A. Trắc nghiệm (trang 25)

Bài 6.36 (trang 25)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\dfrac{(x – 1)^2}{x – 2} = \dfrac{(1 – x)^2}{2 – x}$;

B. $\dfrac{3x}{(x + 2)^2} = \dfrac{3x}{(x – 2)^2}$;

C. $\dfrac{3x}{(x + 2)^2} = \dfrac{-3x}{(x – 2)^2}$;

D. $\dfrac{3x}{(x + 2)^2} = \dfrac{3x}{(-x – 2)^2}$.

Lời giải:

Xét đáp án D: vì $(-x – 2)^2 = \big[-(x + 2)\big]^2 = (x + 2)^2$, nên hai mẫu thức bằng nhau, tử thức cũng bằng nhau, đẳng thức đúng.

(Các đáp án A, B, C đều sai vì hai mẫu thức $(x + 2)^2$ và $(x – 2)^2$ không bằng nhau, riêng A thì tử bằng nhau nhưng mẫu chỉ ngược dấu nên hai phân thức không bằng nhau.)

Đáp án: D.

Bài 6.37 (trang 25)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\dfrac{-6x}{-4x^2(x + 2)^2} = \dfrac{3}{2x(x + 2)^2}$;

B. $\dfrac{-5}{-2} = \dfrac{10x}{4x}$;

C. $\dfrac{x + 1}{x – 1} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 – x + 1}$;

D. $\dfrac{-6x}{-4(-x)^2(x – 2)^2} = \dfrac{3}{2x(-x + 2)^2}$.

Lời giải:

Xét đáp án C bằng cách kiểm tra tích chéo:

$(x + 1)(x^2 – x + 1) = x^3 + 1$ (hằng đẳng thức tổng hai lập phương);

$(x – 1)(x^2 + x + 1) = x^3 – 1$ (hằng đẳng thức hiệu hai lập phương).

Hai tích chéo khác nhau nên khẳng định C sai.

(Các đáp án A, B, D đều đúng — A và D rút gọn nhân tử chung $-2x$, B là đẳng thức $\dfrac{5}{2} = \dfrac{10x}{4x}$ với $x \neq 0$.)

Đáp án: C.

Bài 6.38 (trang 25)

Đề bài: Trong đẳng thức $\dfrac{2x^2 + 1}{4x – 1} = \dfrac{8x^3 + 4x}{Q}$, $Q$ là đa thức nào?

A. $4x$; B. $4x^2$; C. $16x – 4$; D. $16x^2 – 4x$.

Lời giải:

Tử thức vế phải $= 8x^3 + 4x = (2x^2 + 1) \cdot 4x$, tức tử thức vế trái được nhân với $4x$. Theo tính chất cơ bản của phân thức, mẫu thức cũng phải nhân với $4x$:

$$Q = (4x – 1) \cdot 4x = 16x^2 – 4x.$$

Đáp án: D.

Bài 6.39 (trang 25)

Đề bài: Nếu $\dfrac{-5x + 5}{2xy} – \dfrac{-9x – 7}{2xy} = \dfrac{bx + c}{xy}$ thì $b + c$ bằng?

A. $-4$; B. $8$; C. $4$; D. $-10$.

Lời giải:

Tính vế trái (cùng mẫu, trừ tử):

$$\dfrac{(-5x + 5) – (-9x – 7)}{2xy} = \dfrac{-5x + 5 + 9x + 7}{2xy} = \dfrac{4x + 12}{2xy} = \dfrac{2x + 6}{xy}.$$

So sánh với vế phải $\dfrac{bx + c}{xy}$: $b = 2$, $c = 6$, suy ra $b + c = 8$.

Đáp án: B.

Bài 6.40 (trang 25)

Đề bài: Một ngân hàng huy động vốn với mức lãi suất một năm là $x%$. Để sau một năm, người gửi được lãi $a$ đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là?

A. $\dfrac{100a}{x}$ (đồng); B. $\dfrac{a}{x + 100}$ (đồng); C. $\dfrac{a}{x + 1}$ (đồng); D. $\dfrac{100a}{x + 100}$ (đồng).

Lời giải:

Gọi $S$ là số tiền gửi vào. Số tiền lãi sau một năm $= S \cdot \dfrac{x}{100}$, theo đề bài bằng $a$:

$$S \cdot \dfrac{x}{100} = a ;;\Rightarrow;; S = \dfrac{100a}{x} \text{ (đồng)}.$$

Đáp án: A.

B. Tự luận (trang 26)

Bài 6.41 (trang 26)

Đề bài: Tìm đa thức $P$ trong các đẳng thức sau:

a) $P + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x}{x^2 – 2x + 4}$;

b) $P – \dfrac{4(x – 2)}{x + 2} = \dfrac{16}{x – 2}$;

c) $P \cdot \dfrac{x – 2}{x + 3} = \dfrac{x^2 – 4x + 4}{x^2 – 9}$;

d) $P : \dfrac{x^2 – 9}{2x + 4} = \dfrac{x^2 – 4}{x^2 + 3x}$.

Lời giải:

a) $P = \dfrac{x}{x^2 – 2x + 4} – \dfrac{1}{x + 2}$.

Mẫu thức $(x^2 – 2x + 4)$ và $(x + 2)$ kết hợp với hằng đẳng thức $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)$. MTC $= x^3 + 8$.

$$P = \dfrac{x(x + 2)}{x^3 + 8} – \dfrac{x^2 – 2x + 4}{x^3 + 8} = \dfrac{x^2 + 2x – x^2 + 2x – 4}{x^3 + 8} = \dfrac{4x – 4}{x^3 + 8} = \dfrac{4(x – 1)}{x^3 + 8}.$$

b) $P = \dfrac{16}{x – 2} + \dfrac{4(x – 2)}{x + 2}$. MTC $= (x – 2)(x + 2) = x^2 – 4$.

$$P = \dfrac{16(x + 2)}{x^2 – 4} + \dfrac{4(x – 2)^2}{x^2 – 4} = \dfrac{16x + 32 + 4(x^2 – 4x + 4)}{x^2 – 4} = \dfrac{4x^2 + 48}{x^2 – 4} = \dfrac{4(x^2 + 12)}{x^2 – 4}.$$

c) $P = \dfrac{x^2 – 4x + 4}{x^2 – 9} : \dfrac{x – 2}{x + 3} = \dfrac{x^2 – 4x + 4}{x^2 – 9} \cdot \dfrac{x + 3}{x – 2}$.

Phân tích $x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2$; $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$:

$$P = \dfrac{(x – 2)^2(x + 3)}{(x – 3)(x + 3)(x – 2)} = \dfrac{x – 2}{x – 3}.$$

d) $P = \dfrac{x^2 – 9}{2x + 4} \cdot \dfrac{x^2 – 4}{x^2 + 3x}$.

Phân tích: $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$; $2x + 4 = 2(x + 2)$; $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$; $x^2 + 3x = x(x + 3)$.

$$P = \dfrac{(x – 3)(x + 3)(x – 2)(x + 2)}{2(x + 2) \cdot x(x + 3)} = \dfrac{(x – 3)(x – 2)}{2x}.$$

Bài 6.42 (trang 26)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\dfrac{2}{3x} + \dfrac{x}{x – 1} + \dfrac{6x^2 – 4}{2x(1 – x)}$;

b) $\dfrac{x^3 + 1}{1 – x^3} + \dfrac{x}{x – 1} – \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1}$;

c) $\left(\dfrac{2}{x + 2} – \dfrac{2}{1 – x}\right) \cdot \dfrac{x^2 – 4}{4x^2 – 1}$;

d) $1 + \dfrac{x^3 – x}{x^2 + 1} \left(\dfrac{1}{1 – x} – \dfrac{1}{1 – x^2}\right)$.

Lời giải:

a) Đổi dấu phân thức thứ ba: $\dfrac{6x^2 – 4}{2x(1 – x)} = \dfrac{-(6x^2 – 4)}{2x(x – 1)}$. MTC $= 6x(x – 1)$.

Nhân tử phụ: của $3x$ là $2(x – 1)$; của $(x – 1)$ là $6x$; của $2x(x – 1)$ là $3$. Quy đồng:

$$\dfrac{2 \cdot 2(x – 1)}{6x(x – 1)} + \dfrac{6x \cdot x}{6x(x – 1)} + \dfrac{-3(6x^2 – 4)}{6x(x – 1)} = \dfrac{(4x – 4) + 6x^2 + (-18x^2 + 12)}{6x(x – 1)}.$$

Thu gọn tử: $4x – 4 + 6x^2 – 18x^2 + 12 = -12x^2 + 4x + 8$.

Phân tích tử: $-12x^2 + 4x + 8 = -4(3x^2 – x – 2) = -4(3x + 2)(x – 1)$.

(Kiểm tra: $(3x + 2)(x – 1) = 3x^2 – 3x + 2x – 2 = 3x^2 – x – 2$.) ✓

Vậy:

$$= \dfrac{-4(3x + 2)(x – 1)}{6x(x – 1)} = \dfrac{-4(3x + 2)}{6x} = \dfrac{-2(3x + 2)}{3x}.$$

b) Phân tích: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$; $1 – x^3 = -(x – 1)(x^2 + x + 1)$.

Đổi dấu phân thức thứ nhất: $\dfrac{x^3 + 1}{1 – x^3} = \dfrac{-(x^3 + 1)}{x^3 – 1}$. MTC $= x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.

Nhân tử phụ: của $(x – 1)$ là $(x^2 + x + 1)$; của $(x^2 + x + 1)$ là $(x – 1)$. Quy đồng:

$$\dfrac{-(x^3 + 1)}{x^3 – 1} + \dfrac{x(x^2 + x + 1)}{x^3 – 1} – \dfrac{(x + 1)(x – 1)}{x^3 – 1} = \dfrac{-(x^3 + 1) + x(x^2 + x + 1) – (x^2 – 1)}{x^3 – 1}.$$

Thu gọn tử:

$$-x^3 – 1 + x^3 + x^2 + x – x^2 + 1 = x.$$

Vậy biểu thức $= \dfrac{x}{x^3 – 1}$.

c) Tính hiệu trong ngoặc. Đổi dấu phân thức thứ hai: $\dfrac{2}{1 – x} = \dfrac{-2}{x – 1}$:

$$\dfrac{2}{x + 2} – \dfrac{2}{1 – x} = \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{2}{x – 1}.$$

MTC $= (x + 2)(x – 1)$:

$$= \dfrac{2(x – 1) + 2(x + 2)}{(x + 2)(x – 1)} = \dfrac{2x – 2 + 2x + 4}{(x + 2)(x – 1)} = \dfrac{4x + 2}{(x + 2)(x – 1)} = \dfrac{2(2x + 1)}{(x + 2)(x – 1)}.$$

Phân tích phân thức thứ hai: $\dfrac{x^2 – 4}{4x^2 – 1} = \dfrac{(x – 2)(x + 2)}{(2x – 1)(2x + 1)}$. Nhân:

$$\dfrac{2(2x + 1)(x – 2)(x + 2)}{(x + 2)(x – 1)(2x – 1)(2x + 1)} = \dfrac{2(x – 2)}{(x – 1)(2x – 1)}.$$

d) Tính hiệu trong ngoặc. $1 – x^2 = (1 – x)(1 + x)$, MTC $= 1 – x^2$:

$$\dfrac{1}{1 – x} – \dfrac{1}{1 – x^2} = \dfrac{1 + x}{1 – x^2} – \dfrac{1}{1 – x^2} = \dfrac{x}{1 – x^2}.$$

Phân tích: $x^3 – x = x(x^2 – 1) = -x(1 – x^2)$. Nhân:

$$\dfrac{x^3 – x}{x^2 + 1} \cdot \dfrac{x}{1 – x^2} = \dfrac{-x(1 – x^2) \cdot x}{(x^2 + 1)(1 – x^2)} = \dfrac{-x^2}{x^2 + 1}.$$

Cộng với $1$:

$$1 + \dfrac{-x^2}{x^2 + 1} = \dfrac{(x^2 + 1) – x^2}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{x^2 + 1}.$$

Bài 6.43 (trang 26)

Đề bài: Cho phân thức $P = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$.

a) Viết điều kiện xác định của $P$;

b) Hãy viết $P$ dưới dạng $P = a – \dfrac{b}{x + 1}$, trong đó $a$, $b$ là hai số nguyên dương;

c) Với giá trị nguyên nào của $x$ thì $P$ có giá trị là số nguyên?

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.

b) Tách tử $2x + 1 = 2(x + 1) – 1$:

$$P = \dfrac{2(x + 1) – 1}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1)}{x + 1} – \dfrac{1}{x + 1} = 2 – \dfrac{1}{x + 1}.$$

Vậy $a = 2$, $b = 1$ (đều là số nguyên dương).

c) Với $x$ là số nguyên, $P = 2 – \dfrac{1}{x + 1}$ là số nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{1}{x + 1}$ là số nguyên, tức $(x + 1)$ là ước của $1$:

$$x + 1 \in {-1; 1} ;;\Rightarrow;; x \in {-2; 0}.$$

Đối chiếu ĐKXĐ ($x \neq -1$): cả hai giá trị đều thoả mãn.

Kết luận: $x \in {-2; 0}$.

Bài 6.44 (trang 26)

Đề bài: Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Cửa Lò với vận tốc $60$ km/h và dự kiến sẽ đến Cửa Lò sau $5$ giờ xe chạy. Tuy nhiên, sau $2\dfrac{2}{3}$ giờ chạy với vận tốc $60$ km/h, xe dừng nghỉ $20$ phút. Sau khi dừng nghỉ, để đến Cửa Lò đúng thời gian dự kiến, xe phải tăng vận tốc so với chặng đầu.

a) Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Cửa Lò;

b) Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ;

c) Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm $x$ (km/h). Hãy viết biểu thức $P$ biểu thị thời gian (tính bằng giờ) thực tế xe chạy hết quãng đường Hà Nội – Cửa Lò;

d) Tính giá trị của $P$ lần lượt tại $x = 5$; $x = 10$; $x = 15$, từ đó cho biết ở chặng thứ hai (sau khi xe dừng nghỉ):

– Nếu tăng vận tốc thêm $5$ km/h thì xe đến Cửa Lò muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

– Nếu tăng vận tốc thêm $10$ km/h thì xe đến Cửa Lò có đúng thời gian dự kiến không?

– Nếu tăng vận tốc thêm $15$ km/h thì xe đến Cửa Lò sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

Lời giải:

a) Quãng đường Hà Nội – Cửa Lò $=$ vận tốc dự kiến $\times$ thời gian dự kiến:

$$60 \cdot 5 = 300 \text{ (km)}.$$

b) $2\dfrac{2}{3}$ giờ $= \dfrac{8}{3}$ (giờ). Quãng đường đã đi ở chặng đầu:

$$60 \cdot \dfrac{8}{3} = 160 \text{ (km)}.$$

Quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ:

$$300 – 160 = 140 \text{ (km)}.$$

c) Ở chặng thứ hai, vận tốc của xe là $60 + x$ (km/h), nên thời gian chạy chặng thứ hai $= \dfrac{140}{60 + x}$ (giờ).

Thời gian nghỉ: $20$ phút $= \dfrac{1}{3}$ (giờ).

Tổng thời gian thực tế:

$$P = \dfrac{8}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{140}{60 + x} = 3 + \dfrac{140}{60 + x} \text{ (giờ)}.$$

d) Lần lượt thay các giá trị của $x$ vào $P$.

Tại $x = 5$:

$$P = 3 + \dfrac{140}{60 + 5} = 3 + \dfrac{140}{65} = 3 + \dfrac{28}{13} = \dfrac{39 + 28}{13} = \dfrac{67}{13} \text{ (giờ)}.$$

So với thời gian dự kiến $5$ giờ $= \dfrac{65}{13}$ giờ:

$$\dfrac{67}{13} – \dfrac{65}{13} = \dfrac{2}{13} \text{ (giờ)}.$$

Vậy xe đến Cửa Lò muộn hơn dự kiến $\dfrac{2}{13}$ giờ.

Tại $x = 10$:

$$P = 3 + \dfrac{140}{60 + 10} = 3 + \dfrac{140}{70} = 3 + 2 = 5 \text{ (giờ)}.$$

Bằng đúng thời gian dự kiến, nên xe đến Cửa Lò đúng thời gian dự kiến.

Tại $x = 15$:

$$P = 3 + \dfrac{140}{60 + 15} = 3 + \dfrac{140}{75} = 3 + \dfrac{28}{15} = \dfrac{45 + 28}{15} = \dfrac{73}{15} \text{ (giờ)}.$$

So với thời gian dự kiến $5$ giờ $= \dfrac{75}{15}$ giờ:

$$\dfrac{75}{15} – \dfrac{73}{15} = \dfrac{2}{15} \text{ (giờ)}.$$

Vậy xe đến Cửa Lò sớm hơn dự kiến $\dfrac{2}{15}$ giờ.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du