Bài tập (trang 73)

Bài 3.34 (trang 73)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$; $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB$ và $AC$. Lấy điểm $P$ sao cho $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $MP$.

a) Hỏi tứ giác $AMCP$ là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác $ABC$ thì tứ giác $AMCP$ là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Lời giải:

a) Tứ giác $AMCP$ là hình gì?

Xét tứ giác $AMCP$ có hai đường chéo là $AC$ và $MP$. Theo đề bài:

• $N$ là trung điểm của $AC$.
• $N$ là trung điểm của $MP$.

Vậy hai đường chéo $AC$ và $MP$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường, nên $AMCP$ là hình bình hành.

b) Điều kiện để $AMCP$ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Trước hết, ta thiết lập một quan hệ giữa $MP$ và $BC$ để dùng cho ý sau.

Vì $AMCP$ là hình bình hành nên $AM \parallel CP$ và $AM = CP$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $MB = AM$. Đồng thời $MB$ nằm trên đường thẳng $AB$ (cùng với $AM$), do đó $MB \parallel CP$. Như vậy:

$$MB \parallel CP \quad \text{và} \quad MB = CP.$$

Xét tứ giác $MBCP$ (theo thứ tự đỉnh $M \to B \to C \to P$): hai cạnh đối $MB$ và $CP$ song song và bằng nhau, nên $MBCP$ là hình bình hành. Suy ra hai cạnh đối còn lại bằng nhau:

$$BC = MP. \quad (*)$$

Để $AMCP$ là hình chữ nhật: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Hai đường chéo của $AMCP$ là $AC$ và $MP$, vậy cần:

$$AC = MP.$$

Theo $(*)$, $MP = BC$, do đó $AC = BC$. Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Để $AMCP$ là hình thoi: hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Hai cạnh kề tại đỉnh $M$ của $AMCP$ là $AM$ và $CM$ (cạnh $MC$). Vậy cần $AM = CM$.

Mà $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$, nên:

$$CM = AM = MB = \dfrac{AB}{2}.$$

Trong tam giác $ABC$, $CM$ là đường trung tuyến xuất phát từ $C$ đến cạnh $AB$. Đường trung tuyến này có độ dài bằng nửa cạnh tương ứng ($CM = \dfrac{AB}{2}$). Theo Nhận xét đã học (trong Bài 13: nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông), tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Để $AMCP$ là hình vuông: $AMCP$ vừa phải là hình chữ nhật, vừa phải là hình thoi. Khi đó tam giác $ABC$ phải vừa cân tại $C$, vừa vuông tại $C$, tức tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.

Bài 3.35 (trang 73)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Các tia phân giác của các góc $A$, $B$, $C$, $D$ cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng $EFGH$ là hình chữ nhật.

(Theo Hình 3.58 trong SGK: $E$, $F$, $G$, $H$ là các giao điểm của các tia phân giác từ các đỉnh kề nhau — cụ thể $E$ là giao của tia phân giác từ $A$ và từ $B$; $F$ là giao của tia phân giác từ $B$ và từ $C$; $G$ là giao của tia phân giác từ $C$ và từ $D$; $H$ là giao của tia phân giác từ $A$ và từ $D$.)

Lời giải:

Ý tưởng: Để chứng minh $EFGH$ là hình chữ nhật, ta chứng minh tứ giác này có bốn góc vuông, bằng cách chỉ ra tại mỗi đỉnh ($E$, $F$, $G$, $H$), hai tia phân giác đi qua đỉnh đó vuông góc với nhau.

Bước 1: Hai tia phân giác từ hai đỉnh kề của hình bình hành thì vuông góc với nhau.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai góc kề một cạnh bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ.$$

Xét điểm $E$ là giao của tia phân giác từ $A$ và tia phân giác từ $B$. Trong tam giác $ABE$:

• $\widehat{EAB} = \dfrac{\widehat{A}}{2}$ (vì $AE$ là tia phân giác của $\widehat{A}$).
• $\widehat{EBA} = \dfrac{\widehat{B}}{2}$ (vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat{B}$).

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$, nên:

$$\widehat{AEB} = 180^\circ – \dfrac{\widehat{A}}{2} – \dfrac{\widehat{B}}{2} = 180^\circ – \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2} = 180^\circ – \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$

Vậy hai tia phân giác từ $A$ và từ $B$ vuông góc với nhau tại $E$.

Bước 2: Tại các đỉnh của $EFGH$, các góc đều bằng $90^\circ$.

Tại đỉnh $E$ của tứ giác $EFGH$, hai cạnh $EH$ và $EF$ lần lượt nằm trên tia phân giác từ $A$ (đi qua cả $H$) và tia phân giác từ $B$ (đi qua cả $F$). Hai đường thẳng này vuông góc với nhau (theo Bước 1), do đó:

$$\widehat{HEF} = 90^\circ.$$

Lập luận tương tự với các cặp đỉnh kề khác của hình bình hành (sử dụng $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$, $\widehat{C} + \widehat{D} = 180^\circ$, $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$), ta được:

$$\widehat{EFG} = \widehat{FGH} = \widehat{GHE} = 90^\circ.$$

Tứ giác $EFGH$ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật (đpcm).

Bài 3.36 (trang 73)

Đề bài: Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?

Lời giải:

Khi khung tre bị xô lệch: các thanh tre giữ nguyên độ dài (đinh vít chỉ bị lỏng chứ không đứt), nhưng các góc tại các đỉnh thay đổi. Như vậy:

• Hai cặp cạnh đối của khung vẫn có độ dài bằng nhau (vì $AB$ và $CD$ là hai thanh đối diện cùng độ dài; tương tự $BC$ và $AD$).

Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Vậy sau khi xô lệch, khung tre có hình dạng hình bình hành.

Khi nẹp thêm một đường chéo: đường chéo nối hai đỉnh đối diện sẽ chia khung thành hai tam giác cố định. Mỗi tam giác có ba cạnh có độ dài xác định, nên hình dạng tam giác không thể thay đổi. Do đó khung không còn bị xô lệch nữa.

Bài 3.37 (trang 73)

Đề bài: Gọi $Ou$ và $Ov$ lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù $xOy$ và $x’Oy$; $A$ là một điểm khác $O$ trên tia $Ox$. Gọi $B$ và $C$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ lần lượt xuống đường thẳng chứa $Ou$ và $Ov$. Hỏi tứ giác $OBAC$ là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\widehat{BOC} = 90^\circ$.

Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x’Oy}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{xOy} + \widehat{x’Oy} = 180^\circ.$$

$Ou$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{uOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$.

$Ov$ là tia phân giác của $\widehat{x’Oy}$ nên $\widehat{vOy} = \dfrac{\widehat{x’Oy}}{2}$.

Vì $Ou$ nằm trong góc $\widehat{xOy}$ và $Ov$ nằm trong góc $\widehat{x’Oy}$ (hai phía khác nhau của tia $Oy$), nên:

$$\widehat{uOv} = \widehat{uOy} + \widehat{yOv} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} + \dfrac{\widehat{x’Oy}}{2} = \dfrac{\widehat{xOy} + \widehat{x’Oy}}{2} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$

Vì $B$ thuộc đường thẳng chứa $Ou$ và $C$ thuộc đường thẳng chứa $Ov$, nên $\widehat{BOC} = \widehat{uOv} = 90^\circ$.

Bước 2: Suy ra $OBAC$ là hình chữ nhật.

Theo đề bài:

• $AB \perp Ou$ → $\widehat{ABO} = 90^\circ$.
• $AC \perp Ov$ → $\widehat{ACO} = 90^\circ$.

Tứ giác $OBAC$ có ba góc vuông là $\widehat{BOC}$, $\widehat{ABO}$ và $\widehat{ACO}$. Theo Chú ý đã học (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật), $OBAC$ là hình chữ nhật.

Bài 3.38 (trang 73)

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$. Lấy một điểm $E$ trên cạnh $CD$. Tia phân giác của góc $DAE$ cắt cạnh $DC$ tại $M$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AE$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $DM + BN = MN$.

Lời giải:

Ý tưởng: Gọi $P$ là giao của đường thẳng $MN$ với đoạn $AE$. Vì $MN \perp AE$ tại $P$, ta có $MP \perp AE$ và $NP \perp AE$. Ta sẽ chứng minh $DM = MP$ và $BN = NP$, từ đó suy ra $MN = MP + PN = DM + BN$.

Bước 1: Chứng minh $\triangle ADM = \triangle APM$, suy ra $DM = MP$ và $AD = AP$.

Xét hai tam giác vuông $ADM$ và $APM$:

• $\widehat{ADM} = 90^\circ$ (vì $ABCD$ là hình vuông, $\widehat{D} = 90^\circ$).
• $\widehat{APM} = 90^\circ$ (vì $MP \perp AE$ tại $P$).
• $AM$ là cạnh chung.
• $\widehat{DAM} = \widehat{PAM}$ (vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat{DAE}$, và $P$ nằm trên $AE$ nên $\widehat{PAM} = \widehat{EAM} = \widehat{DAM}$).

Vậy $\triangle ADM = \triangle APM$ (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

$$DM = MP \quad \text{và} \quad AD = AP.$$

Bước 2: Chứng minh $\triangle ABN = \triangle APN$, suy ra $BN = NP$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = AD$. Kết hợp với $AD = AP$ (Bước 1):

$$AB = AP.$$

Xét hai tam giác vuông $ABN$ và $APN$:

• $\widehat{ABN} = 90^\circ$ (vì $\widehat{B} = 90^\circ$ là góc của hình vuông).
• $\widehat{APN} = 90^\circ$ (vì $N$ nằm trên đường thẳng $MN$ vuông góc với $AE$ tại $P$, nên $NP \perp AP$).
• $AB = AP$ (chứng minh trên).
• $AN$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABN = \triangle APN$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra:

$$BN = NP.$$

Bước 3: Kết luận.

Vì $P$ nằm trên đoạn $MN$ (giữa $M$ và $N$), nên:

$$MN = MP + PN.$$

Thay $MP = DM$ (Bước 1) và $PN = BN$ (Bước 2):

$$MN = DM + BN \quad \text{(đpcm)}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du