• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = p \cdot d$ (nửa chu vi đáy nhân trung đoạn).
• Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$ (một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao).

Bài tập (trang 121–122)

Bài 10.11 (trang 121)

Đề bài: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết diện tích đáy của nó bằng $15{,}6$ cm², chiều cao bằng $10$ cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp tam giác đều:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h.$$

Thay $S = 15{,}6$ cm² và $h = 10$ cm:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 15{,}6 \cdot 10 = \dfrac{156}{3} = 52 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là $52$ cm³.

Bài 10.12 (trang 122)

Đề bài: Trong các miếng bìa ở Hình 10.32, miếng bìa nào khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tam giác đều, miếng nào thì được một hình chóp tứ giác đều?

Lời giải:

Nhớ lại:

• Hình chóp tam giác đều có $1$ mặt đáy là tam giác đều và $3$ mặt bên là tam giác cân bằng nhau (tổng cộng $4$ tam giác).
• Hình chóp tứ giác đều có $1$ mặt đáy là hình vuông và $4$ mặt bên là tam giác cân bằng nhau (tổng cộng $1$ hình vuông và $4$ tam giác cân).

Xét từng miếng bìa:

• Miếng ①: Có $1$ hình vuông (mặt đáy) và $4$ tam giác cân (mặt bên). Khi gấp $4$ tam giác cân lên dọc theo $4$ cạnh của hình vuông, ta được hình chóp tứ giác đều.
• Miếng ②: Có $1$ hình vuông (mặt đáy) và $4$ tam giác cân (mặt bên). Khi gấp, ta được hình chóp tứ giác đều.
• Miếng ③: Có $1$ tam giác đều (mặt đáy) và $3$ tam giác cân (mặt bên). Khi gấp $3$ tam giác cân lên dọc theo $3$ cạnh của tam giác đều, ta được hình chóp tam giác đều.
• Miếng ④: Gồm $4$ tam giác xếp thành dải. Khi gấp $3$ tam giác làm mặt bên và $1$ tam giác làm mặt đáy, ta được hình chóp tam giác đều.

Kết luận:

• Các miếng bìa gấp được thành hình chóp tam giác đều: miếng ③ và miếng ④.
• Các miếng bìa gấp được thành hình chóp tứ giác đều: miếng ① và miếng ②.

Bài 10.13 (trang 122)

Đề bài: Tính thể tích hình chóp tam giác đều $A.BCD$ có độ dài cạnh đáy bằng $10$ cm, chiều cao bằng $12$ cm (H.10.33), biết $\sqrt{75} \approx 8{,}66$.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy (tam giác đều $BCD$ cạnh $10$ cm).

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BD$. Trong tam giác đều, đường trung tuyến từ đỉnh $C$ đồng thời là đường cao, nên $CI \perp BD$.

Ta có:

$$BI = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ (cm)}.$$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle CIB$ vuông tại $I$:

$$CB^2 = CI^2 + IB^2 ;\Rightarrow; CI^2 = CB^2 – IB^2 = 10^2 – 5^2 = 100 – 25 = 75.$$

Suy ra $CI = \sqrt{75}$ cm.

Diện tích tam giác $BCD$:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot CI = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{75} = 5\sqrt{75} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích hình chóp.

Áp dụng công thức:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5\sqrt{75} \cdot 12 = 20\sqrt{75} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Với $\sqrt{75} \approx 8{,}66$:

$$V \approx 20 \cdot 8{,}66 = 173{,}2 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích hình chóp tam giác đều $A.BCD$ là $20\sqrt{75} \approx 173{,}2$ cm³.

Bài 10.14 (trang 122)

Đề bài: Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao $21$ m, độ dài cạnh đáy là $34$ m.

a) Tính thể tích hình chóp.

b) Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên hình chóp này, biết rằng người ta đo được độ dài cạnh bên của hình chóp là $31{,}92$ m.

Lời giải:

a) Tính thể tích hình chóp.

Mặt đáy là hình vuông cạnh $34$ m, diện tích đáy:

$$S = 34^2 = 1\,156 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Áp dụng công thức thể tích với chiều cao $h = 21$ m:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 1\,156 \cdot 21 = 1\,156 \cdot 7 = 8\,092 \text{ (m}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích hình chóp là $8\,092$ m³.

b) Tính tổng diện tích bốn mặt bên.

Bước 1: Tính trung đoạn $d$.

Mỗi mặt bên là một tam giác cân với cạnh đáy bằng $34$ m và hai cạnh bên bằng $31{,}92$ m. Trung đoạn $d$ chính là đường cao của tam giác cân này hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy — nó chia cạnh đáy ra làm hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài $\dfrac{34}{2} = 17$ m.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi trung đoạn $d$, nửa cạnh đáy $17$ m và cạnh bên $31{,}92$ m (cạnh huyền):

$$d^2 = 31{,}92^2 – 17^2 = 1\,018{,}8864 – 289 = 729{,}8864.$$

Suy ra $d = \sqrt{729{,}8864} \approx 27{,}02$ m.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh.

Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{4 \cdot 34}{2} = 68 \text{ (m)}.$$

Tổng diện tích bốn mặt bên (diện tích xung quanh):

$$S_{xq} = p \cdot d = 68 \cdot \sqrt{729{,}8864} \approx 68 \cdot 27{,}02 \approx 1\,837{,}36 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Kết luận: Cần khoảng $1\,837{,}36$ m² kính để phủ kín bốn mặt bên của mô hình kim tự tháp.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du