Mở đầu trang 88

Đề bài: Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn như rau, củ, thịt, cá,… thành các miếng đều nhau và đẹp mắt. Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều đó?

Lời giải:

Để các miếng thức ăn đều nhau và đẹp mắt, các nhát cắt cần song song với nhau. Tức là các mặt cắt (mặt phẳng) tạo bởi các nhát cắt là các mặt phẳng song song, và khoảng cách giữa các mặt cắt bằng nhau.

1. Hai mặt phẳng song song

HĐ1 (trang 88)

Đề bài: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.

Lời giải:

Một số ví dụ trong thực tế gợi nên hình ảnh các mặt phẳng không có điểm chung:

• Các sàn nhà ở các tầng khác nhau trong một toà nhà.
• Các trang giấy trong một cuốn sách dày.
• Các tấm ván trong một giá sách.
• Các mặt phẳng của các tầng trong bánh kem nhiều tầng.
• Các mặt ruộng bậc thang.

Câu hỏi (trang 88): Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

Lời giải:

Có. Để các miếng thức ăn đều nhau, các nhát cắt phải song song với nhau, do đó các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

HĐ2 (trang 89)

Đề bài: Cho mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a,; b$ và $a,; b$ cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ (H.4.41).

Nếu $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$ thì hai đường thẳng $a$ và $c$ có song song với nhau hay không, hai đường thẳng $b$ và $c$ có song song với nhau hay không? Hãy rút ra kết luận.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$. Xét:

• $a \parallel (\beta),; a \subset (\alpha),; (\alpha) \cap (\beta) = c$. Theo tính chất ở Bài 12 (HĐ3): $a \parallel c$.
• Tương tự, $b \parallel (\beta),; b \subset (\alpha)$, nên $b \parallel c$.

Mâu thuẫn:

Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$ (vì $a,; b$ cắt nhau). Khi đó qua $M$ có hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng song song với $c$ — điều này mâu thuẫn với tính chất “qua một điểm không thuộc đường thẳng cho trước, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó”.

Kết luận: Giả thiết $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau là sai. Vậy $(\alpha)$ và $(\beta)$ không có điểm chung, tức là $(\alpha) \parallel (\beta)$.

(Đây là điều kiện để hai mặt phẳng song song: nếu $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(\beta)$ thì $(\alpha) \parallel (\beta)$.)

Câu hỏi (trang 89): Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên còn đúng không?

Lời giải:

Không. Nếu hai đường thẳng $a,; b$ trong $(\alpha)$ chỉ song song với nhau (không cắt nhau) và đều song song với $(\beta)$, thì $(\alpha)$ có thể cắt $(\beta)$ chứ không nhất thiết song song.

Ví dụ: trong $(\alpha)$ vẽ hai đường thẳng $a,; b$ song song nhau, đều song song với giao tuyến $c = (\alpha) \cap (\beta)$. Khi đó $a,; b$ vẫn song song với $(\beta)$ nhưng $(\alpha)$ cắt $(\beta)$ chứ không song song.

Luyện tập 1 (trang 89)

Đề bài: Trong không gian, cho bốn điểm $A,; B,; C,; D$ không đồng phẳng. Qua điểm $A$ vẽ hai đường thẳng $m,; n$ lần lượt song song với hai đường thẳng $BC,; BD$. Chứng minh rằng $\text{mp}(m,n)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $m \parallel (BCD)$.

• $m \parallel BC$ (giả thiết).
• $BC \subset (BCD)$.
• $m$ không nằm trong $(BCD)$ (vì $m$ đi qua $A$, mà $A \notin (BCD)$ do bốn điểm không đồng phẳng).

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng (Bài 12): $m \parallel (BCD)$.

Bước 2: Chứng minh $n \parallel (BCD)$.

Tương tự: $n \parallel BD,; BD \subset (BCD),; n$ không nằm trong $(BCD)$ → $n \parallel (BCD)$.

Bước 3: Áp dụng điều kiện hai mặt phẳng song song.

• $\text{mp}(m,n)$ chứa hai đường thẳng $m,; n$ cắt nhau tại $A$.
• Cả $m$ và $n$ đều song song với $(BCD)$.

Vậy theo điều kiện hai mặt phẳng song song: $\text{mp}(m,n) \parallel (BCD)$ (đpcm).

Vận dụng 1 (trang 89)

Đề bài: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Hai khung sắt hình chữ nhật của chân bàn xoay quanh một trục thẳng đứng. Phân tích:

• Mỗi khung sắt là hình chữ nhật, có hai cạnh dài đối diện song song và bằng nhau.
• Cạnh dài dưới của hai khung sắt đều nằm trên mặt đất (đỡ chân bàn tiếp xúc với sàn).
• Cạnh dài trên của mỗi khung sắt song song với cạnh dài dưới tương ứng (do là hai cạnh đối của hình chữ nhật), nên cũng song song với mặt đất.

Mặt bàn được đặt lên trên hai cạnh dài trên của hai khung sắt. Vì hai khung sắt giao nhau (qua trục xoay), nên hai cạnh dài trên này cắt nhau trong mặt bàn. Đồng thời cả hai cạnh dài trên đều song song với mặt đất.

Theo điều kiện hai mặt phẳng song song: mặt bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt đất, do đó mặt bàn song song với mặt đất.

HĐ3 (trang 89)

Đề bài: Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Lời giải:

Có, mặt bìa trùng với mặt bàn.

Giải thích:

• Mặt bàn nằm ngang nên song song với mặt đất.
• Mặt bìa cũng song song với mặt đất (theo giả thiết).
• Hai mặt phẳng (mặt bìa và mặt bàn) đều đi qua điểm chung là góc đặt tấm bìa và cùng song song với mặt đất.

Theo tính chất: “Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho”. Vì có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm góc bàn và song song với mặt đất, hai mặt phẳng trên phải trùng nhau.

Câu hỏi (trang 89): Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Lời giải:

Có. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Giải thích: Gọi $(P),; (Q)$ phân biệt và đều song song với $(R)$. Giả sử $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo đường thẳng $d$. Lấy $M$ là điểm bất kì trên $d$. Khi đó qua $M$ có hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ cùng song song với $(R)$, mâu thuẫn với tính chất “qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song”.

Vậy $(P)$ và $(Q)$ không có điểm chung, tức là $(P) \parallel (Q)$.

Luyện tập 2 (trang 90)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M,; N,; P,; Q$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA,; SB,; SC,; SD$ sao cho $\dfrac{MA}{MS} = \dfrac{NB}{NS} = \dfrac{PC}{PS} = \dfrac{QD}{QS} = \dfrac{1}{2}$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,; N,; P,; Q$ đồng phẳng.

Lời giải:

Bước 1: Tính tỉ số $\dfrac{SM}{SA}$.

Từ $\dfrac{MA}{MS} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $MA = \dfrac{MS}{2}$. Vậy:

$$SA = SM + MA = SM + \dfrac{SM}{2} = \dfrac{3SM}{2} ;\Rightarrow; \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{2}{3}.$$

Tương tự $\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{SQ}{SD} = \dfrac{2}{3}$.

Bước 2: Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$.

• Trong tam giác $SAB$: $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{2}{3}$. Theo định lí Thalès đảo: $MN \parallel AB$.
• $AB \subset (ABCD)$ và $MN$ không nằm trong $(ABCD)$ (vì $M \in SA$ và $M \neq A$, nên $M \notin (ABCD)$). Vậy $MN \parallel (ABCD)$.
• Tương tự, trong tam giác $SBC$: $NP \parallel BC$ → $NP \parallel (ABCD)$.
• $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$, cùng nằm trong $(MNP)$ và cùng song song với $(ABCD)$.

Theo điều kiện hai mặt phẳng song song: $(MNP) \parallel (ABCD)$.

Bước 3: Chứng minh $(NPQ) \parallel (ABCD)$.

Tương tự, trong tam giác $SCD$: $PQ \parallel CD$, và trong tam giác $SDA$: $QM \parallel DA$.

$NP \parallel BC$ và $PQ \parallel CD$ cắt nhau tại $P$, cùng nằm trong $(NPQ)$ và cùng song song $(ABCD)$ → $(NPQ) \parallel (ABCD)$.

Bước 4: Kết luận.

Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng đi qua $N$ và $P$, đồng thời cùng song song với $(ABCD)$. Theo tính chất “qua một điểm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song”, hai mặt phẳng này trùng nhau.

Suy ra $Q \in (MNP)$, tức là bốn điểm $M,; N,; P,; Q$ đồng phẳng (đpcm).

HĐ4 (trang 90)

Đề bài: Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$. Giả sử mặt phẳng $(R)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến $a$ (H.4.46).

a) Giải thích vì sao mặt phẳng $(R)$ cắt mặt phẳng $(Q)$.

b) Gọi $b$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(R)$ và $(Q)$. Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Lời giải:

a) Mặt phẳng $(R)$ cắt mặt phẳng $(Q)$:

Giả sử $(R)$ không cắt $(Q)$, tức là $(R) \parallel (Q)$ hoặc $(R) \equiv (Q)$.

• Nếu $(R) \parallel (Q)$: ta có $(R) \parallel (Q)$ và $(P) \parallel (Q)$. Theo tính chất hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau, nên $(R) \parallel (P)$ (vì $(R) \neq (P)$ do $(R)$ cắt $(P)$). Mâu thuẫn với giả thiết $(R)$ cắt $(P)$.
• Nếu $(R) \equiv (Q)$: thì $a = (P) \cap (R) = (P) \cap (Q) = \emptyset$ (do $(P) \parallel (Q)$). Mâu thuẫn vì $a$ là đường thẳng.

Vậy $(R)$ phải cắt $(Q)$.

b) $a$ và $b$ không chéo nhau, không cắt nhau:

• $a \subset (R),; b \subset (R)$ → $a$ và $b$ đồng phẳng (cùng nằm trong $(R)$) → không chéo nhau.
• $a \subset (P),; b \subset (Q)$. Vì $(P) \parallel (Q)$ nên $(P)$ và $(Q)$ không có điểm chung. Do đó $a$ và $b$ không có điểm chung → không cắt nhau.

Kết luận: $a$ và $b$ đồng phẳng, không cắt nhau, và phân biệt (vì $a \subset (P),; b \subset (Q)$ phân biệt) → $a \parallel b$.

Luyện tập 3 (trang 91)

Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng $(EMQ)$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải:

Trong Ví dụ 3: $M,; N,; P,; Q$ là trung điểm $SA,; SB,; SC,; SD$; $E \in AB,; F \in CD$. Đã chứng minh $(MNPQ) \parallel (ABCD)$.

Bước 1: Tìm một điểm chung của $(EMQ)$ và $(ABCD)$.

$E \in AB \subset (ABCD)$ → $E \in (ABCD)$. Đồng thời $E \in (EMQ)$. Vậy $E$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Bước 2: Xác định phương của giao tuyến.

• Trong tam giác $SAD$: $M$ trung điểm $SA$, $Q$ trung điểm $SD$ → $MQ$ là đường trung bình → $MQ \parallel AD$ và $MQ = \dfrac{1}{2}AD$.
• $MQ \subset (EMQ)$ và $AD \subset (ABCD)$, $MQ \parallel AD$.

Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song (Chú ý ở Bài 11): giao tuyến của $(EMQ)$ và $(ABCD)$ song song với $MQ$ và $AD$.

Kết luận: Giao tuyến của $(EMQ)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AD$.

3. Định lí Thalès trong không gian

HĐ5 (trang 91)

Đề bài: Cho ba mặt phẳng $(P),; (Q),; (R)$ đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt $d$ và $d’$ cắt ba mặt phẳng lần lượt tại $A,; B,; C$ và $A’,; B’,; C’$ ($C$ khác $C’$). Gọi $D$ là giao điểm của $AC’$ và $(Q)$ (H.4.48).

a) Các cặp đường thẳng $BD$ và $CC’$, $B’D$ và $AA’$ có song song với nhau không?

b) Các tỉ số $\dfrac{AB}{BC},; \dfrac{AD}{DC’}$ và $\dfrac{A’B’}{B’C’}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

a) Chứng minh $BD \parallel CC’$ và $B’D \parallel AA’$:

Xét mặt phẳng $\text{mp}(d, AC’)$ chứa cả $d$ và đường thẳng $AC’$:

• Mặt phẳng này cắt $(Q)$ theo đường thẳng qua $B$ (vì $B \in d$ và $B \in (Q)$) và $D$ (vì $D \in AC’$ và $D \in (Q)$). Vậy giao tuyến với $(Q)$ là $BD$.
• Cắt $(R)$ theo đường thẳng qua $C$ (vì $C \in d \cap (R)$) và $C’$ (vì $C’ \in AC’ \cap (R)$). Vậy giao tuyến với $(R)$ là $CC’$.

Vì $(Q) \parallel (R)$, theo HĐ4, hai giao tuyến của $\text{mp}(d, AC’)$ với $(Q)$ và $(R)$ song song. Vậy $BD \parallel CC’$.

Tương tự, xét $\text{mp}(d’, AC’)$ chứa $d’$ và $AC’$:

• Cắt $(P)$ theo đường thẳng qua $A’$ và $A$ → giao tuyến là $AA’$.
• Cắt $(Q)$ theo đường thẳng qua $B’$ và $D$ → giao tuyến là $B’D$.

Vì $(P) \parallel (Q)$ → $B’D \parallel AA’$.

b) So sánh các tỉ số:

Trong $\text{mp}(d, AC’)$: $BD \parallel CC’$, với $B,; D$ nằm trong tam giác $ACC’$ ($B \in AC,; D \in AC’$). Theo định lí Thalès trong tam giác:

$$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AC’} ;\Rightarrow; \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC’}.$$

Trong $\text{mp}(d’, AC’)$: $B’D \parallel AA’$. Trong tam giác $A’AC’$ với $B’$ trên $A’C’$ và $D$ trên $AC’$:

$$\dfrac{A’B’}{B’C’} = \dfrac{AD}{DC’}.$$

Kết luận: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC’} = \dfrac{A’B’}{B’C’}$.

Luyện tập 4 (trang 91)

Đề bài: Trong HĐ5, cho $AB = 2$ cm, $BC = 4$ cm và $A’B’ = 3$ cm. Tính độ dài đoạn thẳng $B’C’$.

Lời giải:

Áp dụng định lí Thalès trong không gian:

$$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’}.$$

Thay số:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{B’C’} ;\Rightarrow; B’C’ = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ (cm)}.$$

Vậy $B’C’ = 6$ cm.

4. Hình lăng trụ và hình hộp

HĐ6 (trang 91)

Đề bài: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?

Lời giải:

Các hình ảnh (thanh kẹo Toblerone, cục gôm, đồng hồ điện tử hình lăng trụ, bó bút sáp màu) đều có đặc điểm chung với hình lăng trụ đứng tam giác:

• Có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.
• Có các mặt bên là các hình bình hành.
• Các cạnh bên đôi một song song và bằng nhau.

Câu hỏi (trang 92): Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Xét lăng trụ $A_1A_2\ldots A_n.A_1’A_2’\ldots A_n’$ với $(A_1A_2\ldots A_n) \subset (\alpha)$ và $(A_1’A_2’\ldots A_n’) \subset (\alpha’)$, $(\alpha) \parallel (\alpha’)$.

Xét mặt bên $A_iA_{i+1}A_{i+1}’A_i’$:

• Cạnh đáy $A_iA_{i+1} \subset (\alpha)$, cạnh đáy $A_i’A_{i+1}’ \subset (\alpha’)$.
• Mặt phẳng chứa $A_iA_{i+1}A_{i+1}’A_i’$ cắt $(\alpha)$ theo $A_iA_{i+1}$ và cắt $(\alpha’)$ theo $A_i’A_{i+1}’$.
• Vì $(\alpha) \parallel (\alpha’)$, theo HĐ4, hai giao tuyến này song song: $A_iA_{i+1} \parallel A_i’A_{i+1}’$.
• Theo định nghĩa lăng trụ, các cạnh bên $A_iA_i’$ song song với nhau.

Tứ giác $A_iA_{i+1}A_{i+1}’A_i’$ có hai cạnh đối $A_iA_{i+1}$ và $A_i’A_{i+1}’$ song song; hai cạnh kia $A_iA_i’$ và $A_{i+1}A_{i+1}’$ song song → là hình bình hành.

Trong hình bình hành, hai cạnh đối bằng nhau, nên $A_iA_i’ = A_{i+1}A_{i+1}’$. Áp dụng cho mọi $i$, các cạnh bên $A_1A_1′ = A_2A_2′ = \ldots = A_nA_n’$ và đôi một song song.

Luyện tập 5 (trang 92)

Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M$ và $M’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B’C’$. Chứng minh rằng $AMC.A’M’C’$ là hình lăng trụ.

Lời giải:

Bước 1: Hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song.

• Tam giác $AMC \subset (ABC)$ và tam giác $A’M’C’ \subset (A’B’C’)$.
• $(ABC) \parallel (A’B’C’)$ (vì là hai đáy của lăng trụ $ABC.A’B’C’$).

Bước 2: Các cạnh bên $AA’,; MM’,; CC’$ đôi một song song và bằng nhau.

• $AA’ \parallel CC’$ và $AA’ = CC’$ (cạnh bên của lăng trụ $ABC.A’B’C’$).
• Xét mặt bên $BCC’B’$ của lăng trụ $ABC.A’B’C’$: đây là hình bình hành. $M$ là trung điểm $BC$, $M’$ là trung điểm $B’C’$, nên $MM’ \parallel BB’$ và $MM’ = BB’$ (đường nối trung điểm hai cạnh đối của hình bình hành).
• Mà $BB’ \parallel AA’$ và $BB’ = AA’$ (cạnh bên lăng trụ).

Suy ra $AA’ \parallel MM’ \parallel CC’$ và $AA’ = MM’ = CC’$.

Bước 3: Kết luận.

$AMC.A’M’C’$ có hai đáy là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng song song và ba cạnh bên đôi một song song, bằng nhau. Theo định nghĩa, $AMC.A’M’C’$ là hình lăng trụ tam giác (đpcm).

HĐ7 (trang 92): Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Lời giải:

Hình cục gôm trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành (hình hộp chữ nhật là một hình hộp đặc biệt, có đáy là hình chữ nhật — một dạng hình bình hành).

Luyện tập 6 (trang 93)

Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(ADD’A’)$ và $(BCC’B’)$ song song với nhau.

Lời giải:

Bước 1: $AD \parallel (BCC’B’)$.

• $ABCD$ là hình bình hành (đáy hình hộp) → $AD \parallel BC$.
• $BC \subset (BCC’B’)$.
• $AD$ không nằm trong $(BCC’B’)$ (vì $A,; D$ không thuộc $(BCC’B’)$).

→ $AD \parallel (BCC’B’)$.

Bước 2: $AA’ \parallel (BCC’B’)$.

• $ABB’A’$ là hình bình hành (mặt bên hình hộp) → $AA’ \parallel BB’$.
• $BB’ \subset (BCC’B’)$.
• $AA’$ không nằm trong $(BCC’B’)$.

→ $AA’ \parallel (BCC’B’)$.

Bước 3: Áp dụng điều kiện hai mặt phẳng song song.

• $(ADD’A’)$ chứa hai đường thẳng $AD$ và $AA’$ cắt nhau tại $A$.
• Cả hai đường thẳng này đều song song với $(BCC’B’)$.

Vậy $(ADD’A’) \parallel (BCC’B’)$ (đpcm).

Vận dụng 2 (trang 93)

Đề bài: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của thanh gỗ vào nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao.

Lời giải:

Xét ba mặt phẳng:

• $(P)$: mặt phẳng nắp bể (trên cùng).
• $(Q)$: mặt nước (mặt phẳng nằm ngang chia bể).
• $(R)$: mặt đáy bể (dưới cùng).

Vì bể có dạng hình hộp và đặt thẳng đứng, ba mặt phẳng $(P),; (Q),; (R)$ đôi một song song.

Hai cát tuyến:

• Thanh gỗ: cắt $(P)$ tại đầu trên (gọi là $A$), cắt $(Q)$ tại điểm $B$ (đầu mực nước trên thanh gỗ), cắt $(R)$ tại đầu dưới (gọi là $C$). Thanh gỗ là đoạn $AC$, phần ngâm trong nước là đoạn $BC$.
• Cạnh đứng của bể (chiều cao bể): cắt $(P)$ tại điểm trên (gọi là $A’$), cắt $(Q)$ tại điểm trên mặt nước (gọi là $B’$), cắt $(R)$ tại điểm dưới (gọi là $C’$). Chiều cao bể là $A’C’$, mực nước là $B’C’$.

Áp dụng định lí Thalès trong không gian:

$$\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{B’C’}{A’C’}.$$

Vế trái là tỉ lệ phần thanh gỗ ngâm trong nước trên cả thanh gỗ. Vế phải là tỉ lệ mực nước trên chiều cao bể.

Vậy hai tỉ lệ này bằng nhau (đpcm).

Bài tập (trang 93 – 94)

Bài 4.21 (trang 93)

Đề bài: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P),; (Q),; (R)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $(P)$ chứa một đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.

b) Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.

c) Nếu $(P)$ và $(Q)$ song song với $(R)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.

d) Nếu $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ thì $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

Lời giải:

a) SAI. Một đường thẳng trong $(P)$ song song với $(Q)$ không đủ để $(P) \parallel (Q)$. Điều kiện đúng yêu cầu hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$.

b) SAI. Hai đường thẳng song song với $(Q)$ trong $(P)$ vẫn chưa đủ — hai đường này có thể song song với nhau. Khi đó $(P)$ vẫn có thể cắt $(Q)$. Cần điều kiện hai đường thẳng cắt nhau.

c) ĐÚNG. Theo tính chất ở trang 89: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” Vì $(P)$ và $(Q)$ phân biệt và đều song song với $(R)$, nên $(P) \parallel (Q)$.

d) SAI. $(P)$ và $(Q)$ cùng cắt $(R)$ không kéo theo $(P) \parallel (Q)$ — $(P)$ và $(Q)$ có thể cắt nhau.

Kết luận: Chỉ mệnh đề c) đúng.

Bài 4.22 (trang 94)

Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,; N,; P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA’,; BB’,; CC’$. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $MN \parallel AB$.

Xét tứ giác $ABB’A’$ — đây là một mặt bên của lăng trụ, nên là hình bình hành. $M$ là trung điểm $AA’$ và $N$ là trung điểm $BB’$.

Trong hình bình hành $ABB’A’$, đường nối trung điểm hai cạnh đối $AA’$ và $BB’$ song song với hai cạnh kia $AB$ và $A’B’$, và bằng độ dài hai cạnh đó. Vậy:

$$MN \parallel AB.$$

Bước 2: Chứng minh $NP \parallel BC$.

Tương tự, trong hình bình hành $BCC’B’$: $N$ trung điểm $BB’$, $P$ trung điểm $CC’$ → $NP \parallel BC$.

Bước 3: Kết luận.

• $MN \parallel AB \subset (ABC)$, $MN$ không nằm trong $(ABC)$ (vì $M$ không thuộc $(ABC)$) → $MN \parallel (ABC)$.
• $NP \parallel BC \subset (ABC)$, $NP$ không nằm trong $(ABC)$ → $NP \parallel (ABC)$.
• $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$, cùng nằm trong $(MNP)$ và cùng song song $(ABC)$.

Theo điều kiện hai mặt phẳng song song: $(MNP) \parallel (ABC)$ (đpcm).

Bài 4.23 (trang 94)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$. Qua các điểm $A,; D$ lần lượt vẽ các đường thẳng $m,; n$ song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Chứng minh rằng $\text{mp}(B, m)$ và $\text{mp}(C, n)$ song song với nhau.

Lời giải:

Bước 1: Xét $\text{mp}(B, m)$ chứa $B$ và đường thẳng $m$.

• $A \in m$ và $B$ là điểm — vậy mặt phẳng này chứa hai điểm $A,; B$, do đó chứa đường thẳng $AB$.
• Vậy $\text{mp}(B, m)$ chứa hai đường thẳng $m$ và $AB$ cắt nhau tại $A$.

Bước 2: Chứng minh $m \parallel \text{mp}(C, n)$.

• $m \parallel n$ (giả thiết).
• $n \subset \text{mp}(C, n)$.
• $m$ không nằm trong $\text{mp}(C, n)$. (Vì $A \in m$, mà nếu $A \in \text{mp}(C, n)$ thì $A$ đồng phẳng với $C,; D,; n$. Vì $C,; D \in (ABCD)$ và $A \in (ABCD)$ nên $A,; C,; D$ đồng phẳng trong $(ABCD)$; nếu $n$ cũng nằm trong $\text{mp}(A, C, D) = (ABCD)$ thì mâu thuẫn với giả thiết $n$ không nằm trong $(ABCD)$.)

→ $m \parallel \text{mp}(C, n)$.

Bước 3: Chứng minh $AB \parallel \text{mp}(C, n)$.

• $AB \parallel CD$ (hai đáy của hình thang $ABCD$).
• $CD \subset \text{mp}(C, n)$ (vì $C \in \text{mp}(C, n)$ và $D \in n \subset \text{mp}(C, n)$).
• $AB$ không nằm trong $\text{mp}(C, n)$ (vì $A$ không thuộc $\text{mp}(C, n)$ theo lập luận ở trên).

→ $AB \parallel \text{mp}(C, n)$.

Bước 4: Kết luận.

$\text{mp}(B, m)$ chứa hai đường thẳng $m$ và $AB$ cắt nhau, cả hai đều song song với $\text{mp}(C, n)$.

Theo điều kiện hai mặt phẳng song song: $\text{mp}(B, m) \parallel \text{mp}(C, n)$ (đpcm).

Bài 4.24 (trang 94)

Đề bài: Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1,; A_2$ sao cho $AA_1 = A_1A_2 = A_2S$. Gọi $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1,; A_2$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB,; SC$ lần lượt tại $B_1,; C_1$. Mặt phẳng $(Q)$ cắt các cạnh $SB,; SC$ lần lượt tại $B_2,; C_2$. Chứng minh $BB_1 = B_1B_2 = B_2S$ và $CC_1 = C_1C_2 = C_2S$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tỉ số trên cạnh $SA$.

Đặt $AA_1 = A_1A_2 = A_2S = a$. Khi đó $SA = 3a$.

• $SA_2 = a = \dfrac{1}{3}SA$.
• $SA_1 = SA_2 + A_2A_1 = 2a = \dfrac{2}{3}SA$.

Bước 2: Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng song song $(ABC),; (P),; (Q)$.

Ba mặt phẳng này đôi một song song, cắt cát tuyến $SA$ tại $A,; A_1,; A_2$ và cắt cát tuyến $SB$ tại $B,; B_1,; B_2$. Theo định lí Thalès:

$$\dfrac{SB_2}{SB} = \dfrac{SA_2}{SA} = \dfrac{1}{3} ;\Rightarrow; SB_2 = \dfrac{1}{3}SB.$$

$$\dfrac{SB_1}{SB} = \dfrac{SA_1}{SA} = \dfrac{2}{3} ;\Rightarrow; SB_1 = \dfrac{2}{3}SB.$$

Bước 3: Tính các đoạn trên $SB$.

• $B_2S = SB_2 = \dfrac{1}{3}SB$.
• $B_1B_2 = SB_1 – SB_2 = \dfrac{2}{3}SB – \dfrac{1}{3}SB = \dfrac{1}{3}SB$.
• $BB_1 = SB – SB_1 = SB – \dfrac{2}{3}SB = \dfrac{1}{3}SB$.

Vậy $BB_1 = B_1B_2 = B_2S = \dfrac{1}{3}SB$ (đpcm).

Bước 4: Tương tự cho cát tuyến $SC$.

Áp dụng định lí Thalès tương tự với cát tuyến $SC$ và $SA$, ta được $CC_1 = C_1C_2 = C_2S = \dfrac{1}{3}SC$ (đpcm).

Bài 4.25 (trang 94)

Đề bài: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A’B’C’D’$. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $A”,; B”,; C”,; D”$. Hỏi hình tạo bởi các điểm $A,; B,; C,; D,; A”,; B”,; C”,; D”$ là hình gì?

Lời giải:

Gọi $\text{mp}(A”B”C”D”)$ là mặt phẳng cắt các cạnh bên, song song với $(A’B’C’D’)$.

Bước 1: $(ABCD)$ song song với $(A”B”C”D”)$.

• $(ABCD) \parallel (A’B’C’D’)$ (hai đáy lăng trụ).
• $(A”B”C”D”) \parallel (A’B’C’D’)$ (giả thiết).
• Hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A”B”C”D”)$ phân biệt cùng song song với $(A’B’C’D’)$ → $(ABCD) \parallel (A”B”C”D”)$.

Bước 2: Bốn cạnh bên $AA”,; BB”,; CC”,; DD”$ đôi một song song và bằng nhau.

• $AA’,; BB’,; CC’,; DD’$ là các cạnh bên của lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ — đôi một song song và bằng nhau.
• $A”$ thuộc $AA’$, $B”$ thuộc $BB’$, … nên các đoạn $AA”,; BB”,; CC”,; DD”$ nằm trên các cạnh bên này, do đó đôi một song song.

Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng song song $(ABCD),; (A”B”C”D”),; (A’B’C’D’)$ với các cát tuyến $AA’,; BB’,; CC’,; DD’$:

$$\dfrac{AA”}{AA’} = \dfrac{BB”}{BB’} = \dfrac{CC”}{CC’} = \dfrac{DD”}{DD’}.$$

Vì $AA’ = BB’ = CC’ = DD’$ (cạnh bên lăng trụ), nên $AA” = BB” = CC” = DD”$.

Bước 3: Kết luận.

Hình tạo bởi $A,; B,; C,; D,; A”,; B”,; C”,; D”$ có:

• Hai đáy $ABCD$ và $A”B”C”D”$ nằm trong hai mặt phẳng song song.
• Bốn cạnh bên $AA”,; BB”,; CC”,; DD”$ đôi một song song và bằng nhau.

Vậy đây là hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A”B”C”D”$.

Bài 4.26 (trang 94)

Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $AGG’A’$ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng $AGC.A’G’C’$ là hình lăng trụ.

Lời giải:

a) Chứng minh $AGG’A’$ là hình bình hành.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $M’$ là trung điểm $B’C’$.

• $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ → $G$ thuộc trung tuyến $AM$, $AG = \dfrac{2}{3}AM$.
• $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ → $G’$ thuộc trung tuyến $A’M’$, $A’G’ = \dfrac{2}{3}A’M’$.

Bước 1: $AMM’A’$ là hình bình hành.

• Mặt phẳng $(ABC) \parallel (A’B’C’)$. Mặt phẳng $(AMM’A’)$ cắt $(ABC)$ theo $AM$ và cắt $(A’B’C’)$ theo $A’M’$. Theo HĐ4, $AM \parallel A’M’$.
• $AM = A’M’$ (vì hai đáy lăng trụ là hai tam giác bằng nhau).
• Mặt khác $AA’ \parallel MM’$ và $AA’ = MM’$ (đã chứng minh ở Luyện tập 5: $MM’ \parallel BB’ \parallel AA’$ và bằng nhau).

→ $AMM’A’$ là hình bình hành.

Bước 2: $AGG’A’$ là hình bình hành.

• $G$ trên $AM$ với $AG = \dfrac{2}{3}AM$. $G’$ trên $A’M’$ với $A’G’ = \dfrac{2}{3}A’M’ = \dfrac{2}{3}AM = AG$.
• $AG$ nằm trên $AM$, $A’G’$ nằm trên $A’M’$, mà $AM \parallel A’M’$ → $AG \parallel A’G’$.

Tứ giác $AGG’A’$ có $AG \parallel A’G’$ và $AG = A’G’$ → $AGG’A’$ là hình bình hành (đpcm).

b) Chứng minh $AGC.A’G’C’$ là hình lăng trụ.

• Hai đáy: tam giác $AGC \subset (ABC)$ và tam giác $A’G’C’ \subset (A’B’C’)$, hai mặt phẳng đáy song song.
• Ba cạnh bên: $AA’,; GG’,; CC’$.
  • $AA’ \parallel CC’$ và $AA’ = CC’$ (cạnh bên lăng trụ $ABC.A’B’C’$).
  • Từ câu a), $GG’ \parallel AA’$ và $GG’ = AA’$ (hai cạnh đối của hình bình hành $AGG’A’$).

Vậy $AA’ \parallel GG’ \parallel CC’$ và $AA’ = GG’ = CC’$.

Hai đáy song song và ba cạnh bên đôi một song song, bằng nhau. Theo định nghĩa, $AGC.A’G’C’$ là hình lăng trụ tam giác (đpcm).

Bài 4.27 (trang 94)

Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Một mặt phẳng song song với mặt bên $(ABB’A’)$ của hình hộp và cắt các cạnh $AD,; BC,; A’D’,; B’C’$ lần lượt tại $M,; N,; M’,; N’$ (H.4.54). Chứng minh rằng $ABNM.A’B’N’M’$ là hình hộp.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh hai đáy $ABNM$ và $A’B’N’M’$ là hình bình hành.

Xét đáy $ABNM$ (nằm trong $(ABCD)$):

• $(ABCD)$ cắt $(ABB’A’)$ theo $AB$ và cắt $(MNN’M’)$ theo $MN$. Vì $(ABB’A’) \parallel (MNN’M’)$, theo HĐ4: $AB \parallel MN$.
• $AD \parallel BC$ (cạnh đối của hình bình hành $ABCD$). $M$ trên $AD$, $N$ trên $BC$, nên $AM$ trên $AD$ và $BN$ trên $BC$. Vậy $AM \parallel BN$.

Tứ giác $ABNM$ có $AB \parallel MN$ và $AM \parallel BN$ → $ABNM$ là hình bình hành.

Tương tự, $A’B’N’M’$ là hình bình hành.

Bước 2: Hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song.

$ABNM \subset (ABCD)$, $A’B’N’M’ \subset (A’B’C’D’)$, $(ABCD) \parallel (A’B’C’D’)$.

Bước 3: Bốn cạnh bên đôi một song song và bằng nhau.

• $AA’ \parallel BB’$ và $AA’ = BB’$ (cạnh bên hình hộp gốc).
• Xét $(ADD’A’)$: chứa $A,; A’,; M,; M’$. Mặt phẳng này cắt $(ABB’A’)$ theo $AA’$ và cắt $(MNN’M’)$ theo $MM’$. Vì $(ABB’A’) \parallel (MNN’M’)$, theo HĐ4: $AA’ \parallel MM’$ và $AA’ = MM’$ (do $AMM’A’$ là hình bình hành trong $(ADD’A’)$).
• Tương tự, $BB’ \parallel NN’$ và $BB’ = NN’$.

Suy ra $AA’ \parallel BB’ \parallel NN’ \parallel MM’$ và đều bằng nhau.

Bước 4: Các mặt bên đều là hình bình hành.

Hai đáy là hình bình hành, các cạnh bên đôi một song song và bằng nhau, các mặt bên ($ABB’A’,; BNN’B’,; NMM’N’,; MAA’M’$) đều là hình bình hành.

Vậy $ABNM.A’B’N’M’$ là hình hộp (đpcm).

Bài 4.28 (trang 94)

Đề bài: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Phân tích:

• Mỗi bậc thang là một tấm phẳng, mặt phẳng chứa bậc thang là một mặt phẳng nằm ngang.
• Các bậc thang được lắp đặt với độ cao khác nhau nhưng đều song song với mặt đất, do đó các mặt phẳng chứa các bậc thang đôi một song song với nhau.
• Mặt tường (chứa các mép bậc thang gắn vào tường) là một mặt phẳng cố định.

Phần mép của mỗi bậc thang trên tường chính là giao tuyến của mặt phẳng bậc thang với mặt phẳng tường.

Áp dụng tính chất ở trang 90 (HĐ4): “Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.”

Vì các mặt phẳng bậc thang đôi một song song và mặt phẳng tường cắt từng mặt phẳng đó, nên các giao tuyến (mép bậc thang trên tường) đôi một song song với nhau.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh