Mở đầu trang 10

Đề bài: Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng $100$ triệu đồng kì hạn $12$ tháng, với lãi suất không đổi là $6\%$ một năm. Khi đó sau $n$ năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức:

$$A = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n \text{ (triệu đồng)}.$$

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới $150$ triệu đồng?

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Ví dụ 7 (trang 14) sau khi học sinh đã học về lôgarit.

Ý tưởng chính: Đặt $A \geq 150$, tức là $100 \cdot (1{,}06)^n \geq 150 \Leftrightarrow (1{,}06)^n \geq 1{,}5$. Để tìm $n$, ta cần dùng lôgarit — phép toán ngược của lũy thừa: $n \geq \log_{1{,}06} 1{,}5 \approx 6{,}96$. Vì gửi kì hạn $12$ tháng nên $n$ phải nguyên, chọn $n = 7$ năm.

1. Khái niệm lôgarit

HĐ1 (trang 10)

Đề bài: Tìm $x$, biết:

a) $2^x = 8;$ b) $2^x = \dfrac{1}{4};$ c) $2^x = \sqrt{2}.$

Lời giải:

a) $2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3.$

b) $2^x = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} = 2^{-2} \Rightarrow x = -2.$

c) $2^x = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}.$

Nhận xét: Trong cả ba trường hợp, ta đã tìm được số mũ $x$ để $2^x$ bằng một số dương cho trước. Số $x$ đó được gọi là lôgarit cơ số $2$ của số đã cho.

Luyện tập 1 (trang 11)

Đề bài: Tính:

a) $\log_3 3\sqrt{3};$

b) $\log_{\frac{1}{2}} 32.$

Lời giải:

a) Viết $3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$. Áp dụng tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$:

$$\log_3 3\sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}.$$

b) Viết $32 = 2^5$. Ta cần đưa về cơ số $\dfrac{1}{2}$:

$$32 = 2^5 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-5}.$$

Do đó:

$$\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-5} = -5.$$

2. Tính chất của lôgarit

a) Quy tắc tính lôgarit

HĐ2 (trang 11)

Đề bài: Cho $M = 2^5$, $N = 2^3$. Tính và so sánh:

a) $\log_2(MN)$ và $\log_2 M + \log_2 N;$

b) $\log_2 \left( \dfrac{M}{N} \right)$ và $\log_2 M – \log_2 N.$

Lời giải:

Trước tiên: $\log_2 M = \log_2 2^5 = 5$ và $\log_2 N = \log_2 2^3 = 3$.

a) Tính $\log_2(MN)$:

$$MN = 2^5 \cdot 2^3 = 2^8 \Rightarrow \log_2(MN) = 8.$$

Mặt khác: $\log_2 M + \log_2 N = 5 + 3 = 8$.

Vậy $\log_2(MN) = \log_2 M + \log_2 N = 8.$

b) Tính $\log_2 \left( \dfrac{M}{N} \right)$:

$$\dfrac{M}{N} = \dfrac{2^5}{2^3} = 2^2 \Rightarrow \log_2 \left( \dfrac{M}{N} \right) = 2.$$

Mặt khác: $\log_2 M – \log_2 N = 5 – 3 = 2$.

Vậy $\log_2 \left( \dfrac{M}{N} \right) = \log_2 M – \log_2 N = 2.$

Nhận xét: Đây là cơ sở cho hai quy tắc: $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ và $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M – \log_a N$.

Luyện tập 2 (trang 11)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = \log_2(x^3 – x) – \log_2(x + 1) – \log_2(x – 1)$ với $x > 1$.

Lời giải:

Bước 1: Phân tích $x^3 – x$.

$$x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1).$$

Vì $x > 1$ nên các thừa số $x, x-1, x+1$ đều dương, ta có thể áp dụng quy tắc lôgarit của tích:

$$\log_2(x^3 – x) = \log_2[x(x-1)(x+1)] = \log_2 x + \log_2(x-1) + \log_2(x+1).$$

Bước 2: Thay vào $A$.

$$A = \log_2 x + \log_2(x-1) + \log_2(x+1) – \log_2(x+1) – \log_2(x-1) = \log_2 x.$$

Kết luận: $A = \log_2 x$.

b) Đổi cơ số của lôgarit

HĐ3 (trang 11)

Đề bài: Giả sử đã cho $\log_a M$ và ta muốn tính $\log_b M$. Để tìm mối liên hệ giữa $\log_a M$ và $\log_b M$, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt $y = \log_a M$, tính $M$ theo $y$;

b) Lấy lôgarit theo cơ số $b$ cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính $y$.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa lôgarit:

$$y = \log_a M \Leftrightarrow M = a^y.$$

b) Lấy lôgarit cơ số $b$ cả hai vế của $M = a^y$:

$$\log_b M = \log_b a^y = y \cdot \log_b a.$$

Suy ra:

$$y = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}.$$

Vì $y = \log_a M$, ta có công thức đổi cơ số:

$$\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}.$$

Luyện tập 3 (trang 12)

Đề bài: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $\log_9 \dfrac{1}{27}.$

Lời giải:

Viết $9 = 3^2$ và $\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Áp dụng công thức đổi cơ số (đưa về cơ số $3$):

$$\log_9 \dfrac{1}{27} = \dfrac{\log_3 \dfrac{1}{27}}{\log_3 9} = \dfrac{\log_3 3^{-3}}{\log_3 3^2} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}.$$

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Vận dụng (trang 14)

Đề bài: Cô Hương gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng với lãi suất $6\%$ một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $1$ năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau: – Lãi kép kì hạn $12$ tháng; – Lãi kép kì hạn $1$ tháng; – Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là $150$ triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Với $P = 100$ triệu, $r = 0{,}06$/năm:

Lãi kép kì hạn 12 tháng ($n = 1$ kì/năm, sau $1$ năm có $N = 1$ kì):

$$A = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^1 = 100 \cdot 1{,}06 = 106 \text{ (triệu đồng)}.$$

Lãi kép kì hạn 1 tháng ($n = 12$ kì/năm, sau $1$ năm có $N = 12$ kì):

$$A = 100 \cdot \left( 1 + \dfrac{0{,}06}{12} \right)^{12} = 100 \cdot (1{,}005)^{12} \approx 100 \cdot 1{,}061678 \approx 106{,}1678 \text{ (triệu đồng)}.$$

Lãi kép liên tục (công thức $A = Pe^{rt}$ với $t = 1$ năm):

$$A = 100 \cdot e^{0{,}06 \cdot 1} = 100 \cdot e^{0{,}06} \approx 100 \cdot 1{,}061837 \approx 106{,}1837 \text{ (triệu đồng)}.$$

Nhận xét: Khi kì tính lãi càng ngắn, số tiền thu được càng lớn (chênh nhau không nhiều).

b) Theo công thức lãi kép liên tục $A = 100 \cdot e^{0{,}06t}$. Yêu cầu $A = 150$:

$$100 \cdot e^{0{,}06t} = 150 \Leftrightarrow e^{0{,}06t} = 1{,}5.$$

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$0{,}06t = \ln 1{,}5 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 1{,}5}{0{,}06} \approx \dfrac{0{,}4055}{0{,}06} \approx 6{,}758.$$

Kết luận: Cần khoảng $\mathbf{6{,}8}$ năm để số tiền thu được đạt $150$ triệu đồng.

Bài tập (trang 14-15)

Bài 6.9 (trang 14)

Đề bài: Tính:

a) $\log_2 2^{-13};$

b) $\ln e^{\sqrt{2}};$

c) $\log_8 16 – \log_8 2;$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8.$

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$:

$$\log_2 2^{-13} = -13.$$

b) Tương tự (với cơ số $e$):

$$\ln e^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$$

c) Áp dụng quy tắc $\log_a M – \log_a N = \log_a \dfrac{M}{N}$:

$$\log_8 16 – \log_8 2 = \log_8 \dfrac{16}{2} = \log_8 8 = 1.$$

d) Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_6 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 6}$:

$$\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 6 \cdot \dfrac{\log_2 8}{\log_2 6} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3.$$

Bài 6.10 (trang 14)

Đề bài: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A = \ln \dfrac{x}{x – 1} + \ln \dfrac{x + 1}{x} – \ln(x^2 – 1);$

b) $B = 2\log_3 \sqrt[3]{x} + \log_3(9x^2) – \log_3 9.$

Lời giải:

a) Gộp hai số hạng đầu bằng quy tắc tổng:

$$\ln \dfrac{x}{x – 1} + \ln \dfrac{x + 1}{x} = \ln \left( \dfrac{x}{x – 1} \cdot \dfrac{x + 1}{x} \right) = \ln \dfrac{x + 1}{x – 1}.$$

Phân tích $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$, nên $\ln(x^2 – 1) = \ln[(x – 1)(x + 1)]$. Áp dụng quy tắc hiệu:

$$A = \ln \dfrac{x + 1}{x – 1} – \ln[(x – 1)(x + 1)] = \ln \dfrac{x + 1}{(x – 1)(x – 1)(x + 1)} = \ln \dfrac{1}{(x – 1)^2}.$$

Có thể viết gọn: $A = \ln \dfrac{1}{(x – 1)^2} = -2\ln|x – 1|$ (với $x > 1$ thì $A = -2\ln(x – 1)$).

b) Biến đổi từng số hạng:

• $2\log_3 \sqrt[3]{x} = 2 \cdot \log_3 x^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \log_3 x = \dfrac{2}{3}\log_3 x = \log_3 x^{\frac{2}{3}}.$
• $\log_3(9x^2) = \log_3 9 + \log_3 x^2 = \log_3 9 + 2\log_3 x.$

Thay vào:

$$B = \dfrac{2}{3}\log_3 x + (\log_3 9 + 2\log_3 x) – \log_3 9 = \dfrac{2}{3}\log_3 x + 2\log_3 x = \left( \dfrac{2}{3} + 2 \right)\log_3 x = \dfrac{8}{3}\log_3 x.$$

Viết thành lôgarit của một biểu thức:

$$B = \dfrac{8}{3}\log_3 x = \log_3 x^{\frac{8}{3}}.$$

Bài 6.11 (trang 15)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 – \log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5};$

b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4.$

Lời giải:

a) Đưa các lôgarit về cùng cơ số $3$. Áp dụng tính chất $\log_{a^\alpha} M = \dfrac{1}{\alpha} \log_a M$:

• $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = \dfrac{1}{-1}\log_3 5 = -\log_3 5.$
• $2\log_9 25 = 2\log_{3^2} 5^2 = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \log_3 5^2 = \log_3 5^2 = 2\log_3 5.$
• $\log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5} = \log_{3^{1/2}} 5^{-1} = \dfrac{1}{1/2}\log_3 5^{-1} = 2 \cdot (-\log_3 5) = -2\log_3 5.$

Thay vào:

$$A = -\log_3 5 + 2\log_3 5 – (-2\log_3 5) = -\log_3 5 + 2\log_3 5 + 2\log_3 5 = 3\log_3 5 = \log_3 125.$$

b) Áp dụng tính chất $\log_a M^\alpha = \alpha \log_a M$ và $\log_{a^\alpha} M = \dfrac{1}{\alpha} \log_a M$:

• $\log_a M^2 = 2\log_a M.$
• $\log_{a^2} M^4 = 4 \log_{a^2} M = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \log_a M = 2\log_a M.$

Do đó:

$$B = 2\log_a M + 2\log_a M = 4\log_a M.$$

Bài 6.12 (trang 15)

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8;$

b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdot \ldots \cdot \log_2 2^n.$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức đổi cơ số dạng “ghép”: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (vì $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$).

Ghép lần lượt từng cặp:

$$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4.$$

$$\log_2 4 \cdot \log_4 5 = \log_2 5.$$

$$\log_2 5 \cdot \log_5 6 = \log_2 6.$$

$$\log_2 6 \cdot \log_6 7 = \log_2 7.$$

$$\log_2 7 \cdot \log_7 8 = \log_2 8 = 3.$$

Vậy $A = 3.$

b) Tính từng số hạng: $\log_2 2^k = k$. Do đó:

$$B = \log_2 2 \cdot \log_2 2^2 \cdot \log_2 2^3 \cdot \ldots \cdot \log_2 2^n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n = n!.$$

Bài 6.13 (trang 15)

Đề bài: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

$$a = 15.500(5 – \log p),$$

trong đó $a$ là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và $p$ là áp suất không khí (tính bằng pascan). Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao khoảng $8.850$ m so với mực nước biển.

Lời giải:

Thay $a = 8.850$ vào công thức:

$$8.850 = 15.500(5 – \log p).$$

Chia hai vế cho $15.500$:

$$5 – \log p = \dfrac{8.850}{15.500} \approx 0{,}5710.$$

Suy ra:

$$\log p = 5 – 0{,}5710 = 4{,}4290.$$

Do đó:

$$p = 10^{4{,}4290} \approx 26.855 \text{ (pascan)}.$$

Kết luận: Áp suất không khí ở đỉnh Everest khoảng $26.855$ pascan.

Bài 6.14 (trang 15)

Đề bài: Mức cường độ âm $L$ đo bằng đêxiben (dB) của âm thanh có cường độ $I$ (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

$$L(I) = 10\log \dfrac{I}{I_0},$$

trong đó $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7}$ W/m².

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3}$ W/m².

Lời giải:

a) Thay $I = 10^{-7}$ và $I_0 = 10^{-12}$:

$$L = 10 \cdot \log \dfrac{10^{-7}}{10^{-12}} = 10 \cdot \log 10^{-7 – (-12)} = 10 \cdot \log 10^5 = 10 \cdot 5 = 50 \text{ (dB)}.$$

Vậy cuộc trò chuyện bình thường có mức cường độ âm khoảng $50$ dB.

b) Thay $I = 10^{-3}$ và $I_0 = 10^{-12}$:

$$L = 10 \cdot \log \dfrac{10^{-3}}{10^{-12}} = 10 \cdot \log 10^9 = 10 \cdot 9 = 90 \text{ (dB)}.$$

Vậy giao thông thành phố đông đúc có mức cường độ âm khoảng $90$ dB.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh