Mở đầu trang 72

Đề bài: Tại tỉnh X, thống kê cho thấy trong số những người trên $50$ tuổi có $8{,}2\%$ mắc bệnh tim; $12{,}5\%$ mắc bệnh huyết áp và $5{,}7\%$ mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Từ đó, ta có thể tính được tỉ lệ dân cư trên $50$ tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp hay không?

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Vận dụng (trang 75) sau khi học sinh đã học công thức cộng xác suất.

Ý tưởng chính: Gọi $A$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”, $B$ là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”. Khi đó:

• $A \cup B$ = “Người đó mắc bệnh tim hoặc huyết áp”.
• $\overline{A \cup B}$ = “Người đó không mắc cả bệnh tim và huyết áp”.

Áp dụng công thức cộng xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB)$ và công thức biến cố đối, ta tính được tỉ lệ cần tìm.

1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

a) Biến cố xung khắc

HĐ1 (trang 72)

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho $3$”;
• $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho $4$”.

Hai biến cố $A$ và $B$ có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao?

Lời giải:

Mô tả các biến cố:

• $A = {3; 6}$ (các số chia hết cho $3$ trong ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$).
• $B = {4}$ (số chia hết cho $4$ trong ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$).

Ta thấy $A \cap B = \emptyset$, tức là không có số nào vừa chia hết cho $3$ vừa chia hết cho $4$ trong ${1; 2; \ldots; 6}$.

Kết luận: Hai biến cố $A$ và $B$ không thể đồng thời xảy ra (không thể có một số vừa chia hết cho $3$ vừa chia hết cho $4$ khi gieo một con xúc xắc).

Câu hỏi (trang 72)

Đề bài: Biến cố $A$ và biến cố đối $\overline{A}$ có xung khắc hay không? Tại sao?

Lời giải:

Theo định nghĩa, $A$ và $\overline{A}$ là hai biến cố đối nhau, tức là chúng không thể đồng thời xảy ra (nếu $A$ xảy ra thì $\overline{A}$ không xảy ra và ngược lại).

Cụ thể: $A \cap \overline{A} = \emptyset$.

Vậy $A$ và $\overline{A}$ xung khắc.

Luyện tập 1 (trang 73)

Đề bài: Một tổ học sinh có $8$ bạn, trong đó có $6$ bạn thích môn Bóng đá, $4$ bạn thích môn Cầu lông và $2$ bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

• $E$: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”;
• $F$: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông”.

Hai biến cố $E$ và $F$ có xung khắc không?

Lời giải:

Theo đề bài, có $2$ bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Nếu chọn ngẫu nhiên một trong hai bạn này thì cả hai biến cố $E$ và $F$ đều xảy ra.

Do đó $E$ và $F$ có thể đồng thời xảy ra, tức $E \cap F \neq \emptyset$.

Kết luận: Hai biến cố $E$ và $F$ không xung khắc.

b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

HĐ2 (trang 73)

Đề bài: Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính $P(A)$, $P(B)$ và $P(A \cup B)$.

Lời giải:

Không gian mẫu $\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$, có $6$ phần tử.

Tính $P(A)$: $A = {3; 6}$, có $2$ phần tử.

$$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

Tính $P(B)$: $B = {4}$, có $1$ phần tử.

$$P(B) = \dfrac{1}{6}.$$

Tính $P(A \cup B)$: $A \cup B = {3; 4; 6}$, có $3$ phần tử.

$$P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

Nhận xét: Ta có $P(A) + P(B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = P(A \cup B)$.

Vậy với hai biến cố xung khắc $A$ và $B$, ta có công thức: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Luyện tập 2 (trang 74)

Đề bài: Một hộp đựng $5$ quả cầu màu xanh và $3$ quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Lời giải:

Bước 1: Mô tả không gian mẫu.

Tổng số quả cầu: $5 + 3 = 8$. Chọn $2$ quả từ $8$ quả:

$$n(\Omega) = C_8^2 = 28.$$

Bước 2: Đặt biến cố.

Gọi:

• $A$: “Chọn được $2$ quả cầu màu xanh”.
• $B$: “Chọn được $2$ quả cầu màu đỏ”.

Biến cố cần tính: “Chọn được $2$ quả cầu cùng màu” $= A \cup B$.

Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc (vì không thể vừa được $2$ xanh vừa được $2$ đỏ trong một lần chọn).

Bước 3: Tính $P(A)$ và $P(B)$.

• $A$: chọn $2$ quả xanh trong $5$ quả: $n(A) = C_5^2 = 10$.

$$P(A) = \dfrac{10}{28}.$$

• $B$: chọn $2$ quả đỏ trong $3$ quả: $n(B) = C_3^2 = 3$.

$$P(B) = \dfrac{3}{28}.$$

Bước 4: Áp dụng công thức cộng xác suất.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{10}{28} + \dfrac{3}{28} = \dfrac{13}{28}.$$

Kết luận: Xác suất chọn được hai quả cầu cùng màu là $\dfrac{13}{28}$.

2. Công thức cộng xác suất

HĐ3 (trang 74)

Đề bài: Ở một trường trung học phổ thông X, có $19\%$ học sinh học khá môn Ngữ văn, $32\%$ học sinh học khá môn Toán, $7\%$ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;
• $B$: “Học sinh đó học khá môn Toán”.

a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu “?”.

$P(A)$ là tỉ lệ …(?)…; $P(B)$ là …(?)…; $P(AB)$ là …(?)…; $P(A \cup B)$ là …(?)…

b) Tại sao để tính $P(A \cup B)$ ta không áp dụng được công thức $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$?

Lời giải:

a) Hoàn thành các mệnh đề:

• $P(A)$ là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn (= $19\% = 0{,}19$).
• $P(B)$ là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán (= $32\% = 0{,}32$).
• $P(AB)$ là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán (= $7\% = 0{,}07$).
• $P(A \cup B)$ là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc môn Toán.

b) Ta không thể áp dụng công thức $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ vì công thức này chỉ đúng khi $A$ và $B$ xung khắc.

Trong bài này, có $7\%$ học sinh học khá cả hai môn, tức là $A$ và $B$ có thể đồng thời xảy ra (không xung khắc). Do đó phải dùng công thức tổng quát:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB).$$

Câu hỏi (trang 74)

Đề bài: Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất?

Lời giải:

Công thức cộng xác suất tổng quát:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB).$$

Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $AB = \emptyset$, do đó $P(AB) = 0$. Thay vào công thức:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B).$$

Đây chính là công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc. Vậy nó là một hệ quả (trường hợp riêng) của công thức tổng quát.

Luyện tập 3 (trang 75)

Đề bài: Phỏng vấn $30$ học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có $19$ bạn thích môn Bóng đá, $17$ bạn thích môn Bóng bàn và $15$ bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Học sinh đó thích môn Bóng đá”.
• $B$: “Học sinh đó thích môn Bóng bàn”.

Biến cố cần tính: “Học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn” $= A \cup B$.

Tính các xác suất thành phần:

• $P(A) = \dfrac{19}{30}$.
• $P(B) = \dfrac{17}{30}$.
• $P(AB) = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = \dfrac{19}{30} + \dfrac{17}{30} – \dfrac{15}{30} = \dfrac{21}{30} = \dfrac{7}{10}.$$

Kết luận: Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn là $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$.

Vận dụng (trang 75) – Giải bài toán mở đầu

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một người dân trên $50$ tuổi của tỉnh X. Gọi $A$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; $B$ là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; $E$ là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”. Khi đó $\overline{E}$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp”. Ta có $\overline{E} = A \cup B$. Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính $P(E)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các xác suất từ đề bài.

• $P(A) = 8{,}2\% = 0{,}082$.
• $P(B) = 12{,}5\% = 0{,}125$.
• $P(AB) = 5{,}7\% = 0{,}057$ (mắc cả hai).

Bước 2: Tính $P(\overline{E}) = P(A \cup B)$.

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0{,}082 + 0{,}125 – 0{,}057 = 0{,}15.$$

Bước 3: Tính $P(E)$ bằng công thức biến cố đối.

$$P(E) = 1 – P(\overline{E}) = 1 – 0{,}15 = 0{,}85.$$

Kết luận: Tỉ lệ dân cư trên $50$ tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là $0{,}85 = 85\%$.

Bài tập (trang 75)

Bài 8.6 (trang 75)

Đề bài: Một hộp đựng $8$ viên bi màu xanh và $6$ viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Lời giải:

Gọi $B$ là biến cố “Tùng lấy được viên bi màu xanh”.

Phân tích $B$ thành hai trường hợp xung khắc dựa vào việc Sơn lấy được màu gì:

• $M$: “Sơn lấy được bi xanh và Tùng lấy được bi xanh”.
• $N$: “Sơn lấy được bi đỏ và Tùng lấy được bi xanh”.

Khi đó $B = M \cup N$, và $M \cap N = \emptyset$ (xung khắc), nên:

$$P(B) = P(M) + P(N).$$

Tính không gian mẫu chung: Sơn lấy $1$ viên bi (có $14$ cách), Tùng lấy $1$ viên bi từ $13$ viên còn lại ($13$ cách):

$$n(\Omega) = 14 \times 13 = 182.$$

Tính $P(M)$:

• Sơn lấy được bi xanh: có $8$ cách (chọn $1$ trong $8$ viên xanh).
• Sau khi Sơn lấy, còn $7$ viên xanh và $6$ viên đỏ. Tùng lấy được bi xanh: có $7$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho $M$: $8 \times 7 = 56$.

$$P(M) = \dfrac{56}{182} = \dfrac{4}{13}.$$

Tính $P(N)$:

• Sơn lấy được bi đỏ: có $6$ cách.
• Sau khi Sơn lấy, còn $8$ viên xanh và $5$ viên đỏ. Tùng lấy được bi xanh: có $8$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho $N$: $6 \times 8 = 48$.

$$P(N) = \dfrac{48}{182} = \dfrac{24}{91}.$$

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(B) = P(M) + P(N) = \dfrac{56}{182} + \dfrac{48}{182} = \dfrac{104}{182} = \dfrac{4}{7}.$$

Kết luận: Xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là $\dfrac{4}{7}$.

Bài 8.7 (trang 75)

Đề bài: Lớp 11A của một trường có $40$ học sinh, trong đó có $14$ bạn thích nhạc cổ điển, $13$ bạn thích nhạc trẻ và $5$ bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Bạn đó thích nhạc cổ điển”.
• $B$: “Bạn đó thích nhạc trẻ”.

Tính các xác suất thành phần:

• $P(A) = \dfrac{14}{40} = \dfrac{7}{20}$.
• $P(B) = \dfrac{13}{40}$.
• $P(AB) = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}$.

a) Tính $P(A \cup B)$:

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = \dfrac{14}{40} + \dfrac{13}{40} – \dfrac{5}{40} = \dfrac{22}{40} = \dfrac{11}{20}.$$

Kết luận: Xác suất để bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là $\dfrac{11}{20} = 0{,}55$.

b) Tính xác suất bạn đó không thích cả hai loại nhạc.

Biến cố “Không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ” là biến cố đối của “thích ít nhất một trong hai” $= A \cup B$. Do đó:

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{11}{20} = \dfrac{9}{20}.$$

Kết luận: Xác suất bạn đó không thích cả hai loại nhạc là $\dfrac{9}{20} = 0{,}45$.

Bài 8.8 (trang 75)

Đề bài: Một khu phố có $50$ hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có $18$ hộ nuôi chó, $16$ hộ nuôi mèo và $7$ hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Hộ đó nuôi chó”.
• $B$: “Hộ đó nuôi mèo”.

Tổng số hộ trong khu phố: $50$. Các xác suất thành phần:

• $P(A) = \dfrac{18}{50} = \dfrac{9}{25}$.
• $P(B) = \dfrac{16}{50} = \dfrac{8}{25}$.
• $P(AB) = \dfrac{7}{50}$.

a) Tính $P(A \cup B)$:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = \dfrac{18}{50} + \dfrac{16}{50} – \dfrac{7}{50} = \dfrac{27}{50}.$$

Kết luận: Xác suất hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo là $\dfrac{27}{50} = 0{,}54$.

b) Tính xác suất hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Biến cố “Không nuôi cả chó và mèo” là biến cố đối của $A \cup B$:

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{27}{50} = \dfrac{23}{50}.$$

Kết luận: Xác suất hộ đó không nuôi cả chó và mèo là $\dfrac{23}{50} = 0{,}46$.

Bài 8.9 (trang 75)

Đề bài: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có $50\%$ người mua sách A; $70\%$ người mua sách B; $30\%$ người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua sách. Tính xác suất để:

a) Người đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B;

b) Người đó không mua cả sách A và sách B.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Người đó mua sách A”.
• $B$: “Người đó mua sách B”.

Các xác suất thành phần:

• $P(A) = 50\% = 0{,}5$.
• $P(B) = 70\% = 0{,}7$.
• $P(AB) = 30\% = 0{,}3$.

a) Tính $P(A \cup B)$:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0{,}5 + 0{,}7 – 0{,}3 = 0{,}9.$$

Kết luận: Xác suất người đó mua ít nhất một trong hai sách là $0{,}9 = 90\%$.

b) Tính xác suất người đó không mua cả hai sách.

Đây là biến cố đối của “mua ít nhất một trong hai” $= A \cup B$:

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}9 = 0{,}1.$$

Kết luận: Xác suất người đó không mua cả hai sách là $0{,}1 = 10\%$.

Bài 8.10 (trang 75)

Đề bài: Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có $63\%$ giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, $56\%$ giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và $28{,}5\%$ giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Giáo viên đó tham khảo sách A”.
• $B$: “Giáo viên đó tham khảo sách B”.

Các xác suất thành phần:

• $P(A) = 63\% = 0{,}63$.
• $P(B) = 56\% = 0{,}56$.
• $P(AB) = 28{,}5\% = 0{,}285$.

Bước 1: Tính $P(A \cup B)$ — tỉ lệ tham khảo ít nhất một trong hai.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0{,}63 + 0{,}56 – 0{,}285 = 0{,}905.$$

Bước 2: Tính tỉ lệ không tham khảo cả hai sách (biến cố đối).

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}905 = 0{,}095.$$

Kết luận: Tỉ lệ giáo viên môn Toán không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là $0{,}095 = 9{,}5\%$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh