Mở đầu trang 76

Đề bài: Tại vòng chung kết của một đại hội thể thao, vận động viên An thi đấu môn Bắn súng, vận động viên Bình thi đấu môn Bơi lội. Biết rằng xác suất giành huy chương của vận động viên An và vận động viên Bình tương ứng là $0{,}8$ và $0{,}9$. Hỏi xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là bao nhiêu?

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Ví dụ 1 (trang 77) trong SGK sau khi học sinh đã học công thức nhân xác suất.

Ý tưởng chính: Gọi $A$ là biến cố “An đạt huy chương”, $B$ là biến cố “Bình đạt huy chương”. Vì hai vận động viên thi đấu hai môn khác nhau, không ảnh hưởng đến nhau nên $A$ và $B$ độc lập. Áp dụng công thức nhân:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72.$$

Vậy xác suất cả hai cùng đạt huy chương là $0{,}72 = 72\%$.

1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

HĐ1 (trang 76)

Đề bài: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có $6$ quả màu trắng và $4$ quả màu đen. Hộp II có $1$ quả màu trắng và $7$ quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

• $A$: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng”;
• $B$: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen”.

a) Tính $P(A)$, $P(B)$ và $P(AB)$.

b) So sánh $P(AB)$ và $P(A) \cdot P(B)$.

Lời giải:

a) Tính các xác suất.

Tính $P(A)$: Hộp I có $6 + 4 = 10$ quả, trong đó có $6$ quả trắng. Xác suất Long lấy được trắng:

$$P(A) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.$$

Tính $P(B)$: Hộp II có $1 + 7 = 8$ quả, trong đó có $7$ quả đen. Xác suất Hải lấy được đen:

$$P(B) = \dfrac{7}{8}.$$

Tính $P(AB)$: Đếm bằng quy tắc nhân (Long lấy một quả từ I, Hải lấy một quả từ II — hai việc độc lập).

• Số kết quả có thể (không gian mẫu): $n(\Omega) = 10 \times 8 = 80$.
• Số kết quả thuận lợi cho $AB$ (Long lấy được $1$ trong $6$ trắng và Hải lấy được $1$ trong $7$ đen): $n(AB) = 6 \times 7 = 42$.

$$P(AB) = \dfrac{42}{80} = \dfrac{21}{40}.$$

b) So sánh $P(AB)$ và $P(A) \cdot P(B)$.

$$P(A) \cdot P(B) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{21}{40} = P(AB).$$

Kết luận: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. Đây là gợi ý cho công thức nhân xác suất với hai biến cố độc lập.

Câu hỏi (trang 76)

Đề bài: Hai biến cố $A$ và $B$ trong HĐ1 độc lập hay không độc lập? Tại sao?

Lời giải:

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau, vì:

• $A$ chỉ liên quan đến việc lấy bóng từ hộp I (của Long).
• $B$ chỉ liên quan đến việc lấy bóng từ hộp II (của Hải).

Hai hộp riêng biệt, việc lấy bóng ở hộp này không ảnh hưởng đến hộp kia. Hơn nữa, ta đã kiểm tra ở HĐ1 rằng $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, đúng với công thức nhân của biến cố độc lập.

Luyện tập 1 (trang 77)

Đề bài: Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là $0{,}92$ và $0{,}88$. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “Hạt A nảy mầm” và $B$ là biến cố “Hạt B nảy mầm”. Theo đề bài:

• $P(A) = 0{,}92 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 – 0{,}92 = 0{,}08$.
• $P(B) = 0{,}88 \Rightarrow P(\overline{B}) = 1 – 0{,}88 = 0{,}12$.

Vì $A$ và $B$ độc lập nên các cặp $A, \overline{B}$; $\overline{A}, B$; $\overline{A}, \overline{B}$ cũng độc lập, áp dụng công thức nhân được.

a) Hạt A nảy mầm, hạt B không nảy mầm $= A\overline{B}$:

$$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}92 \cdot 0{,}12 = 0{,}1104.$$

b) Hạt A không nảy mầm, hạt B nảy mầm $= \overline{A}B$:

$$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}08 \cdot 0{,}88 = 0{,}0704.$$

c) Ít nhất một trong hai hạt nảy mầm.

Đây là biến cố đối của “cả hai hạt đều không nảy mầm” $= \overline{A},\overline{B}$.

$$P(\overline{A},\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}08 \cdot 0{,}12 = 0{,}0096.$$

Vậy xác suất ít nhất một hạt nảy mầm:

$$P = 1 – P(\overline{A},\overline{B}) = 1 – 0{,}0096 = 0{,}9904.$$

Kết luận: Xác suất ít nhất một trong hai hạt giống nảy mầm là $0{,}9904 = 99{,}04\%$.

2. Vận dụng

Luyện tập 2 (trang 78)

Đề bài: Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm $5.000$ người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Lời giải:

Chọn ngẫu nhiên một người trong $5.000$ người. Gọi:

• $A$: “Người đó nghiện thuốc lá”.
• $B$: “Người đó bị viêm phổi”.

Bước 1: Tính các xác suất từ bảng.

• Số người nghiện thuốc lá: $752 + 1.236 = 1.988$. Vậy:

$$P(A) = \dfrac{1.988}{5.000} = 0{,}3976.$$

• Số người bị viêm phổi: $752 + 575 = 1.327$. Vậy:

$$P(B) = \dfrac{1.327}{5.000} = 0{,}2654.$$

• Số người vừa nghiện thuốc lá vừa bị viêm phổi: $752$. Vậy:

$$P(AB) = \dfrac{752}{5.000} = 0{,}1504.$$

Bước 2: So sánh $P(AB)$ với $P(A) \cdot P(B)$.

$$P(A) \cdot P(B) = 0{,}3976 \cdot 0{,}2654 \approx 0{,}1055.$$

Ta thấy:

$$P(AB) = 0{,}1504 \neq 0{,}1055 \approx P(A) \cdot P(B).$$

Bước 3: Kết luận.

Theo chú ý trong SGK: nếu $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$ thì hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.

Vậy hai biến cố “nghiện thuốc lá” và “bị viêm phổi” không độc lập với nhau, tức là việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau. $\blacksquare$

Bài tập (trang 78)

Bài 8.11 (trang 78)

Đề bài: Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc với $P(A) > 0$, $P(B) > 0$. Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.

Lời giải:

Bước 1: Tính $P(AB)$.

Vì $A$ và $B$ xung khắc nên $A \cap B = \emptyset$, suy ra:

$$P(AB) = P(\emptyset) = 0.$$

Bước 2: Tính $P(A) \cdot P(B)$.

Theo đề bài $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$, nên:

$$P(A) \cdot P(B) > 0.$$

Bước 3: So sánh và kết luận.

$$P(AB) = 0 \neq P(A) \cdot P(B) > 0.$$

Vì $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$, theo chú ý trong SGK, hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập. $\blacksquare$

Bài 8.12 (trang 78)

Đề bài: Một thùng đựng $60$ tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $60$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của $60$”;
• $B$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của $48$”.

Chứng tỏ rằng $A$ và $B$ là hai biến cố không độc lập.

Lời giải:

Bước 1: Liệt kê các phần tử của mỗi biến cố.

• Ước của $60$ (trong ${1; 2; \ldots; 60}$): $1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60$ — có $12$ số.

$$|A| = 12 \Rightarrow P(A) = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}.$$

• Ước của $48$ (trong ${1; 2; \ldots; 60}$): $1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48$ — có $10$ số.

$$|B| = 10 \Rightarrow P(B) = \dfrac{10}{60} = \dfrac{1}{6}.$$

• $AB$ gồm các số là ước chung của $60$ và $48$, tức là ước của $\gcd(60, 48) = 12$: $1; 2; 3; 4; 6; 12$ — có $6$ số.

$$|AB| = 6 \Rightarrow P(AB) = \dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10}.$$

Bước 2: So sánh $P(AB)$ với $P(A) \cdot P(B)$.

$$P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{30}.$$

$$P(AB) = \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} \neq \dfrac{1}{30} = P(A) \cdot P(B).$$

Kết luận: Vì $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập. $\blacksquare$

Bài 8.13 (trang 78)

Đề bài: Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có $3$ viên bi màu xanh và $7$ viên bi màu đỏ. Túi II có $10$ viên bi màu xanh và $6$ viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Lời giải:

Gọi:

• $X_1$: “Lấy được viên bi xanh từ túi I” — $P(X_1) = \dfrac{3}{10}$.
• $D_1$: “Lấy được viên bi đỏ từ túi I” — $P(D_1) = \dfrac{7}{10}$.
• $X_2$: “Lấy được viên bi xanh từ túi II” — $P(X_2) = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$.
• $D_2$: “Lấy được viên bi đỏ từ túi II” — $P(D_2) = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$.

Vì hai túi riêng biệt nên các biến cố liên quan đến hai túi là độc lập.

a) Hai viên bi cùng màu xanh $= X_1 \cap X_2$:

$$P(X_1 X_2) = P(X_1) \cdot P(X_2) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{80} = \dfrac{3}{16}.$$

b) Hai viên bi cùng màu đỏ $= D_1 \cap D_2$:

$$P(D_1 D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2) = \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{21}{80}.$$

c) Hai viên bi cùng màu.

Gọi $C$: “Hai viên bi cùng màu” $= (X_1 X_2) \cup (D_1 D_2)$. Hai biến cố $X_1 X_2$ và $D_1 D_2$ xung khắc (không thể vừa cùng xanh vừa cùng đỏ), nên áp dụng công thức cộng cho biến cố xung khắc:

$$P(C) = P(X_1 X_2) + P(D_1 D_2) = \dfrac{15}{80} + \dfrac{21}{80} = \dfrac{36}{80} = \dfrac{9}{20}.$$

d) Hai viên bi không cùng màu.

Đây là biến cố đối của “cùng màu”:

$$P(\overline{C}) = 1 – P(C) = 1 – \dfrac{9}{20} = \dfrac{11}{20}.$$

Bài 8.14 (trang 78)

Đề bài: Có hai túi mỗi túi đựng $10$ quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ $1$ đến $10$. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số $1$ hoặc số $5$.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Quả cầu lấy từ túi I không ghi số $1$ hoặc số $5$”.
• $B$: “Quả cầu lấy từ túi II không ghi số $1$ hoặc số $5$”.

Tính $P(A)$: Trong $10$ quả của túi I, có $2$ quả ghi số $1$ hoặc $5$ (loại bỏ), còn lại $8$ quả thoả mãn:

$$P(A) = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}.$$

Tính $P(B)$: Tương tự, $P(B) = \dfrac{4}{5}$.

Tính $P(AB)$: Hai túi riêng biệt nên $A$ và $B$ độc lập. Áp dụng công thức nhân:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{25}.$$

Kết luận: Xác suất để cả hai quả cầu đều không ghi số $1$ hoặc số $5$ là $\dfrac{16}{25} = 0{,}64$.

Bài 8.15 (trang 78)

Đề bài: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có $93\%$ học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; $87\%$ học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu” — $P(A) = 93\% = 0{,}93$, $P(\overline{A}) = 0{,}07$.
• $B$: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu” — $P(B) = 87\% = 0{,}87$, $P(\overline{B}) = 0{,}13$.

Theo giả thiết, $A$ và $B$ độc lập. Khi đó các cặp $A, \overline{B}$; $\overline{A}, B$; $\overline{A}, \overline{B}$ cũng độc lập, áp dụng công thức nhân được.

a) Cả hai đều đạt yêu cầu $= AB$:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}93 \cdot 0{,}87 = 0{,}8091.$$

b) Cả hai đều không đạt yêu cầu $= \overline{A},\overline{B}$:

$$P(\overline{A},\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}07 \cdot 0{,}13 = 0{,}0091.$$

c) Chỉ đúng một học sinh đạt yêu cầu.

“Chỉ đúng một đạt” gồm hai trường hợp xung khắc:

• $A\overline{B}$: X đạt và Y không đạt.
• $\overline{A}B$: X không đạt và Y đạt.

Tính từng phần:

$$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}93 \cdot 0{,}13 = 0{,}1209.$$

$$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}07 \cdot 0{,}87 = 0{,}0609.$$

Cộng lại (vì xung khắc):

$$P(\text{chỉ một đạt}) = 0{,}1209 + 0{,}0609 = 0{,}1818.$$

d) Có ít nhất một đạt yêu cầu.

Đây là biến cố đối của “cả hai không đạt”:

$$P(\text{ít nhất một đạt}) = 1 – P(\overline{A},\overline{B}) = 1 – 0{,}0091 = 0{,}9909.$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh