Mở đầu trang 31

Đề bài: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn $v_0$ không đổi. Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Lời giải:

(Bài toán này sẽ được giải đầy đủ ở Ví dụ 4 trong SGK trang 34.) Tóm tắt ý chính:

Quỹ đạo của quả đạn là parabol; cho $y = 0$ để tìm vị trí chạm đất, ta được tầm xa:

$$x = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.$$

Vì $\sin 2\alpha \leq 1$ nên $x$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin 2\alpha = 1$, tức $2\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Kết hợp điều kiện $0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$:

$$\alpha = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ.$$

Vậy quả đạn pháo bay xa nhất khi góc bắn $\alpha = 45^\circ$.

1. Khái niệm phương trình tương đương

HĐ1 (trang 31)

Đề bài: Cho hai phương trình $2x – 4 = 0$ và $(x – 2)(x^2 + 1) = 0$. Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.

Lời giải:

Phương trình $2x – 4 = 0$: $\Leftrightarrow x = 2$. Tập nghiệm: $S_1 = {2}$.

Phương trình $(x – 2)(x^2 + 1) = 0$: Vì $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$ nên $(x – 2)(x^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Tập nghiệm: $S_2 = {2}$.

Nhận xét: $S_1 = S_2$, hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Luyện tập 1 (trang 32)

Đề bài: Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

$$\dfrac{x – 1}{x + 1} = 0 \quad \text{và} \quad x^2 – 1 = 0.$$

Lời giải:

Phương trình $\dfrac{x – 1}{x + 1} = 0$: Điều kiện $x \neq -1$. Khi đó $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (thoả điều kiện). Tập nghiệm: $S_1 = {1}$.

Phương trình $x^2 – 1 = 0$: $\Leftrightarrow x = \pm 1$. Tập nghiệm: $S_2 = {-1;; 1}$.

Vì $S_1 \neq S_2$ nên hai phương trình không tương đương.

2. Phương trình sin x = m

HĐ2 (trang 32)

Đề bài: Cho phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ (Hình 1.19).

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $[0;,2\pi)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Trên $[0;,2\pi)$, từ Hình 1.19, hai điểm $M$ và $M’$ trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng $\dfrac{1}{2}$ ứng với hai góc:

$$x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \pi – \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}.$$

b) Vì hàm số $\sin$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$ nên tất cả nghiệm của phương trình là:

$$x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Luyện tập 2 (trang 34)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$;

b) $\sin 3x = -\sin 5x$.

Lời giải:

a) Ta có $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}$, nên:

$$\sin x = \sin\dfrac{\pi}{4} \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x = \pi – \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) Sử dụng $-\sin 5x = \sin(-5x)$:

$$\sin 3x = \sin(-5x) \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 3x = -5x + k2\pi \\ 3x = \pi – (-5x) + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 8x = k2\pi \\ -2x = \pi + k2\pi \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{k\pi}{4} \\ x = -\dfrac{\pi}{2} – k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Họ nghiệm thứ hai có thể viết lại thành $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (đổi $k \to -k – 1$).

Vậy nghiệm phương trình là $x = \dfrac{k\pi}{4}$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

3. Phương trình cos x = m

HĐ3 (trang 34)

Đề bài: Cho phương trình $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.

a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $[-\pi;,\pi)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Trên $[-\pi;,\pi)$, hai điểm $M,; M’$ trên đường tròn lượng giác có hoành độ bằng $-\dfrac{1}{2}$ ứng với hai góc:

$$x = \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{và} \quad x = -\dfrac{2\pi}{3}.$$

b) Hàm số $\cos$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Công thức nghiệm:

$$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Luyện tập 3 (trang 35)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2\cos x = -\sqrt{2}$;

b) $\cos 3x – \sin 5x = 0$.

Lời giải:

a) Chia hai vế cho $2$:

$$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4} ;\Leftrightarrow; x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) Biến đổi $\sin 5x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 5x\right)$ (góc phụ nhau). Phương trình trở thành:

$$\cos 3x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 5x\right) \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2} – 5x + k2\pi \\ 3x = -\left(\dfrac{\pi}{2} – 5x\right) + k2\pi \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 8x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ -2x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4} \\ x = \dfrac{\pi}{4} – k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Có thể viết họ nghiệm thứ hai gọn lại: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ (đổi $k \to -k$).

Vậy nghiệm phương trình là $x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4}$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Vận dụng (trang 35 – 36)

Đề bài: Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Tỉ lệ $F$ của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức:

$$F = \dfrac{1}{2}(1 – \cos\alpha),$$

trong đó $\alpha$ $(0^\circ \leq \alpha \leq 360^\circ)$ là góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng. Xác định góc $\alpha$ tương ứng với các pha:

a) $F = 0$ (trăng mới); b) $F = 0{,}25$ (trăng lưỡi liềm); c) $F = 0{,}5$ (trăng bán nguyệt); d) $F = 1$ (trăng tròn).

Lời giải:

Từ $F = \dfrac{1}{2}(1 – \cos\alpha)$ suy ra $\cos\alpha = 1 – 2F$.

a) $F = 0$: $\cos\alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = k360^\circ$. Trong $[0^\circ;,360^\circ]$: $\alpha = 0^\circ$ hoặc $\alpha = 360^\circ$.

b) $F = 0{,}25$: $\cos\alpha = 0{,}5 \Leftrightarrow \alpha = \pm 60^\circ + k360^\circ$. Trong $[0^\circ;,360^\circ]$: $\alpha = 60^\circ$ hoặc $\alpha = 300^\circ$.

c) $F = 0{,}5$: $\cos\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = 90^\circ + k180^\circ$. Trong $[0^\circ;,360^\circ]$: $\alpha = 90^\circ$ hoặc $\alpha = 270^\circ$.

d) $F = 1$: $\cos\alpha = -1 \Leftrightarrow \alpha = 180^\circ + k360^\circ$. Trong $[0^\circ;,360^\circ]$: $\alpha = 180^\circ$.

4. Phương trình tan x = m

HĐ4 (trang 36)

Đề bài: Cho phương trình $\tan x = 1$.

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \tan x$ tại mấy điểm có hoành độ trong khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Trong khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};; \dfrac{\pi}{2}\right)$, đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị $y = \tan x$ tại đúng một điểm có hoành độ $x = \dfrac{\pi}{4}$ (vì $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$).

b) Hàm số $\tan$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. Công thức nghiệm:

$$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Luyện tập 4 (trang 36)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3}\tan 2x = -1$;

b) $\tan 3x + \tan 5x = 0$.

Lời giải:

a) Chia hai vế cho $\sqrt{3}$:

$$\tan 2x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) ;\Leftrightarrow; 2x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) Điều kiện: $\cos 3x \neq 0$ và $\cos 5x \neq 0$.

Phương trình: $\tan 5x = -\tan 3x = \tan(-3x)$:

$$5x = -3x + k\pi ;\Leftrightarrow; 8x = k\pi ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{k\pi}{8} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Đối chiếu điều kiện: Với $x = \dfrac{\pi}{2} + m\pi$ (tức $k = 4 + 8m$), ta có $\cos 3x = 0$ nên phải loại.

Vậy nghiệm phương trình là $x = \dfrac{k\pi}{8}$ $(k \in \mathbb{Z})$ với $x \neq \dfrac{\pi}{2} + m\pi$ $(m \in \mathbb{Z})$.

5. Phương trình cot x = m

HĐ5 (trang 37)

Đề bài: Cho phương trình $\cot x = -1$.

a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng $y = -1$ cắt đồ thị hàm số $y = \cot x$ tại mấy điểm có hoành độ trong khoảng $(0;,\pi)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Trong khoảng $(0;,\pi)$, đường thẳng $y = -1$ cắt đồ thị $y = \cot x$ tại đúng một điểm có hoành độ $x = \dfrac{3\pi}{4}$ (vì $\cot\dfrac{3\pi}{4} = -1$).

b) Hàm số $\cot$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. Công thức nghiệm:

$$x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Luyện tập 5 (trang 37)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\cot x = 1$;

b) $\sqrt{3}\cot x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $\cot x = 1 = \cot\dfrac{\pi}{4} ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) $\sqrt{3}\cot x + 1 = 0 ;\Leftrightarrow; \cot x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Tìm $\alpha \in (0;,\pi)$ thoả $\cot\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$: vì $\cot\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\cos(2\pi/3)}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, ta được $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$.

$$\cot x = \cot\dfrac{2\pi}{3} ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Luyện tập 6 (trang 38)

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc $\alpha$, biết:

a) $\cos\alpha = -0{,}75$;

b) $\tan\alpha = 2{,}46$;

c) $\cot\alpha = -6{,}18$.

Lời giải:

a) $\cos\alpha = -0{,}75$:

• Số đo độ: bấm SHIFT MODE 3 (chế độ độ), rồi SHIFT cos$^{-1}$($-0{,}75$) = , được $\alpha \approx 138{,}5904^\circ \approx 138^\circ35’25”$.
• Số đo rađian: SHIFT MODE 4 (chế độ rađian), SHIFT cos$^{-1}$($-0{,}75$) = , được $\alpha \approx 2{,}41886$.

b) $\tan\alpha = 2{,}46$:

• Số đo độ: $\alpha \approx 67{,}8781^\circ \approx 67^\circ52’41”$.
• Số đo rađian: $\alpha \approx 1{,}18470$.

c) $\cot\alpha = -6{,}18$: Vì $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$ nên $\tan\alpha = \dfrac{1}{-6{,}18} \approx -0{,}1618$.

• Số đo độ: $\alpha \approx -9{,}1915^\circ \approx -9^\circ11’29”$.
• Số đo rađian: $\alpha \approx -0{,}16042$.

Bài tập (trang 39)

Bài 1.19 (trang 39)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $2\cos x = -\sqrt{2}$;

c) $\sqrt{3}\tan\left(\dfrac{x}{2} + 15^\circ\right) = 1$;

d) $\cot(2x – 1) = \cot\dfrac{\pi}{5}$.

Lời giải:

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$:

$$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi – \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) $2\cos x = -\sqrt{2} ;\Leftrightarrow; \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$:

$$x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

c) $\sqrt{3}\tan\left(\dfrac{x}{2} + 15^\circ\right) = 1 ;\Leftrightarrow; \tan\left(\dfrac{x}{2} + 15^\circ\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$:

$$\dfrac{x}{2} + 15^\circ = 30^\circ + k180^\circ ;\Leftrightarrow; \dfrac{x}{2} = 15^\circ + k180^\circ ;\Leftrightarrow; x = 30^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

d) Áp dụng $\cot u = \cot v ;\Leftrightarrow; u = v + k\pi$:

$$2x – 1 = \dfrac{\pi}{5} + k\pi ;\Leftrightarrow; 2x = 1 + \dfrac{\pi}{5} + k\pi ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Bài 1.20 (trang 39)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x + \cos 4x = 0$;

b) $\cos 3x = -\cos 7x$.

Lời giải:

a) Biến đổi $\sin 2x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right)$, phương trình thành:

$$\cos 4x = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right) = \cos\left[\pi – \left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right)\right] = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right).$$

Áp dụng $\cos u = \cos v ;\Leftrightarrow; u = \pm v + k2\pi$:

$$\left[\begin{array}{l} 4x = \dfrac{\pi}{2} + 2x + k2\pi \\ 4x = -\left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 6x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) $\cos 3x = -\cos 7x = \cos(\pi – 7x)$:

$$\left[\begin{array}{l} 3x = \pi – 7x + k2\pi \\ 3x = -(\pi – 7x) + k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 10x = \pi + k2\pi \\ -4x = -\pi + k2\pi \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5} \\ x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

(Họ nghiệm thứ hai đã đổi dấu $k$ cho gọn.)

Bài 1.21 (trang 39)

Đề bài: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0 = 500$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Trong Vật lí, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình:

$$y = \dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha,$$

ở đó $g = 9{,}8$ m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

b) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo $22,000$ m.

Lời giải:

a) Quả đạn chạm đất khi $y = 0$:

$$x \cdot \left(\dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x + \tan\alpha\right) = 0 \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = 0 \text{ (vị trí bắn, loại)} \\ x = \dfrac{2v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g} \end{array}\right.$$

Biến đổi $2\cos^2\alpha\tan\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, ta được tầm xa:

$$L(\alpha) = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.$$

b) Thay $v_0 = 500$, $g = 9{,}8$ và $L = 22,000$:

$$\dfrac{500^2 \cdot \sin 2\alpha}{9{,}8} = 22,000 ;\Leftrightarrow; \sin 2\alpha = \dfrac{22,000 \cdot 9{,}8}{250,000} = 0{,}8624.$$

Gọi $\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2};;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là góc thoả $\sin\beta = 0{,}8624$ (dùng MTCT: $\beta \approx 59{,}5871^\circ$). Khi đó:

$$\sin 2\alpha = \sin\beta \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} 2\alpha = \beta + k360^\circ \\ 2\alpha = 180^\circ – \beta + k360^\circ \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} \alpha \approx 29{,}7936^\circ + k180^\circ \\ \alpha \approx 60{,}2064^\circ + k180^\circ \end{array}\right.$$

Vì $\alpha$ là góc bắn, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên hai giá trị thoả mãn:

$$\alpha \approx 29^\circ47’37” \quad \text{hoặc} \quad \alpha \approx 60^\circ12’23”.$$

Bài 1.22 (trang 39)

Đề bài: Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình:

$$x = 2\cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right).$$

Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần.

Lời giải:

Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$:

$$2\cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 ;\Leftrightarrow; \cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 ;\Leftrightarrow; 5t – \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi.$$

Giải tìm $t$:

$$5t = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} + k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi ;\Leftrightarrow; t = \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Tìm $k$ sao cho $0 \leq t \leq 6$:

$$0 \leq \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \leq 6.$$

• Cận dưới: $\dfrac{k\pi}{5} \geq -\dfrac{2\pi}{15} ;\Leftrightarrow; k \geq -\dfrac{2}{3}$. Vì $k$ nguyên nên $k \geq 0$.
• Cận trên: $\dfrac{k\pi}{5} \leq 6 – \dfrac{2\pi}{15} ;\Leftrightarrow; k \leq \dfrac{5}{\pi}\left(6 – \dfrac{2\pi}{15}\right) = \dfrac{30}{\pi} – \dfrac{2}{3} \approx 9{,}549 – 0{,}667 \approx 8{,}882$. Vì $k$ nguyên nên $k \leq 8$.

Vậy $k \in {0;,1;,2;,3;,4;,5;,6;,7;,8}$, tức có $9$ giá trị của $k$.

Vậy trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giây, vật đi qua vị trí cân bằng $9$ lần.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh