Mở đầu trang 119

Đề bài: Một người lái xe từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ trong thời gian $3$ giờ. Biết quãng đường từ $A$ đến $B$ dài $180$ km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc $60$ km/h.

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Vận dụng (trang 122) sau khi học sinh đã học về nhận xét quan trọng (nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)f(b) < 0$ thì $f$ có nghiệm trong $(a;b)$).

Ý tưởng chính: Gọi $v(t)$ là vận tốc của xe tại thời điểm $t$ (hàm liên tục). Vận tốc trung bình trên toàn hành trình là $\dfrac{180}{3} = 60$ km/h. Phải có lúc xe chạy nhanh hơn $60$ km/h và lúc chậm hơn $60$ km/h (hoặc luôn đúng $60$). Áp dụng tính liên tục, sẽ có thời điểm vận tốc đúng bằng $60$ km/h.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

HĐ1 (trang 119)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 – 1}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ 2 & \text{nếu } x = 1. \end{cases}$

Tính giới hạn $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)$ và so sánh giá trị này với $f(1)$.

Lời giải:

Tính $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)$:

Khi $x \to 1$ và $x \neq 1$, ta có:

$$f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{x – 1} = \dfrac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = x + 1.$$

Do đó:

$$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}(x + 1) = 1 + 1 = 2.$$

So sánh với $f(1)$: Theo định nghĩa, $f(1) = 2$.

Vậy $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = f(1) = 2$. Theo định nghĩa, hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$.

Luyện tập 1 (trang 120)

Đề bài: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ x^2 & \text{nếu } x > 0 \end{cases}$ tại điểm $x_0 = 0$.

Lời giải:

Để xét tính liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần tính $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$ và so sánh với $f(0)$.

Bước 1: Tính giới hạn một bên.

• Khi $x \to 0^+$ (tức $x > 0$), ta có $f(x) = x^2$:

$$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} x^2 = 0.$$

• Khi $x \to 0^-$ (tức $x < 0$), ta có $f(x) = -x$:

$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}(-x) = 0.$$

Bước 2: Kết luận giới hạn.

Vì $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$ nên:

$$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$$

Bước 3: So sánh với $f(0)$.

Theo định nghĩa $f(0) = 0$, do đó $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = 0$.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 0$.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

HĐ2 (trang 120)

Đề bài: Cho hai hàm số $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{nếu } 0 \leq x \leq \dfrac{1}{2} \\ 1 & \text{nếu } \dfrac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$ và $g(x) = \begin{cases} x & \text{nếu } 0 \leq x \leq \dfrac{1}{2} \\ 1 & \text{nếu } \dfrac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$ với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

Xét tính liên tục của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ tại điểm $x = \dfrac{1}{2}$ và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Lời giải:

Xét tính liên tục của $f(x)$ tại $x = \dfrac{1}{2}$:

• $f\left( \dfrac{1}{2} \right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ (do $\dfrac{1}{2}$ thuộc nhánh thứ nhất với $0 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$).
• $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^-} f(x) = \lim_{x\to (1/2)^-} 2x = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$.
• $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^+} f(x) = \lim_{x\to (1/2)^+} 1 = 1$.

Vì $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^-} f(x) = \lim_{x\to (1/2)^+} f(x) = 1 = f\left( \dfrac{1}{2} \right)$, hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = \dfrac{1}{2}$.

Xét tính liên tục của $g(x)$ tại $x = \dfrac{1}{2}$:

• $g\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$ (do $\dfrac{1}{2}$ thuộc nhánh thứ nhất với $0 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$).
• $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^-} g(x) = \lim_{x\to (1/2)^-} x = \dfrac{1}{2}$.
• $\displaystyle\lim_{x\to (1/2)^+} g(x) = \lim_{x\to (1/2)^+} 1 = 1$.

Vì giới hạn trái ($\dfrac{1}{2}$) khác giới hạn phải ($1$), không tồn tại $\displaystyle\lim_{x\to 1/2} g(x)$. Do đó $g(x)$ không liên tục tại $x = \dfrac{1}{2}$.

Nhận xét về đồ thị:

• Đồ thị $y = f(x)$ là một đường liền nét (không bị “đứt”), phù hợp với việc $f$ liên tục.
• Đồ thị $y = g(x)$ có một “bước nhảy” tại $x = \dfrac{1}{2}$ (giá trị nhảy từ $\dfrac{1}{2}$ lên $1$), phù hợp với việc $g$ gián đoạn tại điểm này.

Luyện tập 2 (trang 121)

Đề bài: Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ liên tục.

Lời giải:

Hàm số $f(x)$ là một hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức). Theo lý thuyết, hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó.

Tập xác định: $f(x)$ xác định khi mẫu khác $0$:

$$x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2.$$

Vậy tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus {-2} = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

3. Một số tính chất cơ bản

HĐ3 (trang 121)

Đề bài: Cho hai hàm số $f(x) = x^2$ và $g(x) = -x + 1$.

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại điểm $x = 1$.

b) Tính $L = \displaystyle\lim_{x\to 1}[f(x) + g(x)]$ và so sánh $L$ với $f(1) + g(1)$.

Lời giải:

a)

• $f(x) = x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x = 1$. Cụ thể: $\displaystyle\lim_{x\to 1} x^2 = 1 = f(1)$.
• $g(x) = -x + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x = 1$. Cụ thể: $\displaystyle\lim_{x\to 1}(-x + 1) = 0 = g(1)$.

b) Ta có $f(x) + g(x) = x^2 – x + 1$.

Tính $L$:

$$L = \lim_{x\to 1}[f(x) + g(x)] = \lim_{x\to 1}(x^2 – x + 1) = 1 – 1 + 1 = 1.$$

Tính $f(1) + g(1)$:

$$f(1) + g(1) = 1^2 + (-1 + 1) = 1 + 0 = 1.$$

Kết luận: $L = f(1) + g(1) = 1$. Đây là gợi ý cho tính chất: nếu $f, g$ liên tục tại $x_0$ thì $f + g$ cũng liên tục tại $x_0$.

Vận dụng (trang 122) – Giải bài toán mở đầu

Đề bài: Một người lái xe từ $A$ đến $B$ trong $3$ giờ, quãng đường $180$ km. Chứng tỏ có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc $60$ km/h.

Lời giải:

Bước 1: Đặt hàm vận tốc.

Gọi $v(t)$ là vận tốc của xe tại thời điểm $t$ (giờ), với $0 \leq t \leq 3$. Vì vận tốc của xe biến đổi liên tục theo thời gian nên $v(t)$ là một hàm liên tục trên $[0; 3]$.

Vận tốc trung bình trên toàn hành trình là:

$$v_{tb} = \dfrac{180}{3} = 60 \text{ (km/h)}.$$

Bước 2: Phân tích các khả năng.

• Trường hợp 1: $v(t) = 60$ với mọi $t \in [0; 3]$. Khi đó tại bất kì thời điểm nào, vận tốc đều bằng $60$ km/h. Bài toán đã được chứng minh.
• Trường hợp 2: Tồn tại $t \in [0; 3]$ mà $v(t) \neq 60$.Trong trường hợp này, do vận tốc trung bình bằng $60$ km/h nhưng có lúc vận tốc khác $60$, phải tồn tại:
  • Một thời điểm $t_1 \in [0; 3]$ với $v(t_1) > 60$ (lúc xe chạy nhanh hơn trung bình), và
  • Một thời điểm $t_2 \in [0; 3]$ với $v(t_2) < 60$ (lúc xe chạy chậm hơn trung bình).

  (Nếu chỉ có $v > 60$ thì quãng đường > $180$; nếu chỉ có $v < 60$ thì quãng đường < $180$, đều mâu thuẫn.)

Bước 3: Áp dụng nhận xét về tính liên tục.

Đặt $g(t) = v(t) – 60$. Vì $v(t)$ liên tục trên $[0; 3]$ và hằng số $60$ cũng liên tục, nên $g(t)$ liên tục trên $[0; 3]$.

Giả sử $t_1 < t_2$ (trường hợp $t_1 > t_2$ tương tự). Khi đó:

• $g(t_1) = v(t_1) – 60 > 0$.
• $g(t_2) = v(t_2) – 60 < 0$.

Suy ra $g(t_1) \cdot g(t_2) < 0$. Áp dụng nhận xét (định lý giá trị trung gian dạng đặc biệt): vì $g$ liên tục trên $[t_1; t_2]$ và $g(t_1) \cdot g(t_2) < 0$, tồn tại $c \in (t_1; t_2)$ sao cho $g(c) = 0$, tức là:

$$v(c) – 60 = 0 \Leftrightarrow v(c) = 60.$$

Kết luận: Tồn tại ít nhất một thời điểm $c$ trên hành trình mà xe chạy với vận tốc đúng bằng $60$ km/h. $\blacksquare$

Bài tập (trang 122)

Bài 5.14 (trang 122)

Đề bài: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục tại $x = 1$. Biết $f(1) = 2$ và $\displaystyle\lim_{x\to 1}[2f(x) – g(x)] = 3$. Tính $g(1)$.

Lời giải:

Vì $f(x)$ và $g(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên theo định nghĩa:

$$\lim_{x\to 1} f(x) = f(1) = 2; \quad \lim_{x\to 1} g(x) = g(1).$$

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn (giới hạn của tích, hiệu):

$$\lim_{x\to 1}[2f(x) – g(x)] = 2\lim_{x\to 1} f(x) – \lim_{x\to 1} g(x) = 2 \cdot 2 – g(1) = 4 – g(1).$$

Theo giả thiết, biểu thức này bằng $3$:

$$4 – g(1) = 3 \Leftrightarrow g(1) = 1.$$

Kết luận: $g(1) = 1$.

Bài 5.15 (trang 122)

Đề bài: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6};$

b) $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 4 – x & \text{nếu } x \geq 1. \end{cases}$

Lời giải:

a) Tìm tập xác định:

$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2 \text{ và } x \neq -3.$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-3; -2} = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Vì $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định của nó.

Kết luận: $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Ta xét tính liên tục theo từng khoảng:

• Với $x < 1$: $f(x) = 1 + x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty; 1)$.
• Với $x > 1$: $f(x) = 4 – x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(1; +\infty)$.

Xét tại điểm $x = 1$:

• $f(1) = 4 – 1 = 3$ (vì $x = 1$ thuộc nhánh $x \geq 1$).
• $\displaystyle\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}(1 + x^2) = 1 + 1 = 2$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+}(4 – x) = 4 – 1 = 3$.

Vì giới hạn trái ($2$) khác giới hạn phải ($3$), không tồn tại $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)$. Do đó $f(x)$ không liên tục tại $x = 1$.

Kết luận: $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$, gián đoạn tại $x = 1$.

Bài 5.16 (trang 122)

Đề bài: Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x + m & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

Phân tích:

• Với $x > 0$: $f(x) = \sin x$ là hàm lượng giác cơ bản, liên tục trên $(0; +\infty)$.
• Với $x < 0$: $f(x) = -x + m$ là hàm đa thức, liên tục trên $(-\infty; 0)$.

Vậy $f(x)$ luôn liên tục trên $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$ với mọi $m$. Để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 0$.

Điều kiện liên tục tại $x = 0$:

$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0).$$

Tính các giá trị:

• $f(0) = \sin 0 = 0$ (vì $x = 0$ thuộc nhánh $x \geq 0$).
• $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \sin x = \sin 0 = 0$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}(-x + m) = -0 + m = m$.

Điều kiện liên tục:

$$m = 0.$$

Kết luận: $m = 0$.

Bài 5.17 (trang 122)

Đề bài: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Lời giải:

a) Viết công thức hàm số.

Gọi $x$ là quãng đường khách đi (km), $f(x)$ là số tiền phải trả (đồng).

Trường hợp 1: $0 < x \leq 0{,}5$ (vẫn trong $0{,}5$ km đầu):

$$f(x) = 10.000 \text{ (đồng)}.$$

Trường hợp 2: $0{,}5 < x \leq 30$. Tiền = giá mở cửa + số km tiếp $\times$ $13.500$:

$$f(x) = 10.000 + 13.500(x – 0{,}5) \text{ (đồng)}.$$

Tại $x = 30$: $f(30) = 10.000 + 13.500 \times 29{,}5 = 10.000 + 398.250 = 408.250$ đồng.

Trường hợp 3: $x > 30$. Tiền = tiền tính đến $30$ km + số km vượt quá $30$ $\times$ $11.000$:

$$f(x) = 408.250 + 11.000(x – 30) \text{ (đồng)}.$$

Tổng hợp công thức:

$$f(x) = \begin{cases} 10.000 & \text{nếu } 0 < x \leq 0{,}5 \\ 10.000 + 13.500(x – 0{,}5) & \text{nếu } 0{,}5 < x \leq 30 \\ 408.250 + 11.000(x – 30) & \text{nếu } x > 30. \end{cases}$$

b) Xét tính liên tục của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$.

Trên mỗi khoảng $(0; 0{,}5)$, $(0{,}5; 30)$ và $(30; +\infty)$, $f(x)$ là hàm đa thức (hoặc hằng) nên liên tục. Ta chỉ cần xét tại hai điểm “nối” là $x = 0{,}5$ và $x = 30$.

Xét tại $x = 0{,}5$:

• $f(0{,}5) = 10.000$ (thuộc nhánh thứ nhất).
• $\displaystyle\lim_{x\to 0{,}5^-} f(x) = \lim_{x\to 0{,}5^-} 10.000 = 10.000$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 0{,}5^+} f(x) = \lim_{x\to 0{,}5^+}[10.000 + 13.500(x – 0{,}5)] = 10.000 + 13.500 \cdot 0 = 10.000$.

Cả ba giá trị đều bằng $10.000$, nên $f(x)$ liên tục tại $x = 0{,}5$.

Xét tại $x = 30$:

• $f(30) = 10.000 + 13.500 \cdot 29{,}5 = 408.250$ (thuộc nhánh thứ hai).
• $\displaystyle\lim_{x\to 30^-} f(x) = \lim_{x\to 30^-}[10.000 + 13.500(x – 0{,}5)] = 10.000 + 13.500 \cdot 29{,}5 = 408.250$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 30^+} f(x) = \lim_{x\to 30^+}[408.250 + 11.000(x – 30)] = 408.250 + 0 = 408.250$.

Cả ba giá trị đều bằng $408.250$, nên $f(x)$ liên tục tại $x = 30$.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0; +\infty)$.

Ý nghĩa thực tế: Số tiền phải trả thay đổi liên tục theo quãng đường, không có “bước nhảy” tiền đột ngột tại các điểm $x = 0{,}5$ km hay $x = 30$ km.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh