Mở đầu trang 78

Đề bài: Để giải quyết vấn đề tắc đường ở các thành phố lớn, có rất nhiều giải pháp được đưa ra. Trong đó giải pháp xây dựng các hệ thống cầu vượt, đường hoặc đường sắt trên cao đã và đang được đưa vào thực tế ở Việt Nam. Toán học mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến đường trên như thế nào?

Lời giải:

Coi mỗi tuyến đường là một đường thẳng trong không gian, ta có thể mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến đường theo bốn trường hợp:

• Cắt nhau: hai tuyến đường có duy nhất một điểm chung (giao lộ).
• Song song: hai tuyến đường cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
• Trùng nhau: hai tuyến đường thực ra là cùng một đường.
• Chéo nhau: hai tuyến đường không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào (như một tuyến đi trên cầu vượt và một tuyến đi dưới mặt đất, không cắt nhau và không cùng hướng).

Nội dung chi tiết được trình bày trong bài học.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

HĐ1 (trang 78)

Đề bài: Hình 4.13 minh hoạ bốn tuyến đường (được coi là thẳng) tại một nút giao ở Hà Nội: tuyến đường bộ $(1),; (2)$, tuyến đường vành đai trên cao $(3)$, tuyến đường sắt trên cao $(4)$. Quan sát hình ảnh đó và trả lời:

a) Hai tuyến đường nào giao nhau?

b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?

c) Hai tuyến đường nào song song?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.13:

a) Hai tuyến đường giao nhau (gặp nhau tại một điểm): tuyến $(1)$ và tuyến $(2)$ (đều là tuyến đường bộ ở cùng mặt đất, giao nhau tại nút giao).

b) Hai tuyến đường không giao nhau: tuyến $(3)$ vành đai trên cao và tuyến $(4)$ đường sắt trên cao (ở các tầng/độ cao khác nhau và không cùng hướng, không có điểm chung).

c) Hai tuyến đường song song: tuyến $(1)$ đường bộ và tuyến $(3)$ vành đai trên cao (cùng hướng, một ở mặt đất, một ở trên cao).

Câu hỏi (trang 79): Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn.

Lời giải:

Hai đường thẳng song song:

• Hai mép đối diện của bàn học.
• Hai đường ray xe lửa.
• Hai cạnh đối của khung cửa sổ.
• Hai mép tường đứng đối diện trong phòng.

Hai đường thẳng chéo nhau:

• Cạnh đứng của tủ và cạnh ngang của bàn ở vị trí không gặp nhau.
• Đường dây điện trên cao và đường vẽ trên mặt đường ở dưới (vuông góc nhìn từ trên xuống nhưng không gặp nhau).
• Mép trên của khung cửa và mép dưới của một viên gạch lát sàn (ở mặt phẳng khác).

Luyện tập 1 (trang 79)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (H.4.17).

a) Trong các đường thẳng $AB,; AC,; CD$, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?

b) Gọi $M,; N$ lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh $SA,; SB$. Trong các đường thẳng $SA,; MN,; AB$ có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Lời giải:

a) Xét vị trí tương đối từng cặp:

• $AB$ và $AC$: có điểm chung $A$ → cắt nhau tại $A$.
• $AB$ và $CD$: $ABCD$ là hình bình hành → $AB \parallel CD$.
• $AC$ và $CD$: có điểm chung $C$ → cắt nhau tại $C$.

b) Xét vị trí của các đường $SA,; MN,; AB$:

• $S,; A,; B$ đều thuộc mặt phẳng $(SAB)$.
• $M$ thuộc cạnh $SA \subset (SAB)$ nên $M \in (SAB)$.
• $N$ thuộc cạnh $SB \subset (SAB)$ nên $N \in (SAB)$.

Vậy cả ba đường thẳng $SA,; MN,; AB$ đều nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, tức là đồng phẳng. Hai đường thẳng đồng phẳng chỉ có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau, không thể chéo nhau.

Kết luận: Trong ba đường thẳng $SA,; MN,; AB$ không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Luyện tập 2 (trang 80)

Đề bài: Trong hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (H.4.19), hãy chỉ ra những đường thẳng:

a) Chéo với đường thẳng $SA$;

b) Chéo với đường thẳng $BC$.

Lời giải:

a) Đường thẳng chéo với $SA$: là $BC$ và $CD$.

Giải thích: Giả sử $SA$ và $BC$ không chéo nhau, thì chúng đồng phẳng. Khi đó bốn điểm $S,; A,; B,; C$ cùng nằm trong một mặt phẳng, trái với giả thiết $S.ABCD$ là hình chóp (đỉnh $S$ không thuộc mặt đáy chứa $A,; B,; C,; D$). Vậy $SA$ và $BC$ chéo nhau.

Tương tự, $SA$ và $CD$ chéo nhau.

(Lưu ý: $SA$ cắt $SB,; SD$ tại $S$; $SA$ cắt $AB,; AD$ tại $A$; nên các đường $SB,; SD,; AB,; AD$ không chéo với $SA$.)

b) Đường thẳng chéo với $BC$: là $SA$ và $SD$.

Giải thích: Tương tự câu a) — nếu $BC$ và $SD$ đồng phẳng thì $S,; B,; C,; D$ đồng phẳng, trái với giả thiết hình chóp.

Vận dụng 1 (trang 80)

Đề bài: Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?

Lời giải:

Không thể đặt chiếc gậy đó song song với một mép tường nào.

Giải thích: Chiếc gậy có một đầu dựa vào tường (một điểm trên mặt tường) và đầu kia trên mặt sàn (một điểm trên mặt sàn). Mặt tường và mặt sàn là hai mặt phẳng khác nhau. Đường thẳng tạo bởi chiếc gậy không cùng nằm trong mặt phẳng nào với các mép tường — các điểm góc tường và đầu gậy trên sàn không đồng phẳng. Vì vậy, đường thẳng chứa chiếc gậy và bất kì mép tường nào đều chéo nhau, không thể song song.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

HĐ2 (trang 80)

Đề bài: Trong không gian, cho một đường thẳng $d$ và một điểm $M$ không nằm trên $d$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $d$.

a) Trên mặt phẳng $(P)$ có bao nhiêu đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$?

b) Nếu một đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không?

Lời giải:

a) Theo tiên đề Euclid trong hình học phẳng (đã học ở lớp 7): “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”.

Vì $M \notin d$ và $M,; d \subset (P)$, nên trong mặt phẳng $(P)$ có đúng một đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$.

b) Giả sử $a$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$. Khi đó $a$ và $d$ đồng phẳng (theo định nghĩa song song trong không gian), tức là tồn tại mặt phẳng $(P’)$ chứa cả $a$ và $d$.

Mặt phẳng $(P’)$ chứa $M$ (vì $M \in a$) và chứa $d$. Theo tính chất “qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó có duy nhất một mặt phẳng”, $(P’)$ phải trùng với $(P)$.

Vậy đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

(Đây chính là cơ sở của tính chất: trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.)

HĐ3 (trang 80)

Đề bài: Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?

Lời giải:

Trong lớp học, có thể tìm được nhiều đường thẳng song song với mép trên của bảng, ví dụ:

• Mép dưới của bảng (cũng nằm ngang, song song với mép trên).
• Mép trên của khung cửa sổ đối diện (cũng nằm ngang).

Hai đường thẳng này song song với nhau. Đây là minh hoạ cho tính chất quan trọng: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.

Luyện tập 3 (trang 81)

Đề bài: Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn điểm $C,; D,; E,; F$ đồng phẳng và tứ giác $CDFE$ là hình bình hành.

Lời giải:

Trong Ví dụ 1: $ABCD$ và $ABEF$ là hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Bước 1: Chứng minh $CD \parallel EF$ và $CD = EF$.

• $ABCD$ là hình bình hành → $CD \parallel AB$ và $CD = AB$.
• $ABEF$ là hình bình hành → $EF \parallel AB$ và $EF = AB$.

Hai đường thẳng $CD$ và $EF$ cùng song song với $AB$. Mặt khác $CD$ và $EF$ phân biệt (vì $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng). Theo tính chất “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”:

$$CD \parallel EF.$$

Đồng thời $CD = AB = EF$.

Bước 2: Chứng minh bốn điểm $C,; D,; E,; F$ đồng phẳng.

Vì $CD \parallel EF$ nên hai đường thẳng $CD$ và $EF$ đồng phẳng, tức là tồn tại một mặt phẳng chứa cả $CD$ và $EF$. Mặt phẳng đó chứa $C,; D$ (thuộc $CD$) và $E,; F$ (thuộc $EF$).

Vậy bốn điểm $C,; D,; E,; F$ đồng phẳng.

Bước 3: Chứng minh $CDFE$ là hình bình hành.

Tứ giác $CDFE$ có hai cạnh đối $CD$ và $FE$ song song và bằng nhau (vì $CD \parallel EF$ và $CD = EF$). Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành (đã học ở lớp 8), $CDFE$ là hình bình hành.

HĐ4 (trang 81)

Đề bài: Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$. Một mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$ và $(Q)$ lần lượt theo các giao tuyến $a$ và $b$ khác $c$.

a) Nếu hai đường thẳng $a$ và $c$ cắt nhau tại $M$ thì đường thẳng $b$ có đi qua $M$ hay không (H.4.23)?

b) Nếu hai đường thẳng $a$ và $c$ song song với nhau thì hai đường thẳng $b$ và $c$ có song song với nhau hay không (H.4.24)?

Lời giải:

a) Ta chứng minh $M \in b$:

• $M \in a$, mà $a \subset (R)$ → $M \in (R)$.
• $M \in c$, mà $c \subset (Q)$ → $M \in (Q)$.

Vậy $M$ thuộc cả $(R)$ và $(Q)$, do đó $M$ thuộc giao tuyến của $(R)$ và $(Q)$, tức là $M \in b$.

b) Ta chứng minh $b \parallel c$:

Hai đường thẳng $b$ và $c$ cùng nằm trong mặt phẳng $(Q)$ (vì $b \subset (R) \cap (Q) \subset (Q)$ và $c \subset (Q)$). Vậy $b$ và $c$ đồng phẳng.

Giả sử $b$ và $c$ cắt nhau tại điểm $N$. Khi đó:

• $N \in b \subset (R)$ → $N \in (R)$.
• $N \in c \subset (P)$ → $N \in (P)$.
• Vậy $N \in (R) \cap (P) = a$, tức $N \in a$.

Nhưng $N$ cũng thuộc $c$, nên $N$ là điểm chung của $a$ và $c$, mâu thuẫn với giả thiết $a \parallel c$ (hai đường song song không có điểm chung).

Vậy $b$ và $c$ không cắt nhau. Hai đường thẳng đồng phẳng và không cắt nhau (và không trùng nhau, vì $b \neq c$ theo giả thiết) nên $b \parallel c$.

Luyện tập 4 (trang 82)

Đề bài: Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Lời giải:

Trong Ví dụ 4: $S.ABCD$ là hình chóp có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

• Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$.
• $(SAD)$ chứa $AD$, $(SBC)$ chứa $BC$.
• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$.

Áp dụng Chú ý ở trang 81: “Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.”

Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $n$ đi qua $S$ và song song với $AD,; BC$.

Vận dụng 2 (trang 82)

Đề bài: Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước $AB$ song song với cạnh $CD$ của bể nước.

Lời giải:

Xét ba mặt phẳng:

• $(P)$: mặt nước (mặt nằm ngang, chứa toàn bộ mép nước).
• $(Q)$: mặt đáy của bể (chứa cạnh đáy $CD$).
• $(R)$: mặt bên của bể chứa cả đường mép nước $AB$ và cạnh đáy $CD$.

Khi đó:

• $(P) \cap (R) = AB$ (đường mép nước trên mặt bên).
• $(Q) \cap (R) = CD$ (cạnh đáy trên mặt bên đó).
• $(P)$ và $(Q)$: mặt nước nằm ngang và đáy bể nghiêng. Trong khu vực bể, mặt nước nằm phía trên còn mặt đáy nằm phía dưới và không gặp nhau. Vì vậy $(P)$ và $(Q)$ không có điểm chung.

Áp dụng Định lí về ba giao tuyến (HĐ4): “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.”

Vì $(P)$ và $(Q)$ không gặp nhau nên ba giao tuyến không thể đồng quy. Vậy ba giao tuyến phải đôi một song song. Đặc biệt $AB$ và $CD$ song song với nhau.

Vậy $AB \parallel CD$.

Bài tập (trang 82 – 83)

Bài 4.9 (trang 82)

Đề bài: Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,; b,; c$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.

b) Nếu $a$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $c$ thì $a$ song song với $b$.

d) Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.

Lời giải:

Xét từng mệnh đề:

a) SAI. Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể song song hoặc chéo nhau, không nhất thiết song song.

b) SAI. Việc $a$ và $c$ chéo nhau không nói lên điều gì về quan hệ giữa $b$ và $c$. Đường thẳng $b$ có thể đồng phẳng với $c$ (cắt nhau hoặc song song) hoặc chéo $c$.

c) SAI. Định lí chỉ đúng khi $a$ và $b$ phân biệt: “Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”. Mệnh đề không có điều kiện $a,; b$ phân biệt, nên có thể $a$ trùng $b$, khi đó không gọi là “$a$ song song với $b$”.

d) SAI. Phản ví dụ: trong hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$, ba cạnh $AB,; BC,; CC’$. Có $AB$ cắt $BC$ tại $B$, $BC$ cắt $CC’$ tại $C$, nhưng $AB$ và $CC’$ chéo nhau (không đồng phẳng).

Kết luận: Cả bốn mệnh đề đều SAI.

Bài 4.10 (trang 82)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp nào cắt nhau, cặp nào song song, cặp nào chéo nhau?

a) $AB$ và $CD$; b) $AC$ và $BD$; c) $SB$ và $CD$.

Lời giải:

a) $AB$ và $CD$: Đây là hai cạnh đối của hình bình hành $ABCD$. Theo tính chất hình bình hành, $AB \parallel CD$. → Song song.

b) $AC$ và $BD$: Đây là hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. → Cắt nhau tại giao điểm hai đường chéo.

c) $SB$ và $CD$: Ta chứng minh $SB$ và $CD$ chéo nhau.

Giả sử $SB$ và $CD$ không chéo nhau, tức là đồng phẳng. Khi đó bốn điểm $S,; B,; C,; D$ cùng thuộc một mặt phẳng. Mà $B,; C,; D$ thuộc đáy $(ABCD)$ nên mặt phẳng chứa $S,; B,; C,; D$ chính là $(ABCD)$. Suy ra $S \in (ABCD)$, mâu thuẫn với giả thiết $S$ là đỉnh hình chóp không thuộc đáy.

Vậy $SB$ và $CD$ chéo nhau.

Bài 4.11 (trang 82)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,; N,; P,; Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA,; SB,; SC,; SD$ (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Lời giải:

Bước 1: Xét tam giác $SAB$.

$M,; N$ là trung điểm của $SA,; SB$ → $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Do đó:

$$MN \parallel AB \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}AB.$$

Bước 2: Xét tam giác $SCD$.

$P,; Q$ là trung điểm của $SC,; SD$ → $PQ$ là đường trung bình của tam giác $SCD$. Do đó:

$$PQ \parallel CD \quad \text{và} \quad PQ = \dfrac{1}{2}CD.$$

Bước 3: So sánh $MN$ và $PQ$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$. Suy ra:

• $MN \parallel AB$ và $PQ \parallel CD$, mà $AB \parallel CD$ → $MN \parallel PQ$.
• $MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ$.

Bước 4: Kết luận.

Tứ giác $MNPQ$ có hai cạnh đối $MN$ và $PQ$ song song và bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành (lớp 8), $MNPQ$ là hình bình hành (đpcm).

Bài 4.12 (trang 82)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB \parallel CD)$. Gọi $M,; N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,; SB$. Chứng minh rằng tứ giác $MNCD$ là hình thang.

Lời giải:

Bước 1: Xét tam giác $SAB$.

$M,; N$ là trung điểm $SA,; SB$ → $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$:

$$MN \parallel AB \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}AB.$$

Bước 2: Chứng minh $MN \parallel CD$.

Theo giả thiết $AB \parallel CD$. Kết hợp $MN \parallel AB$, suy ra $MN \parallel CD$ (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

Bước 3: Bốn điểm $M,; N,; C,; D$ đồng phẳng.

Vì $MN \parallel CD$ nên $MN$ và $CD$ cùng nằm trong một mặt phẳng, kéo theo bốn điểm $M,; N,; C,; D$ đồng phẳng.

Bước 4: Kết luận.

Tứ giác $MNCD$ có hai cạnh đối $MN \parallel CD$. Mặt khác $MN = \dfrac{1}{2}AB \neq CD$ (vì $AB \neq CD$ — hai đáy của hình thang luôn không bằng nhau). Vậy $MNCD$ là hình thang (đpcm).

Bài 4.13 (trang 82)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB \parallel CD)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $SD$ (H.4.28).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(SCD)$.

b) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(MAB)$. Chứng minh rằng $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

Lời giải:

a) Xác định giao tuyến $(MAB) \cap (SCD)$:

Tìm điểm chung và áp dụng tính song song:

• $M$ là trung điểm $SD$ → $M \in SD \subset (SCD)$. Đồng thời $M \in (MAB)$ theo định nghĩa. Vậy $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng.
• $(MAB)$ chứa $AB$, $(SCD)$ chứa $CD$, $AB \parallel CD$ (giả thiết).

Áp dụng Chú ý trang 81 (giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song): giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $M$ và song song với $AB,; CD$.

b) Chứng minh $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$:

• $N$ là giao điểm của $SC$ và $(MAB)$. Mà $SC \subset (SCD)$, $N \in (MAB)$ → $N \in (MAB) \cap (SCD) = d$.
• Vậy $N$ thuộc đường thẳng $d$ qua $M$ song song với $CD$, đồng thời $N \in SC$.

Trong tam giác $SCD$:

• $M$ là trung điểm $SD$.
• Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $SC$ tại $N$.

Theo định lí (đã học ở lớp 8): Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Do đó $N$ là trung điểm của $SC$. Vậy $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$ (đpcm).

Bài 4.14 (trang 83)

Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,; N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,; CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $AC$.

a) Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$.

b) Chứng minh rằng $d$ song song với $BD$.

Lời giải:

Bước chuẩn bị: Chứng minh $MN \parallel BD$.

Xét tam giác $BCD$ có $M,; N$ lần lượt là trung điểm $BC,; CD$. Vậy $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$:

$$MN \parallel BD \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}BD.$$

a) Xác định giao tuyến $d$:

• $(AMN)$ chứa $MN$, $(BPD)$ chứa $BD$, $MN \parallel BD$.
• Áp dụng Chú ý trang 81: giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng (nếu có) song song với $MN$ và $BD$.

Để xác định $d$, ta cần tìm một điểm chung của hai mặt phẳng:

• Xét trong mặt phẳng $(ABC)$: đường thẳng $AM$ nối $A$ và trung điểm $M$ của $BC$; đường thẳng $BP$ nối $B$ và điểm $P$ thuộc $AC$. Hai đường $AM$ và $BP$ cùng nằm trong $(ABC)$ và không song song (nói chung) nên cắt nhau tại một điểm — gọi điểm đó là $I$.
• $I \in AM \subset (AMN)$ → $I \in (AMN)$.
• $I \in BP \subset (BPD)$ → $I \in (BPD)$.

Vậy $I$ là điểm chung của $(AMN)$ và $(BPD)$.

Giao tuyến $d$ là đường thẳng đi qua $I$ và song song với $BD$ (và $MN$).

b) Chứng minh $d \parallel BD$:

Theo cách xác định ở câu a), giao tuyến $d$ song song với $BD$ và $MN$. Vậy $d \parallel BD$ (đpcm).

Bài 4.15 (trang 83)

Đề bài: (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?

Lời giải:

Trường hợp 1: Cánh cửa hình chữ nhật (Hình 4.29).

Gọi $a,; b$ là hai mép ngoài (cạnh đối diện với bản lề) của hai cánh cửa; $c,; d$ là hai bản lề (cạnh gắn vào khung cửa) của hai cánh cửa tương ứng.

• Mỗi cánh cửa là hình chữ nhật → hai cạnh đối song song. Do đó:
  • Cánh thứ nhất: $a \parallel c$.
  • Cánh thứ hai: $b \parallel d$.
• $c$ và $d$ là hai bản lề gắn cùng vào một khung cửa cố định, nên $c \parallel d$ (hai mép song song của khung cửa).

Từ $a \parallel c$ và $c \parallel d$ → $a \parallel d$. Từ $a \parallel d$ và $d \parallel b$ → $a \parallel b$.

Vậy hai mép ngoài $a,; b$ luôn song song với nhau, bất kể hai cánh cửa được mở ở vị trí nào.

Trường hợp 2: Cánh cửa hình thang (Hình 4.30).

Không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.

Chứng minh phản chứng: Giả sử tồn tại một vị trí của hai cánh cửa mà hai mép ngoài $a$ và $b$ song song với nhau. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cánh cửa thứ nhất (chứa cả $a$ và bản lề $c$), $(Q)$ là mặt phẳng chứa cánh cửa thứ hai (chứa cả $b$ và bản lề $d$).

• $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến — gọi giao tuyến là $\ell$ (đi qua khung cửa chung giữa hai cánh).
• $(P)$ chứa $a$, $(Q)$ chứa $b$, $a \parallel b$ → giao tuyến $\ell$ của $(P)$ và $(Q)$ song song với $a$ và $b$ (theo Chú ý trang 81).
• Tương tự, $(P)$ chứa $c$, $(Q)$ chứa $d$. Vì cánh cửa hình thang nên hai mép $c,; d$ (gắn vào khung) cũng phải đáp ứng quan hệ song song với giao tuyến…

Cụ thể hơn: $\ell$ là giao tuyến cố định (do khung cửa cố định), nên hai bản lề $c$ và $d$ đều song song với $\ell$. Khi đó $\ell \parallel c$ và $\ell \parallel a$. Suy ra $c \parallel a$ — nhưng $a$ và $c$ là hai cạnh đối của cánh cửa hình thang, theo định nghĩa hình thang, chỉ có một cặp cạnh song song. Mâu thuẫn với việc $a$ là mép ngoài và $c$ là mép bản lề — hai cạnh này là hai cạnh không song song của hình thang.

Vậy giả sử ban đầu là sai. Không có vị trí nào của hai cánh cửa hình thang để hai mép ngoài song song với nhau.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh