Bài tập (trang 38–39)

Bài 7.12 (trang 38)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $x – 3(2 – x) = 2x – 4$;

b) $\dfrac{1}{2}(x + 5) – 4 = \dfrac{1}{3}(x – 1)$;

c) $3(x – 2) – (x + 1) = 2x – 4$;

d) $3x – 4 = 2(x – 1) – (2 – x)$.

Lời giải:

a) Bỏ ngoặc (chú ý dấu “−” trước ngoặc):

$$x – 6 + 3x = 2x – 4 ;\Rightarrow; 4x – 6 = 2x – 4.$$

Chuyển vế:

$$4x – 2x = -4 + 6 ;\Rightarrow; 2x = 2 ;\Rightarrow; x = 1.$$

Vậy nghiệm là $x = 1$.

b) Quy đồng mẫu hai vế với MSC $= 6$ rồi nhân hai vế với $6$ để khử mẫu:

$$3(x + 5) – 24 = 2(x – 1).$$

Bỏ ngoặc:

$$3x + 15 – 24 = 2x – 2 ;\Rightarrow; 3x – 9 = 2x – 2.$$

Chuyển vế:

$$3x – 2x = -2 + 9 ;\Rightarrow; x = 7.$$

Vậy nghiệm là $x = 7$.

c) Bỏ ngoặc:

$$3x – 6 – x – 1 = 2x – 4 ;\Rightarrow; 2x – 7 = 2x – 4.$$

Chuyển vế:

$$2x – 2x = -4 + 7 ;\Rightarrow; 0 = 3.$$

Đẳng thức $0 = 3$ vô lý, nên không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình vô nghiệm.

d) Bỏ ngoặc (chú ý dấu “−” trước ngoặc thứ hai):

$$3x – 4 = 2x – 2 – 2 + x ;\Rightarrow; 3x – 4 = 3x – 4.$$

Hai vế bằng nhau với mọi giá trị của $x$. Vậy phương trình đúng với mọi $x$ (mọi số thực đều là nghiệm).

Bài 7.13 (trang 38)

Đề bài: Bạn Nam giải phương trình $x(x + 1) = x(x + 2)$ như sau:

$$x(x + 1) = x(x + 2)$$ $$x + 1 = x + 2$$ $$x – x = 2 – 1$$ $$0x = 1 ;(\text{vô nghiệm}).$$

Em có đồng ý với cách giải của bạn Nam không? Nếu không đồng ý, hãy trình bày cách giải của em.

Lời giải:

Không đồng ý với cách giải của bạn Nam. Sai lầm: ở bước thứ hai, bạn Nam chia cả hai vế cho $x$ để được $x + 1 = x + 2$. Tuy nhiên quy tắc nhân (chia) chỉ cho phép chia cả hai vế cho một số khác $0$, mà $x$ là ẩn — có thể nhận giá trị $0$. Khi chia hai vế cho $x$, bạn Nam đã vô tình loại bỏ trường hợp $x = 0$, là một nghiệm thực sự của phương trình.

Cách giải đúng: Khai triển hai vế rồi chuyển vế.

$$x(x + 1) = x(x + 2)$$

$$x^2 + x = x^2 + 2x$$

Chuyển tất cả về vế trái:

$$x^2 + x – x^2 – 2x = 0 ;\Rightarrow; -x = 0 ;\Rightarrow; x = 0.$$

Kiểm tra: thay $x = 0$ vào phương trình ban đầu: $0 \cdot (0 + 1) = 0 \cdot (0 + 2) = 0$. Hai vế bằng nhau.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0$.

Bài 7.14 (trang 39)

Đề bài: Chu vi của một mảnh vườn hình chữ nhật là $42$ m. Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn, biết chiều rộng ngắn hơn chiều dài là $3$ m.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (m) là chiều dài mảnh vườn, điều kiện $x > 3$ (để chiều rộng dương).

• Chiều rộng: $x – 3$ (m).
• Chu vi hình chữ nhật: $2 \cdot (\text{dài} + \text{rộng}) = 2[x + (x – 3)] = 2(2x – 3)$ (m).

Theo đề bài, chu vi bằng $42$ m:

$$2(2x – 3) = 42.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$4x – 6 = 42 ;\Rightarrow; 4x = 48 ;\Rightarrow; x = 12.$$

Bước 3: $x = 12$ thỏa mãn $x > 3$. Vậy chiều dài là $12$ m, chiều rộng là $12 – 3 = 9$ m.

Bài 7.15 (trang 39)

Đề bài: Một chiếc áo len sau khi giảm giá $30\%$ được bán với giá $399$ nghìn đồng. Hỏi giá ban đầu của chiếc áo len đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá ban đầu của chiếc áo len ($x > 0$).

Sau khi giảm $30\%$, giá còn lại là $x \cdot (100\% – 30\%) = 0{,}7x$ (nghìn đồng). Theo đề bài:

$$0{,}7x = 399.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$x = \dfrac{399}{0{,}7} = 570.$$

Bước 3: $x = 570$ thỏa mãn $x > 0$. Vậy giá ban đầu của chiếc áo len là $570$ nghìn đồng.

Bài 7.16 (trang 39)

Đề bài: Một xưởng may áo sơ mi dự định hoàn thành kế hoạch trong $25$ ngày. Nhưng mỗi ngày xưởng may đã vượt năng suất so với dự định là $2$ áo nên đã hoàn thành sớm hơn $1$ ngày và vượt kế hoạch được giao là $8$ áo. Hỏi số áo sơ mi mà xưởng may được giao là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. Gọi $x$ là số áo sơ mi mà xưởng may được giao theo kế hoạch, điều kiện $x$ là số nguyên dương.

• Theo dự định: làm trong $25$ ngày, mỗi ngày dự định may $\dfrac{x}{25}$ (áo).
• Theo thực tế: làm trong $25 – 1 = 24$ ngày, tổng số áo đã may được là $x + 8$ áo (vượt kế hoạch $8$ áo), nên mỗi ngày thực tế may $\dfrac{x + 8}{24}$ (áo).

Mỗi ngày thực tế làm vượt năng suất dự định là $2$ áo:

$$\dfrac{x + 8}{24} – \dfrac{x}{25} = 2.$$

Bước 2: Giải phương trình. Quy đồng mẫu hai vế với MSC $= 600$, rồi nhân hai vế với $600$ để khử mẫu:

$$25(x + 8) – 24x = 1200.$$

Bỏ ngoặc:

$$25x + 200 – 24x = 1200 ;\Rightarrow; x + 200 = 1200 ;\Rightarrow; x = 1000.$$

Bước 3: $x = 1000$ là số nguyên dương, thỏa mãn điều kiện. Vậy xưởng may được giao $1000$ áo sơ mi.

Bài 7.17 (trang 39)

Đề bài: Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu luỹ tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện ($1$ kWh) càng tăng theo các mức như sau:

• Mức $1$: Tính cho số điện từ $0$ đến $50$.
• Mức $2$: Tính cho số điện từ $51$ đến $100$, mỗi số điện đắt hơn $56$ đồng so với mức $1$.
• Mức $3$: Tính cho số điện từ $101$ đến $200$, mỗi số điện đắt hơn $280$ đồng so với mức $2$.

…

Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm $10\%$ thuế giá trị gia tăng (thuế VAT).

Tháng vừa qua, gia đình bạn Tuấn dùng hết $95$ số điện và phải trả $178\,123$ đồng. Hỏi giá của mỗi số điện ở mức $1$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Phân chia số điện theo từng mức. Gia đình Tuấn dùng $95$ số điện, chia thành:

• Mức $1$: $50$ số điện đầu tiên (từ $1$ đến $50$).
• Mức $2$: $95 – 50 = 45$ số điện tiếp theo (từ $51$ đến $95$).

Bước 2: Lập phương trình. Gọi $x$ (đồng) là giá mỗi số điện ở mức $1$ ($x > 0$).

• Giá mỗi số điện ở mức $2$: $x + 56$ (đồng).
• Tiền điện ở mức $1$: $50x$ (đồng).
• Tiền điện ở mức $2$: $45(x + 56)$ (đồng).

Tổng tiền điện trước thuế VAT:

$$50x + 45(x + 56) = 50x + 45x + 2520 = 95x + 2520 \text{ (đồng)}.$$

Cộng thêm $10\%$ thuế VAT, tổng số tiền phải trả là $(95x + 2520) \cdot 1{,}1$ đồng. Theo đề bài:

$$(95x + 2520) \cdot 1{,}1 = 178\,123.$$

Bước 3: Giải phương trình. Chia hai vế cho $1{,}1$:

$$95x + 2520 = \dfrac{178\,123}{1{,}1} = 161\,930.$$

Chuyển vế:

$$95x = 161\,930 – 2520 = 159\,410 ;\Rightarrow; x = \dfrac{159\,410}{95} = 1678.$$

Bước 4: $x = 1678$ thỏa mãn $x > 0$. Vậy giá mỗi số điện ở mức $1$ là $1\,678$ đồng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du