Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 22
Đề bài: Giả sử vận tốc $v$ (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức:
$$v = 0{,}85\sin\dfrac{\pi t}{3},$$
trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.
Lời giải:
Hàm $v$ có dạng $v = A\sin(\omega t)$ với $\omega = \dfrac{\pi}{3}$, là hàm tuần hoàn với chu kì:
$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6 \text{ (giây)}.$$
Một phút $= 60$ giây, vậy số chu kì hô hấp trong một phút:
$$N = \dfrac{60}{6} = 10 \text{ (chu kì)}.$$
Kết luận: Thời gian một chu kì hô hấp là $6$ giây, người đó thực hiện $10$ chu kì hô hấp trong một phút.
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
HĐ1 (trang 22)
Đề bài: Hoàn thành bảng sau:
| $x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ |
|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{\pi}{6}$ | ? | ? | ? | ? |
| $0$ | ? | ? | ? | ? |
| $-\dfrac{\pi}{2}$ | ? | ? | ? | ? |
Lời giải:
Tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và sử dụng công thức góc đối:
| $x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ |
|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | Không xác định |
| $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | Không xác định | $0$ |
Lưu ý: $\cot 0$ không xác định vì $\sin 0 = 0$; $\tan\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ không xác định vì $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
Luyện tập 1 (trang 23)
Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x}$.
Lời giải:
Biểu thức $\dfrac{1}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x \neq 0$.
Mà $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Vậy tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
HĐ2 (trang 23 – 24)
Đề bài: Cho hai hàm số $f(x) = x^2$ và $g(x) = x^3$ với các đồ thị đã cho.
a) Tìm các tập xác định $D_f,; D_g$ của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$.
b) Chứng tỏ rằng $f(-x) = f(x),; \forall x \in D_f$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ đối với hệ trục toạ độ $Oxy$?
c) Chứng tỏ rằng $g(-x) = -g(x),; \forall x \in D_g$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ đối với hệ trục toạ độ $Oxy$?
Lời giải:
a) Tập xác định của cả hai hàm: $D_f = D_g = \mathbb{R}$.
b) Với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).$$
Nhận xét: Đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.
c) Với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$$g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x).$$
Nhận xét: Đồ thị hàm số $y = g(x) = x^3$ nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.
Luyện tập 2 (trang 24)
Đề bài: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $g(x) = \dfrac{1}{x}$.
Lời giải:
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {0}$. Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ (tập đối xứng qua $0$).
Với mọi $x \in D$:
$$g(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -g(x).$$
Vậy $g(x) = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ.
HĐ3 (trang 24)
Đề bài: So sánh:
a) $\sin(x + 2\pi)$ và $\sin x$;
b) $\cos(x + 2\pi)$ và $\cos x$;
c) $\tan(x + \pi)$ và $\tan x$;
d) $\cot(x + \pi)$ và $\cot x$.
Lời giải:
Dùng công thức giá trị lượng giác của các góc hơn kém $2\pi$ và $\pi$ đã học ở Bài 1:
a) $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ (do tăng thêm một vòng đầy đủ).
b) $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
c) Áp dụng công thức $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$: $\tan(x + \pi) = \tan x$.
d) Tương tự: $\cot(x + \pi) = \cot x$.
Luyện tập 3 (trang 25)
Đề bài: Xét tính tuần hoàn của hàm số $y = \tan 2x$.
Lời giải:
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ (xác định khi $2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$).
Với mọi $x \in D$, ta có $x + \dfrac{\pi}{2} \in D$ và $x – \dfrac{\pi}{2} \in D$. Khi đó:
$$\tan\left[2\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\right] = \tan(2x + \pi) = \tan 2x.$$
Vậy $y = \tan 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \dfrac{\pi}{2}$.
(Áp dụng kết quả tổng quát: $y = \tan(\omega x)$ tuần hoàn với chu kì $T = \dfrac{\pi}{|\omega|}$, ở đây $\omega = 2$ nên $T = \dfrac{\pi}{2}$.)
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
HĐ4 (trang 25)
Đề bài: Cho hàm số $y = \sin x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[-\pi;,\pi]$.
c) Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$.
Lời giải:
a) Tập xác định: $\mathbb{R}$ (đối xứng qua $0$). Với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$$\sin(-x) = -\sin x.$$
Vậy $y = \sin x$ là hàm số lẻ.
b) Tính giá trị $\sin x$ tại các giá trị $x \geq 0$ rồi suy ra giá trị tại $x < 0$ bằng tính lẻ $\sin(-x) = -\sin x$:
| $x$ | $-\pi$ | $-\dfrac{3\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ |
c) Từ đồ thị Hình 1.14:
- Tập giá trị: $[-1;,1]$.
- Các khoảng đồng biến: $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi;; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right),; k \in \mathbb{Z}$.
- Các khoảng nghịch biến: $\left(\dfrac{\pi}{2} + k2\pi;; \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right),; k \in \mathbb{Z}$.
Luyện tập 4 (trang 26)
Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$.
Lời giải:
Vì $-1 \leq \sin x \leq 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nhân hai vế với $2$:
$$-2 \leq 2\sin x \leq 2.$$
Dấu bằng đạt được khi $\sin x = \pm 1$, tức $x = \pm\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$.
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-2;,2]$.
Vận dụng 1 (trang 26)
Đề bài: Xét tình huống mở đầu.
a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi $v > 0$ và quá trình thở ra xảy ra khi $v < 0$. Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $5$ giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?
Lời giải:
a) Hàm $v = 0{,}85\sin\dfrac{\pi t}{3}$ tuần hoàn với chu kì $T = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6$ giây.
Số chu kì hô hấp trong $1$ phút: $\dfrac{60}{6} = 10$ chu kì.
b) Vì $0{,}85 > 0$ nên dấu của $v$ trùng với dấu của $\sin\dfrac{\pi t}{3}$.
Hít vào ($v > 0$): $\sin\dfrac{\pi t}{3} > 0 \Leftrightarrow k2\pi < \dfrac{\pi t}{3} < \pi + k2\pi$.
Nhân hai vế với $\dfrac{3}{\pi}$:
$$6k < t < 3 + 6k \quad (k \in \mathbb{Z}).$$
Với $t \in [0;,5]$: chọn $k = 0$ được $0 < t < 3$.
Thở ra ($v < 0$): $\sin\dfrac{\pi t}{3} < 0 \Leftrightarrow \pi + k2\pi < \dfrac{\pi t}{3} < 2\pi + k2\pi$, tức:
$$3 + 6k < t < 6 + 6k \quad (k \in \mathbb{Z}).$$
Với $t \in [0;,5]$: chọn $k = 0$ được $3 < t < 5$ (vì $5 < 6$).
Kết luận:
- Người đó hít vào trong khoảng thời gian $0 < t < 3$ (giây).
- Người đó thở ra trong khoảng thời gian $3 < t < 5$ (giây).
- Tại $t = 0$ và $t = 3$ là các thời điểm chuyển giao giữa hít vào và thở ra ($v = 0$).
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cos x
HĐ5 (trang 26)
Đề bài: Cho hàm số $y = \cos x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[-\pi;,\pi]$.
c) Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$.
Lời giải:
a) Tập xác định: $\mathbb{R}$ (đối xứng qua $0$). Với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$$\cos(-x) = \cos x.$$
Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.
b) Tính giá trị $\cos x$ tại các $x \geq 0$ rồi suy ra giá trị tại $x < 0$ bằng tính chẵn $\cos(-x) = \cos x$:
| $x$ | $-\pi$ | $-\dfrac{3\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \cos x$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
c) Từ đồ thị Hình 1.15:
- Tập giá trị: $[-1;,1]$.
- Các khoảng đồng biến: $(-\pi + k2\pi;; k2\pi),; k \in \mathbb{Z}$.
- Các khoảng nghịch biến: $(k2\pi;; \pi + k2\pi),; k \in \mathbb{Z}$.
Luyện tập 5 (trang 27)
Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số $y = -3\cos x$.
Lời giải:
Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$, nhân cả ba vế với $-3$ (đổi chiều bất đẳng thức):
$$3 \geq -3\cos x \geq -3 ;\Leftrightarrow; -3 \leq -3\cos x \leq 3.$$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-3;,3]$.
Vận dụng 2 (trang 27)
Đề bài: Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình $x(t) = -5\cos 4\pi t$ (cm).
a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.
b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian $2$ giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
Lời giải:
a) Biến đổi $x(t)$ về dạng chuẩn $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ với $A > 0$:
$$x(t) = -5\cos 4\pi t = 5 \cdot (-\cos 4\pi t) = 5\cos(4\pi t + \pi),$$
(dùng công thức $-\cos\alpha = \cos(\alpha + \pi)$ — góc hơn kém $\pi$ đã học ở Bài 1).
So sánh với $A\cos(\omega t + \varphi)$ ta được: $A = 5$ cm, $\omega = 4\pi$, $\varphi = \pi$.
b) Pha của dao động tại $t = 2$:
$$\omega t + \varphi = 4\pi \cdot 2 + \pi = 9\pi \text{ (rad)}.$$
Chu kì dao động:
$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4\pi} = \dfrac{1}{2} \text{ (giây)}.$$
Số dao động toàn phần trong $2$ giây:
$$\dfrac{2}{T} = \dfrac{2}{1/2} = 4 \text{ (dao động)}.$$
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x
HĐ6 (trang 28)
Đề bài: Cho hàm số $y = \tan x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
c) Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$.
Lời giải:
a) Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ (đối xứng qua $0$). Với mọi $x \in D$:
$$\tan(-x) = -\tan x.$$
Vậy $y = \tan x$ là hàm số lẻ.
b) Tính giá trị $\tan x$ và sử dụng tính lẻ:
| $x$ | $-\dfrac{\pi}{3}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{6}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
c) Từ đồ thị Hình 1.16:
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
- Các khoảng đồng biến: $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi;; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right),; k \in \mathbb{Z}$.
Luyện tập 6 (trang 29)
Đề bài: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\pi;; \dfrac{3\pi}{2}\right]$ để hàm số $y = \tan x$ nhận giá trị âm.
Lời giải:
Hàm số $y = \tan x$ nhận giá trị âm tương ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.
Trên đoạn $\left[-\pi;; \dfrac{3\pi}{2}\right]$, dựa vào đồ thị Hình 1.16 và tính chu kì $T = \pi$ của $\tan x$:
- Trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};; 0\right)$: $\tan x < 0$.
- Trên $\left(\dfrac{\pi}{2};; \pi\right)$: $\tan x < 0$.
Vậy: $y = \tan x < 0$ khi $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};; 0\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2};; \pi\right)$.
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x
HĐ7 (trang 29)
Đề bài: Cho hàm số $y = \cot x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $(0;,\pi)$.
c) Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$.
Lời giải:
a) Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$ (đối xứng qua $0$). Với mọi $x \in D$:
$$\cot(-x) = -\cot x.$$
Vậy $y = \cot x$ là hàm số lẻ.
b)
| $x$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \cot x$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
c) Từ đồ thị Hình 1.17:
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
- Các khoảng nghịch biến: $(k\pi;; \pi + k\pi),; k \in \mathbb{Z}$.
Luyện tập 7 (trang 30)
Đề bài: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2};; 2\pi\right]$ để hàm số $y = \cot x$ nhận giá trị dương.
Lời giải:
Hàm số $y = \cot x$ nhận giá trị dương tương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.
Trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2};; 2\pi\right]$, dựa vào đồ thị Hình 1.17 và tính chu kì $T = \pi$ của $\cot x$:
- Trên $\left(0;; \dfrac{\pi}{2}\right)$: $\cot x > 0$.
- Trên $\left(\pi;; \dfrac{3\pi}{2}\right)$: $\cot x > 0$.
Vậy: $y = \cot x > 0$ khi $x \in \left(0;; \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi;; \dfrac{3\pi}{2}\right)$.
Bài tập (trang 30)
Bài 1.14 (trang 30)
Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \dfrac{1 – \cos x}{\sin x}$;
b) $y = \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2 – \cos x}}$.
Lời giải:
a) Biểu thức $\dfrac{1 – \cos x}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x \neq 0$, tức $x \neq k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.
b) Biểu thức $\sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2 – \cos x}}$ có nghĩa khi đồng thời:
- $2 – \cos x \neq 0$;
- $\dfrac{1 + \cos x}{2 – \cos x} \geq 0$.
Xét mẫu $2 – \cos x$: Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$ nên $2 – \cos x \geq 2 – 1 = 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy mẫu luôn dương.
Xét tử $1 + \cos x$: Vì $\cos x \geq -1$ nên $1 + \cos x \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do mẫu luôn dương và tử luôn không âm nên $\dfrac{1 + \cos x}{2 – \cos x} \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Bài 1.15 (trang 30)
Đề bài: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) $y = \sin 2x + \tan 2x$;
b) $y = \cos x + \sin^2 x$;
c) $y = \sin x\cos 2x$;
d) $y = \sin x + \cos x$.
Lời giải:
a) $f(x) = \sin 2x + \tan 2x$:
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ (đối xứng qua $0$).
$$f(-x) = \sin(-2x) + \tan(-2x) = -\sin 2x – \tan 2x = -(\sin 2x + \tan 2x) = -f(x).$$
→ Hàm số lẻ.
b) $f(x) = \cos x + \sin^2 x$:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
$$f(-x) = \cos(-x) + \sin^2(-x) = \cos x + (-\sin x)^2 = \cos x + \sin^2 x = f(x).$$
→ Hàm số chẵn.
c) $f(x) = \sin x\cos 2x$:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
$$f(-x) = \sin(-x)\cos(-2x) = -\sin x \cdot \cos 2x = -f(x).$$
→ Hàm số lẻ.
d) $f(x) = \sin x + \cos x$:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Xét $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$:
- $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
- $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$.
So sánh: $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \neq f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (không chẵn) và $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \neq -f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (không lẻ).
→ Hàm số không chẵn, không lẻ.
Bài 1.16 (trang 30)
Đề bài: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = 2\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1$;
b) $y = \sqrt{1 + \cos x} – 2$.
Lời giải:
a) Vì $-1 \leq \sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$, nhân với $2$:
$$-2 \leq 2\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 2.$$
Trừ $1$:
$$-3 \leq 2\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \leq 1.$$
Tập giá trị: $[-3;,1]$.
b) Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$, cộng $1$:
$$0 \leq 1 + \cos x \leq 2.$$
Lấy căn bậc hai (do biểu thức không âm):
$$0 \leq \sqrt{1 + \cos x} \leq \sqrt{2}.$$
Trừ $2$:
$$-2 \leq \sqrt{1 + \cos x} – 2 \leq \sqrt{2} – 2.$$
Tập giá trị: $\left[-2;; \sqrt{2} – 2\right]$.
Bài 1.17 (trang 30)
Đề bài: Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x = 0$.
Lời giải:
Đồ thị hàm số $y = \tan x$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là các giá trị $x$ thoả $\tan x = 0$.
Từ đồ thị Hình 1.16: đường cong cắt trục $Ox$ tại các điểm $x = 0,; \pm\pi,; \pm 2\pi,; \ldots$
Vậy $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
(Lưu ý: vì $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ nên $\tan x = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0$, tức $x = k\pi$.)
Bài 1.18 (trang 30)
Đề bài: Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h(t) = 90\cos\dfrac{\pi t}{10}$, trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Lời giải:
a) Hàm số $h(t) = 90\cos\dfrac{\pi t}{10}$ có dạng $h(t) = A\cos(\omega t)$ với $\omega = \dfrac{\pi}{10}$. Chu kì:
$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\pi/10} = 20 \text{ (giây)}.$$
Vậy chu kì của sóng là $T = 20$ giây.
b) Vì $-1 \leq \cos\dfrac{\pi t}{10} \leq 1$ với mọi $t$, nhân với $90$:
$$-90 \leq h(t) \leq 90 \text{ (cm)}.$$
- Đỉnh của sóng tương ứng giá trị lớn nhất: $h_{\max} = 90$ cm.
- Đáy của sóng tương ứng giá trị nhỏ nhất: $h_{\min} = -90$ cm.
Chiều cao của sóng:
$$h_{\max} – h_{\min} = 90 – (-90) = 180 \text{ (cm)}.$$
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh