1. Nhân đơn thức với đa thức

Luyện tập 1 (trang 19)

Đề bài: Nhân hai đơn thức:

a) $3x^2$ và $2x^3$;

b) $-xy$ và $4z^3$;

c) $6xy^3$ và $-0{,}5x^2$.

Lời giải:

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, và nhân các luỹ thừa cùng cơ số với nhau (cộng số mũ).

a) $3x^2 \cdot 2x^3 = (3 \cdot 2) \cdot (x^2 \cdot x^3) = 6x^5.$

b) $(-xy) \cdot 4z^3 = (-1 \cdot 4) \cdot (xy \cdot z^3) = -4xyz^3.$

c) $6xy^3 \cdot (-0{,}5)x^2 = [6 \cdot (-0{,}5)] \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^3 = -3x^3y^3.$

Hoạt động 1 (trang 19)

Đề bài: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân $(5x^2) \cdot (3x^2 – x – 4)$.

Lời giải:

Quy tắc: nhân đơn thức $5x^2$ với từng hạng tử của đa thức $3x^2 – x – 4$ rồi cộng các tích với nhau:

$$(5x^2) \cdot (3x^2 – x – 4) = 5x^2 \cdot 3x^2 + 5x^2 \cdot (-x) + 5x^2 \cdot (-4).$$

Tính từng tích đơn thức:

• $5x^2 \cdot 3x^2 = 15x^4$.
• $5x^2 \cdot (-x) = -5x^3$.
• $5x^2 \cdot (-4) = -20x^2$.

Vậy: $(5x^2) \cdot (3x^2 – x – 4) = 15x^4 – 5x^3 – 20x^2.$

Hoạt động 2 (trang 19)

Đề bài: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân $(5x^2y) \cdot (3x^2y – xy – 4y)$.

Lời giải:

Nhân đơn thức $5x^2y$ với từng hạng tử của đa thức $3x^2y – xy – 4y$:

$$(5x^2y) \cdot (3x^2y – xy – 4y) = 5x^2y \cdot 3x^2y + 5x^2y \cdot (-xy) + 5x^2y \cdot (-4y).$$

Tính từng tích:

• $5x^2y \cdot 3x^2y = (5 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y \cdot y) = 15x^4y^2$.
• $5x^2y \cdot (-xy) = (5 \cdot (-1)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -5x^3y^2$.
• $5x^2y \cdot (-4y) = (5 \cdot (-4)) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y) = -20x^2y^2$.

Vậy: $(5x^2y) \cdot (3x^2y – xy – 4y) = 15x^4y^2 – 5x^3y^2 – 20x^2y^2.$

Luyện tập 2 (trang 20)

Đề bài: Làm tính nhân:

a) $(xy) \cdot (x^2 + xy – y^2)$;

b) $(xy + yz + zx) \cdot (-xyz)$.

Lời giải:

a) Nhân đơn thức $xy$ với từng hạng tử của đa thức:

$$(xy) \cdot (x^2 + xy – y^2) = xy \cdot x^2 + xy \cdot xy + xy \cdot (-y^2).$$

Tính từng tích:

• $xy \cdot x^2 = x^3y$.
• $xy \cdot xy = x^2y^2$.
• $xy \cdot (-y^2) = -xy^3$.

Vậy: $(xy) \cdot (x^2 + xy – y^2) = x^3y + x^2y^2 – xy^3.$

b) Nhân từng hạng tử của đa thức $xy + yz + zx$ với đơn thức $-xyz$ (theo tính chất giao hoán của phép nhân, $(xy + yz + zx) \cdot (-xyz) = (-xyz) \cdot (xy + yz + zx)$):

$$(xy + yz + zx) \cdot (-xyz) = xy \cdot (-xyz) + yz \cdot (-xyz) + zx \cdot (-xyz).$$

Tính từng tích:

• $xy \cdot (-xyz) = -x^2y^2z$.
• $yz \cdot (-xyz) = -xy^2z^2$.
• $zx \cdot (-xyz) = -x^2yz^2$.

Vậy: $(xy + yz + zx) \cdot (-xyz) = -x^2y^2z – xy^2z^2 – x^2yz^2.$

Vận dụng (trang 20)

Đề bài: Rút gọn biểu thức: $x^3(x + y) – x(x^3 + y^3)$.

Lời giải:

Nhân đơn thức với từng hạng tử trong mỗi dấu ngoặc, rồi trừ:

$$x^3(x + y) = x^3 \cdot x + x^3 \cdot y = x^4 + x^3y.$$

$$x(x^3 + y^3) = x \cdot x^3 + x \cdot y^3 = x^4 + xy^3.$$

Thực hiện phép trừ (chú ý đổi dấu các hạng tử trong dấu ngoặc thứ hai):

$$x^3(x + y) – x(x^3 + y^3) = (x^4 + x^3y) – (x^4 + xy^3) = x^4 + x^3y – x^4 – xy^3.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^4$ và $-x^4$: triệt tiêu.
• $x^3y$ và $-xy^3$: không đồng dạng.

Vậy: $x^3(x + y) – x(x^3 + y^3) = x^3y – xy^3.$

2. Nhân đa thức với đa thức

Hoạt động 3 (trang 20)

Đề bài: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân: $(2x + 3) \cdot (x^2 – 5x + 4)$.

Lời giải:

Nhân mỗi hạng tử của $(2x + 3)$ với từng hạng tử của $(x^2 – 5x + 4)$ rồi cộng các tích lại:

$$(2x + 3)(x^2 – 5x + 4) = 2x \cdot (x^2 – 5x + 4) + 3 \cdot (x^2 – 5x + 4).$$

Khai triển hai tích:

• $2x \cdot (x^2 – 5x + 4) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-5x) + 2x \cdot 4 = 2x^3 – 10x^2 + 8x$.
• $3 \cdot (x^2 – 5x + 4) = 3x^2 – 15x + 12$.

Cộng hai kết quả và thu gọn:

$$(2x + 3)(x^2 – 5x + 4) = 2x^3 – 10x^2 + 8x + 3x^2 – 15x + 12.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $-10x^2 + 3x^2 = -7x^2$.
• $8x – 15x = -7x$.

Vậy: $(2x + 3)(x^2 – 5x + 4) = 2x^3 – 7x^2 – 7x + 12.$

Hoạt động 4 (trang 20)

Đề bài: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân $(2x + 3y) \cdot (x^2 – 5xy + 4y^2)$.

Lời giải:

Nhân mỗi hạng tử của $(2x + 3y)$ với từng hạng tử của $(x^2 – 5xy + 4y^2)$:

$$(2x + 3y)(x^2 – 5xy + 4y^2) = 2x \cdot (x^2 – 5xy + 4y^2) + 3y \cdot (x^2 – 5xy + 4y^2).$$

Khai triển hai tích:

• $2x \cdot (x^2 – 5xy + 4y^2) = 2x^3 – 10x^2y + 8xy^2$.
• $3y \cdot (x^2 – 5xy + 4y^2) = 3x^2y – 15xy^2 + 12y^3$.

Cộng và thu gọn:

$$(2x + 3y)(x^2 – 5xy + 4y^2) = 2x^3 – 10x^2y + 8xy^2 + 3x^2y – 15xy^2 + 12y^3.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $-10x^2y + 3x^2y = -7x^2y$.
• $8xy^2 – 15xy^2 = -7xy^2$.

Vậy: $(2x + 3y)(x^2 – 5xy + 4y^2) = 2x^3 – 7x^2y – 7xy^2 + 12y^3.$

Luyện tập 3 (trang 21)

Đề bài: Thực hiện phép nhân:

a) $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2)$;

b) $(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2)$.

Lời giải:

a) Nhân mỗi hạng tử của $(2x + y)$ với từng hạng tử của $(4x^2 – 2xy + y^2)$:

$$(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) = 2x \cdot (4x^2 – 2xy + y^2) + y \cdot (4x^2 – 2xy + y^2).$$

Khai triển:

• $2x \cdot (4x^2 – 2xy + y^2) = 8x^3 – 4x^2y + 2xy^2$.
• $y \cdot (4x^2 – 2xy + y^2) = 4x^2y – 2xy^2 + y^3$.

Cộng lại và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) = 8x^3 – 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y – 2xy^2 + y^3.$$

• $-4x^2y + 4x^2y = 0$ (triệt tiêu).
• $2xy^2 – 2xy^2 = 0$ (triệt tiêu).

Vậy: $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) = 8x^3 + y^3.$

b) $(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2)$. Nhân từng hạng tử của ngoặc thứ nhất với từng hạng tử của ngoặc thứ hai:

$$(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2) = x^2y^2 \cdot 3 + x^2y^2 \cdot x^2y^2 + (-3) \cdot 3 + (-3) \cdot x^2y^2.$$

Tính từng tích:

• $x^2y^2 \cdot 3 = 3x^2y^2$.
• $x^2y^2 \cdot x^2y^2 = x^4y^4$.
• $(-3) \cdot 3 = -9$.
• $(-3) \cdot x^2y^2 = -3x^2y^2$.

Cộng lại:

$$(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2) = 3x^2y^2 + x^4y^4 – 9 – 3x^2y^2.$$

• $3x^2y^2 – 3x^2y^2 = 0$ (triệt tiêu).

Vậy: $(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2) = x^4y^4 – 9.$

Thử thách nhỏ (trang 21)

Đề bài: Xét biểu thức đại số với hai biến $k$ và $m$ sau:

$$P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).$$

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của $k$ và $m$, giá trị của biểu thức $P$ luôn là một số nguyên chia hết cho $5$.

Lời giải:

a) Rút gọn $P$.

Tính riêng hai tích trước rồi mới trừ:

Tính $(2k – 3)(3m – 2)$:

$$(2k – 3)(3m – 2) = 2k \cdot 3m + 2k \cdot (-2) + (-3) \cdot 3m + (-3) \cdot (-2) = 6km – 4k – 9m + 6.$$

Tính $(3k – 2)(2m – 3)$:

$$(3k – 2)(2m – 3) = 3k \cdot 2m + 3k \cdot (-3) + (-2) \cdot 2m + (-2) \cdot (-3) = 6km – 9k – 4m + 6.$$

Lập $P$:

$$P = (6km – 4k – 9m + 6) – (6km – 9k – 4m + 6).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$P = 6km – 4k – 9m + 6 – 6km + 9k + 4m – 6.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $6km$ và $-6km$: triệt tiêu.
• $-4k$ và $9k$: $-4 + 9 = 5$ → $5k$.
• $-9m$ và $4m$: $-9 + 4 = -5$ → $-5m$.
• $6$ và $-6$: triệt tiêu.

Vậy: $P = 5k – 5m.$

b) Chứng minh $P$ chia hết cho $5$ với mọi $k$, $m$ nguyên.

Theo gợi ý, ta viết $P$ dưới dạng $P = 5A$ với $A$ là biểu thức nhận giá trị nguyên khi $k$ và $m$ nguyên. Từ kết quả câu a:

$$P = 5k – 5m = 5(k – m).$$

Đặt $A = k – m$. Khi $k$ và $m$ là các số nguyên thì $A = k – m$ cũng là một số nguyên. Do đó:

$$P = 5 \cdot A = 5 \cdot (\text{số nguyên}),$$

nghĩa là $P$ luôn là một số nguyên chia hết cho $5$ tại mọi giá trị nguyên của $k$ và $m$ (điều phải chứng minh).

Bài tập (trang 21)

Bài 1.24 (trang 21)

Đề bài: Nhân hai đơn thức:

a) $5x^2y$ và $2xy^2$;

b) $\dfrac{3}{4}xy$ và $8x^3y^2$;

c) $1{,}5xy^2z^3$ và $2x^3y^2z$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức (nhân các hệ số, nhân các luỹ thừa cùng cơ số):

a) $5x^2y \cdot 2xy^2 = (5 \cdot 2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) = 10x^3y^3.$

b) $\dfrac{3}{4}xy \cdot 8x^3y^2 = \left(\dfrac{3}{4} \cdot 8\right) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^2) = 6x^4y^3.$

c) $1{,}5xy^2z^3 \cdot 2x^3y^2z = (1{,}5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^2) \cdot (z^3 \cdot z) = 3x^4y^4z^4.$

Bài 1.25 (trang 21)

Đề bài: Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) $(-0{,}5)xy^2 \cdot (2xy – x^2 + 4y)$;

b) $\left(x^3y – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right) \cdot 6xy^3$.

Lời giải:

Quy tắc: nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.

a) Nhân $(-0{,}5)xy^2$ với từng hạng tử của $(2xy – x^2 + 4y)$:

$$(-0{,}5)xy^2 \cdot (2xy – x^2 + 4y) = (-0{,}5)xy^2 \cdot 2xy + (-0{,}5)xy^2 \cdot (-x^2) + (-0{,}5)xy^2 \cdot 4y.$$

Tính từng tích:

• $(-0{,}5)xy^2 \cdot 2xy = (-0{,}5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) = -x^2y^3$.
• $(-0{,}5)xy^2 \cdot (-x^2) = (-0{,}5) \cdot (-1) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2 = 0{,}5x^3y^2$.
• $(-0{,}5)xy^2 \cdot 4y = (-0{,}5 \cdot 4) \cdot x \cdot (y^2 \cdot y) = -2xy^3$.

Vậy: $(-0{,}5)xy^2 \cdot (2xy – x^2 + 4y) = 0{,}5x^3y^2 – x^2y^3 – 2xy^3.$

b) Nhân $6xy^3$ với từng hạng tử của $\left(x^3y – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right)$:

$$\left(x^3y – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right) \cdot 6xy^3 = x^3y \cdot 6xy^3 + \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right) \cdot 6xy^3 + \dfrac{1}{3}xy \cdot 6xy^3.$$

Tính từng tích:

• $x^3y \cdot 6xy^3 = 6 \cdot (x^3 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = 6x^4y^4$.
• $\left(-\dfrac{1}{2}x^2\right) \cdot 6xy^3 = \left(-\dfrac{1}{2} \cdot 6\right) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y^3 = -3x^3y^3$.
• $\dfrac{1}{3}xy \cdot 6xy^3 = \left(\dfrac{1}{3} \cdot 6\right) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = 2x^2y^4$.

Vậy: $\left(x^3y – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right) \cdot 6xy^3 = 6x^4y^4 – 3x^3y^3 + 2x^2y^4.$

Bài 1.26 (trang 21)

Đề bài: Rút gọn biểu thức: $x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)$.

Lời giải:

Khai triển từng tích trước:

• $x(x^2 – y) = x \cdot x^2 + x \cdot (-y) = x^3 – xy$.
• $x^2(x + y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y = x^3 + x^2y$.
• $xy(x – 1) = xy \cdot x + xy \cdot (-1) = x^2y – xy$.

Thay vào biểu thức ban đầu (chú ý dấu trừ trước $x^2(x+y)$):

$$x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1) = (x^3 – xy) – (x^3 + x^2y) + (x^2y – xy).$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$= x^3 – xy – x^3 – x^2y + x^2y – xy.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $x^3$ và $-x^3$: triệt tiêu.
• $-x^2y$ và $x^2y$: triệt tiêu.
• $-xy$ và $-xy$: $-1 – 1 = -2$ → $-2xy$.

Vậy: $x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1) = -2xy.$

Bài 1.27 (trang 21)

Đề bài: Làm tính nhân:

a) $(x^2 – xy + 1)(xy + 3)$;

b) $\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2\right)(x – 2y)$.

Lời giải:

a) Nhân từng hạng tử của $(x^2 – xy + 1)$ với từng hạng tử của $(xy + 3)$:

$$(x^2 – xy + 1)(xy + 3) = x^2 \cdot xy + x^2 \cdot 3 + (-xy) \cdot xy + (-xy) \cdot 3 + 1 \cdot xy + 1 \cdot 3.$$

Tính từng tích:

• $x^2 \cdot xy = x^3y$.
• $x^2 \cdot 3 = 3x^2$.
• $(-xy) \cdot xy = -x^2y^2$.
• $(-xy) \cdot 3 = -3xy$.
• $1 \cdot xy = xy$.
• $1 \cdot 3 = 3$.

Cộng lại:

$$(x^2 – xy + 1)(xy + 3) = x^3y + 3x^2 – x^2y^2 – 3xy + xy + 3.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $-3xy + xy = -2xy$.

Vậy: $(x^2 – xy + 1)(xy + 3) = x^3y – x^2y^2 + 3x^2 – 2xy + 3.$

b) Nhân từng hạng tử của $\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2\right)$ với từng hạng tử của $(x – 2y)$:

$$\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2\right)(x – 2y) = x^2y^2 \cdot x + x^2y^2 \cdot (-2y) + \left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot x + \left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot (-2y) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-2y).$$

Tính từng tích:

• $x^2y^2 \cdot x = x^3y^2$.
• $x^2y^2 \cdot (-2y) = -2x^2y^3$.
• $\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot x = -\dfrac{1}{2}x^2y$.
• $\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot (-2y) = \left(-\dfrac{1}{2} \cdot (-2)\right) \cdot x \cdot (y \cdot y) = xy^2$.
• $2 \cdot x = 2x$.
• $2 \cdot (-2y) = -4y$.

Trong các hạng tử trên không có hai hạng tử nào đồng dạng nên ta giữ nguyên. Vậy:

$$\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2\right)(x – 2y) = x^3y^2 – 2x^2y^3 – \dfrac{1}{2}x^2y + xy^2 + 2x – 4y.$$

Bài 1.28 (trang 21)

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: $(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7$.

Lời giải:

Tính riêng từng tích, rồi cộng lại.

Tính $(x – 5)(2x + 3)$:

$$(x – 5)(2x + 3) = x \cdot 2x + x \cdot 3 + (-5) \cdot 2x + (-5) \cdot 3 = 2x^2 + 3x – 10x – 15 = 2x^2 – 7x – 15.$$

Tính $2x(x – 3)$:

$$2x(x – 3) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-3) = 2x^2 – 6x.$$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 = (2x^2 – 7x – 15) – (2x^2 – 6x) + x + 7.$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$= 2x^2 – 7x – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $2x^2$ và $-2x^2$: triệt tiêu.
• $-7x$, $6x$ và $x$: $-7 + 6 + 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $-15$ và $7$: $-15 + 7 = -8$.

Vậy:

$$(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 = -8.$$

Biểu thức rút gọn bằng $-8$ là một hằng số (không chứa $x$), nên giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ — với mọi $x$, biểu thức luôn bằng $-8$.

Bài 1.29 (trang 21)

Đề bài: Chứng minh đẳng thức sau: $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$.

Lời giải:

Ta tính riêng vế trái (VT) và vế phải (VP), rồi so sánh.

Tính vế trái $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2)$:

Nhân từng hạng tử của $(2x + y)$ với từng hạng tử của $(2x^2 + xy – y^2)$:

$$\text{VT} = 2x \cdot (2x^2 + xy – y^2) + y \cdot (2x^2 + xy – y^2).$$

Khai triển:

• $2x \cdot (2x^2 + xy – y^2) = 4x^3 + 2x^2y – 2xy^2$.
• $y \cdot (2x^2 + xy – y^2) = 2x^2y + xy^2 – y^3$.

Cộng lại và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$\text{VT} = 4x^3 + 2x^2y – 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 – y^3.$$

• $2x^2y + 2x^2y = 4x^2y$.
• $-2xy^2 + xy^2 = -xy^2$.

Vậy: $\text{VT} = 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3.$

Tính vế phải $(2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$:

Nhân từng hạng tử của $(2x – y)$ với từng hạng tử của $(2x^2 + 3xy + y^2)$:

$$\text{VP} = 2x \cdot (2x^2 + 3xy + y^2) + (-y) \cdot (2x^2 + 3xy + y^2).$$

Khai triển:

• $2x \cdot (2x^2 + 3xy + y^2) = 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2$.
• $(-y) \cdot (2x^2 + 3xy + y^2) = -2x^2y – 3xy^2 – y^3$.

Cộng lại và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$\text{VP} = 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2 – 2x^2y – 3xy^2 – y^3.$$

• $6x^2y – 2x^2y = 4x^2y$.
• $2xy^2 – 3xy^2 = -xy^2$.

Vậy: $\text{VP} = 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3.$

So sánh: $\text{VT} = \text{VP} = 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$. Vậy đẳng thức được chứng minh.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du