Mở đầu trang 31

Đề bài: Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thế vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng. Nếu đứng tại Quảng trường màu nhiệm ở Pisa (H.7.9), bằng mắt thường, ta có thể cảm nhận rằng tháp ngoài cùng bên phải trong hình là nghiêng và các công trình còn lại đều thẳng đứng. Sau bài học, ta có thể diễn giải chính xác và bản chất hơn về điều này.

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập. Sau khi học bài này, ta có thể diễn giải:

• Một công trình thẳng đứng khi trục của nó vuông góc với mặt đất (mặt phẳng nằm ngang).
• Một công trình nghiêng (như tháp Pisa) khi trục của nó không vuông góc với mặt đất.

Nội dung chi tiết về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sẽ được trình bày trong bài.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

HĐ1 (trang 31)

Đề bài: Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới $BC$ của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Lời giải:

a) Khi đóng – mở cánh cửa, mép dưới $BC$ luôn sát sàn nhà nên $BC$ luôn nằm trên sàn. Khi cánh cửa quay đến mọi vị trí, $BC$ “quét” qua tất cả các đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà.

Mặt khác, $AB$ là mép thẳng đứng của cánh cửa nên $AB \perp BC$ ở mọi vị trí của cánh cửa. Vậy với mỗi đường thẳng $d$ đi qua $B$ trên sàn nhà, tồn tại vị trí của cánh cửa để $BC$ trùng với $d$, khi đó $AB \perp d$.

Kết luận: $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà.

b) Mỗi đường thẳng $\ell$ trên sàn nhà đều song song với một đường thẳng $d$ đi qua $B$ trên sàn (lấy $d$ là đường thẳng đi qua $B$ và song song với $\ell$).

Theo câu a, $AB \perp d$. Theo tính chất “vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với đường thẳng đó”, $AB \perp \ell$.

Kết luận: $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Câu hỏi (trang 32)

Đề bài: Nếu đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

Lời giải:

Giả sử $\Delta$ và $(P)$ không cắt nhau. Khi đó có hai khả năng:

• $\Delta$ nằm trong $(P)$: $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, kể cả chính nó. Điều này vô lí vì $\Delta$ không thể vuông góc với chính nó.
• $\Delta$ song song với $(P)$: Tồn tại đường thẳng $d \subset (P)$ sao cho $d // \Delta$. Khi đó $(\Delta, d) = 0^\circ$, nhưng $\Delta \perp (P)$ nên $\Delta \perp d$, tức $(\Delta, d) = 90^\circ$. Mâu thuẫn.

Kết luận: $\Delta$ và $(P)$ luôn cắt nhau.

HĐ2 (trang 32)

Đề bài: Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng $AB$ vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm $A$ kẻ một đường thẳng $a$ tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem $AB$ có vuông góc với $a$ hay không.

Lời giải:

a) Khi gấp tấm bìa theo nếp $AB$, ta được hai hình chữ nhật $ABNM$ và $ABDC$:

• Hình chữ nhật $ABNM$ có $AB \perp AN$.
• Hình chữ nhật $ABDC$ có $AB \perp AD$.

$AN$ và $AD$ là hai đường thẳng nằm trên mặt bàn (đều là cạnh dưới của các nửa tấm bìa).

Kết luận: $AB$ vuông góc với hai đường thẳng $AN$ và $AD$ thuộc mặt bàn.

b) Khi dùng ê ke kiểm tra, ta thấy $AB$ vuông góc với đường thẳng $a$ bất kì qua $A$ trên mặt bàn.

Giải thích lí thuyết: $AB$ vuông góc với hai đường thẳng $AN$, $AD$ cắt nhau tại $A$ cùng thuộc mặt bàn, theo định lí “nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó”, $AB$ vuông góc với mặt bàn. Do đó $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt bàn, kể cả $a$.

Câu hỏi (trang 32)

Đề bài: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?

Lời giải:

Có. Vì hai cạnh của tam giác là hai đường thẳng cắt nhau (tại đỉnh chung) cùng nằm trong mặt phẳng chứa tam giác. Áp dụng định lí trên, đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác, do đó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác.

Luyện tập 1 (trang 32)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $SA = SC$ và $SB = SD$. Chứng minh rằng $SO \perp (ABCD)$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Bước 1: Chứng minh $SO \perp AC$.

Tam giác $SAC$ có $SA = SC$ nên là tam giác cân tại $S$. Mà $O$ là trung điểm $AC$ (cạnh đáy), nên $SO$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao:

$$SO \perp AC.$$

Bước 2: Chứng minh $SO \perp BD$.

Tương tự, tam giác $SBD$ có $SB = SD$ nên cân tại $S$. $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO$ là đường cao:

$$SO \perp BD.$$

Bước 3: Kết luận.

$SO$ vuông góc với hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, cùng thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Do đó:

$$SO \perp (ABCD). \quad \blacksquare$$

Vận dụng (trang 33)

Đề bài: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Lời giải:

Hai thanh đế thẳng được đặt dưới sàn nhà, cắt nhau tại chân cột (tạo thành dạng chữ thập) và đều nằm trong mặt phẳng sàn.

Cột treo vuông góc với cả hai thanh đế. Vì hai thanh đế là hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng sàn, theo định lí: “nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó”.

Kết luận: Cột treo vuông góc với sàn nhà.

2. Tính chất

HĐ3 (trang 33)

Đề bài: Cho điểm $O$ và đường thẳng $\Delta$ không đi qua $O$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $\Delta$. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý $(P)$ và $(Q)$ cùng chứa $d$. Trong các mặt phẳng $(P), (Q)$ tương ứng kẻ các đường thẳng $a, b$ cùng đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (H.7.16). Giải thích vì sao $\text{mp}(a, b)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

Lời giải:

Hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng đi qua $O$, nên $\text{mp}(a, b)$ tồn tại và đi qua $O$.

• $a \perp d$ và $\Delta // d$ nên $a \perp \Delta$.
• $b \perp d$ và $\Delta // d$ nên $b \perp \Delta$.
• $a, b$ là hai đường thẳng cắt nhau (tại $O$) cùng thuộc $\text{mp}(a, b)$.

Theo định lí, $\Delta \perp \text{mp}(a, b)$, tức $\text{mp}(a, b)$ vuông góc với $\Delta$.

Kết luận: $\text{mp}(a, b)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

HĐ4 (trang 34)

Đề bài: Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $O$. Trong mặt phẳng $(P)$, lấy hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ tuỳ ý. Gọi $(\alpha), (\beta)$ là các mặt phẳng qua $O$ và tương ứng vuông góc với $a, b$ (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ cắt nhau theo một đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $\Delta$ và $(P)$.

Lời giải:

a) Cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ đều đi qua $O$, nên nếu chúng cắt nhau thì giao tuyến đi qua $O$.

Giả sử $(\alpha) // (\beta)$. Khi đó vì $a \perp (\alpha)$ nên $a \perp (\beta)$ (đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại). Tương tự, $b \perp (\beta)$. Vậy hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng vuông góc với $(\beta)$, suy ra $a // b$ — mâu thuẫn với giả thiết $a, b$ cắt nhau.

Vậy $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau theo một đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$.

b) Vì $\Delta \subset (\alpha)$ và $(\alpha) \perp a$, mọi đường thẳng trong $(\alpha)$ đều vuông góc với $a$, suy ra $\Delta \perp a$.

Tương tự, $\Delta \subset (\beta)$ và $(\beta) \perp b$, nên $\Delta \perp b$.

$\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau cùng thuộc $(P)$, do đó:

$$\Delta \perp (P).$$

Nhận xét: Tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$ và vuông góc với $(P)$. Kết hợp với Ví dụ 3, có duy nhất một đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $(P)$.

Luyện tập 2 (trang 34)

Đề bài: Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho các đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng vuông góc với một mặt phẳng $(P)$. Chứng minh rằng ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Lời giải:

Qua điểm $A$, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ (tính chất vừa học).

Theo giả thiết:

• $AB$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$.
• $AC$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$.

Do tính duy nhất, hai đường thẳng $AB$ và $AC$ phải trùng nhau. Vậy ba điểm $A, B, C$ cùng nằm trên một đường thẳng, tức là thẳng hàng. $\blacksquare$

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

HĐ5 (trang 34)

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và song song với đường thẳng $b$. Lấy một đường thẳng $m$ bất kì thuộc mặt phẳng $(P)$ (H.7.20). Tính $(b, m)$ và từ đó rút ra mối quan hệ giữa $b$ và $(P)$.

Lời giải:

Vì $a \perp (P)$ và $m \subset (P)$ nên $a \perp m$, tức $(a, m) = 90^\circ$.

Vì $a // b$ nên $(b, m) = (a, m) = 90^\circ$.

Điều này đúng với mọi đường thẳng $m$ thuộc $(P)$, do đó $b$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(P)$, nghĩa là:

$$b \perp (P).$$

Kết luận: Đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó.

HĐ6 (trang 34)

Đề bài: Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Xét $O$ là một điểm thuộc $a$ nhưng không thuộc $b$. Gọi $c$ là đường thẳng qua $O$ và song song với $b$ (H.7.21).

a) Hỏi $c$ có vuông góc với $(P)$ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $a$ và $c$.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Lời giải:

a) Vì $c // b$ và $b \perp (P)$ nên theo HĐ5, $c \perp (P)$.

Như vậy, $a$ và $c$ cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $(P)$. Vì qua $O$ chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với $(P)$, nên $a \equiv c$ (a trùng c).

b) Từ $a \equiv c$ và $c // b$, suy ra $a // b$ (do $a, b$ phân biệt).

Kết luận: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

HĐ7 (trang 35)

Đề bài: Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau và đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(P)$. Gọi $b$ là một đường thẳng bất kì thuộc $(Q)$. Lấy một đường thẳng $a$ thuộc $(P)$ sao cho $a$ song song với $b$ (H.7.23). So sánh $(\Delta, b)$ và $(\Delta, a)$. Từ đó rút ra mối quan hệ giữa $\Delta$ và $(Q)$.

Lời giải:

Vì $a // b$ nên $(\Delta, b) = (\Delta, a)$.

Vì $\Delta \perp (P)$ và $a \subset (P)$ nên $\Delta \perp a$, tức $(\Delta, a) = 90^\circ$.

Suy ra $(\Delta, b) = 90^\circ$, tức $\Delta \perp b$. Điều này đúng với mọi đường thẳng $b$ thuộc $(Q)$, do đó:

$$\Delta \perp (Q).$$

Kết luận: Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì cũng vuông góc với mọi mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

HĐ8 (trang 35)

Đề bài: Cho hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ cùng vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Xét $O$ là một điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ nhưng không thuộc mặt phẳng $(Q)$. Gọi $(R)$ là mặt phẳng đi qua $O$ và song song với $(Q)$ (H.7.24).

a) Hỏi $(R)$ có vuông góc với $\Delta$ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $(P)$ và $(R)$.

b) Nêu vị trí tương đối giữa $(P)$ và $(Q)$.

Lời giải:

a) Vì $(R) // (Q)$ và $(Q) \perp \Delta$ nên theo HĐ7, $(R) \perp \Delta$.

Như vậy, $(P)$ và $(R)$ cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$. Vì qua $O$ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với $\Delta$, nên $(P) \equiv (R)$.

b) Từ $(P) \equiv (R)$ và $(R) // (Q)$, suy ra $(P) // (Q)$ (do $(P), (Q)$ phân biệt).

Kết luận: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Luyện tập 3 (trang 35)

Đề bài: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Lời giải:

Mỗi chân bàn là một đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng: mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn.

Theo HĐ8: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Kết luận: Hai mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt sàn song song với nhau.

HĐ9 (trang 35)

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Tính $(\Delta, a)$.

Lời giải:

Vì $a // (P)$ nên tồn tại đường thẳng $b \subset (P)$ sao cho $b // a$.

Vì $\Delta \perp (P)$ và $b \subset (P)$ nên $\Delta \perp b$, tức $(\Delta, b) = 90^\circ$.

Theo tính chất “góc giữa hai cặp đường thẳng tương ứng song song bằng nhau”:

$$(\Delta, a) = (\Delta, b) = 90^\circ.$$

Kết luận: $\Delta$ vuông góc với $a$.

HĐ10 (trang 36)

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$.

a) Qua một điểm $O$ thuộc $(P)$, kẻ đường thẳng $a’$ song song với $a$. Nêu vị trí tương đối giữa $a’$ và $(P)$.

b) Nêu vị trí tương đối giữa $a$ và $(P)$.

Lời giải:

a) Vì $a’ // a$ và $a \perp \Delta$ nên $a’ \perp \Delta$ (cùng song song với đường vuông góc thì cũng vuông góc).

$(P) \perp \Delta$ và đi qua $O$. Theo nhận xét sau HĐ3, qua $O$ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với $\Delta$, và mặt phẳng đó chứa mọi đường thẳng qua $O$ vuông góc với $\Delta$. Do đó $a’$ nằm trong $(P)$, tức $a’ \subset (P)$.

b) Vì $a // a’$ và $a’ \subset (P)$:

• Nếu $a$ trùng $a’$ thì $a \subset (P)$.
• Nếu $a$ phân biệt $a’$ thì $a // (P)$.

Kết luận: $a$ nằm trong $(P)$ hoặc $a$ song song với $(P)$.

Luyện tập 4 (trang 36)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Kẻ $AH$ vuông góc với $SC$ ($H$ thuộc $SC$), $BM$ vuông góc với $SC$ ($M$ thuộc $SC$). Chứng minh rằng $SC \perp (MBD)$ và $AH // (MBD)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $SC \perp (MBD)$.

• $SA \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD)$ nên $SA \perp BD$.
• $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: $AC \perp BD$.
• $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AC$ cắt nhau tại $A$, cùng thuộc $(SAC)$, nên $BD \perp (SAC)$.
• $SC \subset (SAC)$ nên $BD \perp SC$.

Theo giả thiết $BM \perp SC$. Vậy $SC$ vuông góc với hai đường thẳng $BD$ và $BM$ cắt nhau tại $B$, cùng thuộc $(MBD)$. Do đó:

$$SC \perp (MBD).$$

Bước 2: Chứng minh $AH // (MBD)$.

• $AH \perp SC$ (giả thiết) và $(MBD) \perp SC$ (vừa chứng minh).
• $AH$ và $(MBD)$ cùng vuông góc với $SC$.

Theo HĐ10, $AH$ nằm trong $(MBD)$ hoặc $AH // (MBD)$.

Kiểm tra $AH$ có thuộc $(MBD)$ không: Điểm $A$ nằm trên đáy $ABCD$, $A$ không thuộc đường thẳng $BD$. Nếu $A \in (MBD)$, thì $A, B, D$ đồng phẳng với $M$, nhưng $A, B, D$ xác định mặt phẳng $(ABCD)$, nên $M$ phải thuộc $(ABCD)$. Mà $M \in SC$ và $SC \cap (ABCD) = {C}$, nên $M = C$. Khi đó $BM = BC$, và $BC$ không vuông góc với $SC$ (vì tam giác $SBC$ không vuông tại $B$ — tại $B$ chỉ vuông khi $SA \perp BC$ và $AB \perp BC$, đúng, vậy thực ra $BC \perp (SAB)$, nên $BC \perp SB$ chứ không phải $SC$). Vậy $M \neq C$, $A \notin (MBD)$.

Do đó:

$$AH // (MBD). \quad \blacksquare$$

Bài tập (trang 36)

Bài 7.5 (trang 36)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \perp (SAM);$

b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$.

Lời giải:

a) Chứng minh $BC \perp (SAM)$.

• Tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm cạnh đáy $BC$, nên $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: $AM \perp BC$.
• $SA \perp (ABC)$ và $BC \subset (ABC)$ nên $SA \perp BC$.
• $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $AM$ và $SA$ cắt nhau tại $A$, cùng thuộc $(SAM)$. Do đó:

$$BC \perp (SAM).$$

b) Chứng minh tam giác $SBC$ cân tại $S$.

Từ câu a, $BC \perp (SAM)$ và $SM \subset (SAM)$, nên $BC \perp SM$.

Trong tam giác $SBC$:

• $M$ là trung điểm $BC$.
• $SM \perp BC$ (vừa chứng minh).

Vậy $SM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác $SBC$, suy ra tam giác $SBC$ cân tại $S$. $\blacksquare$

Bài 7.6 (trang 36)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.

Lời giải:

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABCD)$, đặc biệt $SA \perp AB$, $SA \perp AD$, $SA \perp BC$, $SA \perp CD$.

Mặt bên $SAB$: $SA \perp AB$ nên tam giác $SAB$ vuông tại $A$.

Mặt bên $SAD$: $SA \perp AD$ nên tam giác $SAD$ vuông tại $A$.

Mặt bên $SBC$:

• $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC \perp AB$.
• $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$).
• $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $AB, SA$ cắt nhau tại $A$ cùng thuộc $(SAB)$. Do đó $BC \perp (SAB)$.
• $SB \subset (SAB)$ nên $BC \perp SB$. Vậy tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

Mặt bên $SCD$: Tương tự, $CD \perp AD$ và $CD \perp SA$, nên $CD \perp (SAD)$, suy ra $CD \perp SD$. Tam giác $SCD$ vuông tại $D$.

Kết luận: Cả bốn mặt bên đều là tam giác vuông. $\blacksquare$

Bài 7.7 (trang 36)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $M, N$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB, SD$. Chứng minh rằng:

$$AM \perp (SBC), \quad AN \perp (SCD), \quad SC \perp (AMN).$$

Lời giải:

Vì $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ nên $AM \perp SB$. Tương tự, $AN \perp SD$.

Bước 1: Chứng minh $AM \perp (SBC)$.

Theo Bài 7.6, $BC \perp (SAB)$. Vì $AM \subset (SAB)$, suy ra $BC \perp AM$.

$AM$ vuông góc với hai đường thẳng $SB$ và $BC$ cắt nhau tại $B$, cùng thuộc $(SBC)$. Do đó:

$$AM \perp (SBC).$$

Bước 2: Chứng minh $AN \perp (SCD)$.

Tương tự, $CD \perp (SAD)$. Vì $AN \subset (SAD)$, suy ra $CD \perp AN$.

$AN$ vuông góc với hai đường thẳng $SD$ và $CD$ cắt nhau tại $D$, cùng thuộc $(SCD)$. Do đó:

$$AN \perp (SCD).$$

Bước 3: Chứng minh $SC \perp (AMN)$.

• $SC \subset (SBC)$ và $AM \perp (SBC)$ nên $AM \perp SC$.
• $SC \subset (SCD)$ và $AN \perp (SCD)$ nên $AN \perp SC$.
• $SC$ vuông góc với hai đường thẳng $AM$ và $AN$ cắt nhau tại $A$, cùng thuộc $(AMN)$. Do đó:

$$SC \perp (AMN). \quad \blacksquare$$

Bài 7.8 (trang 36)

Đề bài: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Lời giải:

• Mặt nước yên lặng là mặt phẳng nằm ngang.
• Dây dọi căng thẳng đứng (do trọng lực kéo quả dọi xuống), tức là vuông góc với mọi đường nằm ngang.

Trên mặt nước, ta có thể chọn hai đường thẳng nằm ngang cắt nhau bất kì. Dây dọi vuông góc với cả hai đường này, do đó vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước.

Kết luận: Đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước.

Bài 7.9 (trang 36)

Đề bài: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột $1$ m đến một điểm trên cột, cách chân cột $1$ m được kết quả là $1{,}5$ m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Lời giải:

Gọi $O$ là chân cột, $A$ là điểm trên sân với $OA = 1$ m, $B$ là điểm trên cột với $OB = 1$ m. Khoảng cách đo được $AB = 1{,}5$ m.

Bước 1: Kiểm tra cột có vuông góc với sân hay không.

Nếu cột vuông góc với sân, thì $OB \perp (sân)$, suy ra $OB \perp OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$, áp dụng định lí Pythagore:

$$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \Rightarrow AB = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \text{ (m)}.$$

Nhưng theo phép đo, $AB = 1{,}5$ m $\neq \sqrt{2}$ m. Suy ra tam giác $OAB$ không vuông tại $O$, tức $OB$ không vuông góc với $OA$.

Vì $OA$ là một đường thẳng nằm trên sân và $OB$ (cột) không vuông góc với $OA$, nên cột không vuông góc với sân.

Bước 2: Kết luận về phương thẳng đứng.

Phương thẳng đứng là phương vuông góc với mặt phẳng nằm ngang. Bài toán cho biết sân phẳng nhưng không nói rõ sân nằm ngang.

• Nếu sân nằm ngang: cột không vuông góc với sân → cột không thẳng đứng.
• Nếu sân không nằm ngang (sân nghiêng): cột có thể vẫn thẳng đứng dù không vuông góc với sân.

Kết luận: Cột không vuông góc với sân. Tuy nhiên, không thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng, vì có khả năng sân bị nghiêng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh