}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích không khí trong lều là $\dfrac{8}{3}$ m³.

b) Diện tích vải bạt cần dùng.

Chú ý: “Chiều cao của mỗi mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là $2{,}24$ m” chính là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều, tức $d = 2{,}24$ m.

Bước 1: Tính diện tích xung quanh (bốn mặt bên).

Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$ m.

$$S_{xq} = p \cdot d = 4 \cdot 2{,}24 = 8{,}96 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Bước 2: Tính diện tích toàn phần (gồm bốn mặt bên và mặt đáy).

Vì lều phủ cả mặt tiếp đất nên diện tích vải bạt chính là diện tích toàn phần:

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 8{,}96 + 4 = 12{,}96 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích vải bạt cần dùng là $12{,}96$ m².

Vận dụng (trang 119)

Đề bài: Em hãy giải bài toán mở đầu. (Kim tự tháp Kheops cao $147$ m, cạnh đáy $230$ m, dạng hình chóp tứ giác đều. Tính thể tích.)

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích mặt đáy.

Mặt đáy là hình vuông cạnh $230$ m:

$$S = 230^2 = 52\,900 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích.

Chiều cao $h = 147$ m. Thể tích kim tự tháp:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 52\,900 \cdot 147 = 52\,900 \cdot 49 = 2\,592\,100 \text{ (m}^3\text{)}.$$

Kết luận: Kim tự tháp Kheops có thể tích là $2\,592\,100$ m³.

Bài tập (trang 120)

Bài 10.5 (trang 120)

Đề bài: Hãy cho biết đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều $S.EFGH$ trong Hình 10.24.

Lời giải:

Đối chiếu với Hình 10.24:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SE$, $SF$, $SG$, $SH$.
• Các mặt bên: $SEF$, $SFG$, $SGH$, $SHE$.
• Mặt đáy: $EFGH$ (hình vuông).
• Đường cao: $SI$.
• Một trung đoạn: $SK$.

Bài 10.6 (trang 120)

Đề bài: Trong các miếng bìa ở Hình 10.25, hình nào gấp lại cho ta một hình chóp tứ giác đều?

Lời giải:

Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là một hình vuông và bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung đỉnh. Vì vậy hình khai triển cần có đúng $1$ hình vuông và $4$ tam giác cân (mỗi tam giác cân ghép vào một cạnh của hình vuông).

• Hình a): chỉ có ba mặt bên (thiếu một mặt bên), không gấp được thành hình chóp tứ giác đều.
• Hình b): có $1$ hình vuông ở giữa và $4$ tam giác cân bằng nhau xung quanh. Khi gấp bốn tam giác cân lên dọc theo bốn cạnh của hình vuông, các đỉnh tam giác sẽ gặp nhau tạo thành đỉnh của hình chóp tứ giác đều.
• Hình c): khi ghép lại không đủ $4$ mặt bên.

Kết luận: Chỉ có miếng bìa b) gấp lại cho ta một hình chóp tứ giác đều.

Bài 10.7 (trang 120)

Đề bài: Từ tờ giấy cắt ra một hình vuông rồi thực hiện các thao tác như Hình 10.26 để có thể ghép được các mặt bên của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành. Học sinh làm theo các bước trong Hình 10.26:

• Bước ①: Cắt một tờ giấy thành hình vuông.
• Bước ②, ③: Gấp tờ giấy theo các đường chéo và các đường nối trung điểm các cạnh đối, tạo thành các nếp gấp chia hình vuông thành các tam giác cân nhỏ.
• Bước ④, ⑤: Mở giấy ra, ta thấy hình vuông được chia thành các tam giác cân bằng nhau.
• Bước ⑥: Ghép các tam giác cân vừa cắt được làm các mặt bên của hình chóp tứ giác đều.

Kết quả: Học sinh thu được các mặt bên (tam giác cân bằng nhau) của một hình chóp tứ giác đều.

Bài 10.8 (trang 120)

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh đáy bằng $10$ cm, trung đoạn bằng $13$ cm (H.10.27).

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh.

Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{4 \cdot 10}{2} = 20 \text{ (cm)}.$$

Trung đoạn $d = 13$ cm. Áp dụng công thức:

$$S_{xq} = p \cdot d = 20 \cdot 13 = 260 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

b) Diện tích toàn phần.

Diện tích mặt đáy (hình vuông cạnh $10$ cm):

$$S_{đáy} = 10^2 = 100 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Diện tích toàn phần:

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 260 + 100 = 360 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích xung quanh là $260$ cm² và diện tích toàn phần là $360$ cm².

Bài 10.9 (trang 120)

Đề bài: Bánh ít trong Hình 10.28 có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy bằng $3$ cm, chiều cao bằng $3$ cm. Tính thể tích của một chiếc bánh ít.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy.

Mặt đáy là hình vuông cạnh $3$ cm:

$$S = 3^2 = 9 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích.

Chiều cao của hình chóp $h = 3$ cm. Áp dụng công thức:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích của một chiếc bánh ít là $9$ cm³.

Bài 10.10 (trang 120)

Đề bài: Một khối bê tông có dạng như Hình 10.29. Phần dưới của khối bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh $40$ cm, chiều cao $25$ cm. Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao $100$ cm. Tính thể tích của khối bê tông đó.

Lời giải:

Bước 1: Tính thể tích phần hình hộp chữ nhật ở dưới.

$$V_{hộp} = 40 \cdot 40 \cdot 25 = 40\,000 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích phần hình chóp tứ giác đều ở trên.

Diện tích đáy hình chóp (hình vuông cạnh $40$ cm):

$$S_{chóp} = 40^2 = 1\,600 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Chiều cao hình chóp $h = 100$ cm:

$$V_{chóp} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{chóp} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 1\,600 \cdot 100 = \dfrac{160\,000}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Bước 3: Tính tổng thể tích khối bê tông.

$$V = V_{hộp} + V_{chóp} = 40\,000 + \dfrac{160\,000}{3} = \dfrac{120\,000 + 160\,000}{3} = \dfrac{280\,000}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Hay $V \approx 93\,333{,}33$ cm³.

Kết luận: Thể tích khối bê tông là $\dfrac{280\,000}{3}$ cm³ (khoảng $93\,333{,}33$ cm³).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du